SECTION PREMIÈRE

Bzplioation de la notion det quantité* négative* en général.

Il y a opposition entre deux choses, lorsque, posé l’une, l’autre se trouve par le fait supprimée. Cette opposition est double : elle est ou logique par la contradiction, ou réelle, c’est-à-dire sans contradiction.

La première espèce d’opposition, c’est-à-dire l’opposition logique, est la seule qu’on ait remarquée jusqu’ici. Elle consiste en ce que quelque chose est en même temps affirmé et nié d’un même sujet. La conséquence de cette liaison logique n’est absolument rien, comme l’énonce le principe de contradiction {niJiil negativum est irreprœsentabile). Un corps en mouvement est aussi quelque chose (cogitoiiie J; mais un corps qui serait dans le même sens à la fois en mouvement et pas en mouvement, n’est rien.

La seconde espèce d’opposition , c’est-à-dire la réelle, a lieu quand deux attributs sont opposés, mais pas par le principe de la contradiction. Une chose fait aussi disparaître ici ce qui a été posé par une autre ; mais la conséquence est quelque chose {cogitabile). La force motrice d’un corps vers un lieu, et un elfor égal, quoique en direction opposée, ne se contredisent pas, et peuvent exister en même temps comme prédicats dans un même corps. La conséquence est le re-

139 ESSAI

pos, qui est quelque chose (reprcesentabile). Il y a cependant une véritable opposition ; car ce qui est posé par une tendance, si elle était seule, est détroit par l’autre, et ces deux tendances sont de vrais prédicats d’une seule et même chose, et qui lui conviennent en même temps. La conséquence est également nulle, mais dans un autre sens que dans la contradiction (nihil privatum, repræsentabilé).

Nous appellerons désormais ce rien=.0 ; et ce sens du mot rien est le même que celui de négation {negatio), défaut, manquement, mots qui sont usités chez les philosophes, seulement avec une détermination plus précise qui se représentera plus tard.

Dans la répugnance logique on ne fait attention qu’au rapport par lequel lesprédicats d’une chose et leurs conséquences disparaissent par la contradiction. On ne cherche nullement à savoir lequel de ces deux prédicats est vraiment affirmatif (realitas), et lequel est vraiment négatif [negatio). Être en même temps obscur et non obscur est eu contradiction dans le même sujet. Le premier attribut est logiquement affirmatif, l’autre logiquement négatif, quoique celui-là soit une négation dans le sens métaphysique. La répugnance réelle repose aussi sur le rapport de deux prédicats opposés d’une même chose; mais cette répugnance est d’une tout autre espèce que la précédente : ce qui est affirmé par l’un, n’est pas nié par l’autre, car c’est

SÜR IA NOTION DES OÜANTITÉS NÉGATIVES. 137

impossible, les deux prédicats A et B étant affirmatifs; seulement, comme les conséquences de chacun en particulier seraient^ et b, ni l’un ni l’autre ne peuvent se rencontrer dans un sujet, et ainsi la conséquence est zéro. Supposez qu’une personne ait sur une autre une créance B de cent florins; c’est là un titre au recouvrement de cette valeur : mais si le même a une dette de \ 00 florins, alors c’est un titre qui l’oblige à donner une pareille somme. Les deux dettes ensemble sont un capital de zéro, c’est-à-dire qu’il n’y a lieu ni à donner ni à recevoir de l’argent. Onvoitclairementque ce zéro est un rien proportionnel , puisque seulement une certaine conséquence n’est pas, comme dans ce cas, un certain capital , et, comme dans le cas cité plus haut, un certain mouvement. Au contraire, il n’y a absolument rien dans la suppression par la contradiction. En conséquence, le nihil Jiegativum ne peut pas être exprimé par zéro 0 = : car il ne contient aucune contradiction. On peut concevoir qu’un certain mouvement nesoitpas, mais on ne peut pas concevoir qu’il soit et ne soit pas en même temps.

Les mathématiciens se servent de la notion de cette opposition réelle dans leurs quantités ; et, pour les indiquer, ils emploient les signes -f- et — . Comme une opposition de cette sorte est réciproque, on voit facilement que l’une détruit l’autre entièrement ou partiellement, sans que pour cela celles qui sont précédées

ESSAI

du signe -|- soient différentes de celles qui sont précédées du signe — • Supposons qu’un vaisseau parte du Portugal pour se rendre aux Etats-Unis ; désignons par + tous les espaces qu’il parcourt avec les vents d’est, et par — ceux dont il recule par le vent d’ouest. Les nombres indiqueront des milles. Le chemin qu’il a fait vers l’ouest dans sept jours est -f- 12 + 7 — 3 — 5-|-8=19 milles. Les quantités marquées du signe — ne portent ce signe que comme un indice de l'opposition, en tant qu’elles doivent être prises conjointement avec celles qui sont marquées du signe -f-; mais si elles sont ainsi réunies à celles qui sont marquées du signe — , alors il n'y a plus lieu à aucune opposition, parce que l’opposition est un rapport réciproque qui ne se rencontre qu’entre les signes -|et — . Et comme la soustraction est une réduction qui a lieu lorsque des quantités opposées sont prises simultanément, il est clair, en ce cas, que le signe — ne peut pas être proprement un signe de soustraction, comme on le croit ordinairement, mais bien que les signes + et — réunis n’indiquent qu’une réduction. Par conséquent — 4 — 5 = — 9 ne serait nullement une soustraction, mais une véritable augmentation, une addition de quantités de même espèce. Mais -f 9 — 5 = 4 indique une réduction, parce que les signes de l’opposition font voir que l’un fait disparaître son équivalent dans l’autre. De même le signe -f pris en

