De la courbure que les cordes prennent par leur poids

On a vu qu’une corde supposée sans pesanteur, étant attachée et tendue entre deux points fixes situés

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dans une même droite horizontale, il suffisait pour la faire fléchir , d’un petit poids suspendu au milieu de sa longueur. 11 suit de la que la pesanteur naturelle de la corde produira nécessairement le même effet , et que quelque force que l’on emploie pour tendre une corde pesante dans le sens horizontal, jamais elle ne formera une ligne parfaitement droite , et toujours son poids lui fera prendre quelque courbure. Ce n’est que dans le sens vertical qu’une corde peut être tendue en ligne droite : dans toute autre position , sa pesanteur ne pouvant être détruite par les points oit elle est attachée , il faut que cette pesanteur produise son effet, et que la corde se courbe plus ou moins.

Il est facile de faire voir que la courbe formée par «ne corde pesante suspendue par ses deux bouts , est toute entière dans un plan vertical. Soit en effet une corde sans pesanteur attachée aux points fixes P et Q (fig. f) i ); soient aussi divers poids suspendus aux points A , B , C , D, etc. de cette corde; je dis que l'équilibre étant établi , la corde formera une espèce de polygone dont tous les côtés seront dans un même plan , et que ce plan sera vertical. Les tensions AP et AB , et le poids A.\I étant trois forces en équilibre , sont nécessairement renfermées dans le même plan , et puisque AM qui est une droite verticale , y est contenue , ce plan est donc vertical. De même les trois droites AB , BN , BC , sont dans un plan vertical : niais celui-ci est le même que le précédent , puisqu’ils renferment l'un et l’autre la même droite AB. On prouverait la même chose pour le reste du polygone. Donc il est tout entier dans le plan vertical mené par les points P et Q. Mais si Ion imagine que des poids égaux sont répandus sur toute

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la longueur de la corde , ou ce qui revient au même , si on lui rend sa pesanteur , au lieu d’un polygone on aura une courbe continue , qui se trouvera dans le même cas , c’est-à-dire qui sera toute entière dans le plan mené verticalement par les deux points où la corde est attachée.

La courbe que les cordes forment ainsi par l’effet de leur pesanteur , s’appelle courbe funiculaire : on la nomme aussi chaînette , ou caténaire , parce qu’une chaîne suspendue de même , et livrée à la seule action de la pesanteur , forme une pareille courbe. Les mathématiciens se sont fort occupés de la nature et des propriétés de cette espèce de courbe. Nous nous contenterons de donner ici quelques-uns des résultats dus à leurs travaux.

Soit une corde pesante ACB ( fig. 5a ) attachée aux points A et B , situés ou non , sur une droite horizontale : la corde formera une courbe à peu près telle qu'on la voit ici. Si aux deux extrémités de cette courbe on mène des tangentes , et qu’on les prolonge jusqu’à ce quelles se croisent en O , et que par ce point O on élève une droite verticale GX ; on aura les tensions des deux bouts de la corde , ou les efforts sur les points fixes A et B, réciproquement proportionnels aux sinus des angles que font les tangentes AO , BO avec la verticale GX ; c’est-à-dire que l’effort en A est à l'effort en B', comme le sinus de BOG est au sinus de AOG.

Cette proportion étant la même que celle qu’on aurait eue avec une corde non pesante et un poids suspendu dans la verticale GX , il suit que tout le poids de la corde peut être considéré comme agissant suivant cette direction ; et par conséquent que la droite verticale

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menée par le point où concourent les tangentes extrêmes , passe par le centre de gravité de la corde. On a trouvé que de toutes les courbes terminées aux points A et B , et ayant la même longueur que la courbe funiculaire ACB, c’est celle-ci qui a son centre de gravité placé plus bas.

On a un exemple frappant de la courbure que prennent les cordes par leur poids , dans les longs cordages par lesquels sont tirés les bateaux et les diligences d’eau. Ces cordages se courbent tellement qu'on croirait souvent qu’ils sont lâches et flottans , tandis que le mouvement de la barque ne peut laisser aucun doute sur la grande tension qu’ils éprouvent.

Il faut observer ici que lorsque les cordes sont employées à tirer , l’action de la puissance sur la résistance se fait sentir dans le sens de la tangente à la courbe quelles forment. Il faut donc avoir attention qu’aucune partie de cette puissance ne soit perdue par la mauvaise direction de cette tangente. Si donc la résistance doit se mouvoir sur un plan horizontal , il faut éviter que la tangente à la courbe au point d'attache , soit dirigée contre le plan , ou s’élève au-dessus de lui de bas en haut. Dans l’un et l’autre cas il y aurait de la force perdue , ce qui n’arrive pas lorsque cette tangente est parallèle au plan.

Deuxième Sectiost,