SÜR LA NOTION DES QUANTITÉS NÉOATITE3. 139

lui-méme n’indique pas proprement une addition ; il indique seulement que la quantité devant laquelle il se trouve doit être unie à une autre également précédée du signe + ou qui est censée en être précédée. Mais si elle doit être unie à une autre devant laquelle se trouve le signe — alors la chose n’est possible qu’au moyen de l’opposition, et dans ce cas le signe +, tout aussi bien que le signe — , indique une soustraction, savoir, qu’une quantité en diminue une autre d’une partie égale à elle-même, comme — 9 + 4 == — 5. C’est pourquoi dans le cas — 9 — 4 = — 13, le signe — ne désigne point une soustraction, mais une addition, comme le signe -f dans l’exemple + 9 + 4= -(- 13. Car, en général, quand les signes sont les mêmes, les choses désignées doivent absolument être sommées; mais s’ils sont différents, elles ne peuvent être réunies que par une opposition, c’est-à-dire moyennant une soustraction. Ces deux signes ne servent donc, dans la science des quantités, qu’à distinguer celles qui sont opposées, c’est-à-dire celles qui, prises ensemble, se détruisent réciproquement, entièrement ou partiellement, a6n 1 ° que l’on reconnaisse par là ce rapport d’opposition réciproque, et 2® que l’on sache, après avoir soustrait l’une de l’autre, suivant le cas, à laquelle des deux quantités appartient le résultat. Ainsi, dans l’exemple ci-dessus, on aurait obtenu le même résultat numérique si la route

ESSAI

parcourue avec le vent d’est avait été désignée par — et celle parcourue avec le vent d’ouest par +; seulement le résultat aurait été alors marqué du signe — .

De là la notion mathématique des quantités négatives. Une quantité est négative par rapport à une autre, en tant qu’elle n’y peut être réunie que par une opposition, c’est-à-dire en tant que l’une fait disparaître dans l’autre une quantité égale à ellemême. C’est à la vérité un rapport d’opposition ; et des quantités qui sont ainsi opposées se détruisent réciproquement en nombre égal : de sorte que l’on ne peut donner absolument le nom de négative à une quantité ; mais il faut dire que, dans+ a et — a, l’un est la quantité négative de l’autre. Mais, comme on peut toujours l’ajouter par la pensée, les mathématiciens ont l’habitude d’appeler quantités négatives celles qui sont précédées du signe — . Il faut cependant faire attention que cette dénomination n’indique pas une espèce de choses particulières quant à sa qualité intrinsèque, mais le rapport d’opposition avec d’autres choses qui sont désignées par +, pour être additionnées dans une opposition.

Pour tirer de cette notion ce qui est proprement l’objet de la philosophie^ sans considérer particulièrement les quantités, nous observerons d’abord qu’elle contient l’opposition que plus haut nous avons appelée réelle. Soit -f- 8 d’actif, -- 8 de passif : il n’y a pas

contradiction à dire alors que les deux conviennent à une même personne. Cependant l’un enlève une partie égale à celle qui était posée par l’autre, et la conséquence est zéro. Je donnerai donc aux dettes le nom de capitaux négatifs. Mais je n’entendrai pas par là qu’elles soient des négations ou une simple absence de capitaux : car alors elles auraient le zéro pour signe, et la somme faite du capital et des dettes donnerait la valeur de la possession, 8 -l- 0 — 8; ce qui est faux : car les dettes sont des raisons positives de la diminution des capitaux. Comme toute celle dénomination n’indique toujours que le rapport de certaines choses entre elles, sans lequel cette notion cesse aussitôt, il serait absurde d’imaginer jpour cela une espèce particulière de choses, et de les nommer choses négatives : car l’expression mathématique même de quantités négatives n’est pas exacte. En effet, des choses négatives signilieraient généralement des négations {negationes) ; mais ce n’est pas la notion que nous voulons établir. Il suffit au contraire d’avoir éclairci déjà les rapports d’opposition qui composent toute cette notion, et qui consistent dans l’opposition réelle. Pour donner cependant à connaître en même temps dans les expressions que l’un des opposés n’est pas le contradictoire de l’autre, et que, si celui-ci est positif, celui-là n’en est pas une simple négation, mais que, comme nous le verrons bientôt, il lui est opposé

ESSAI

comme quelque chose d’affirmatif, nous appellerons, d’après la méthode des mathématiciens, la mort une naissance négative, la chute une ascension négative, le retour un départ négatif, afin que l’on puisse voir en même temps par l’expression, que d’abord la chute ne diffère pas simplement de l’ascension comme non-a de mais qu’en liaison avec elle, elle contient le principe d’une négation. Il est donc bien clair maintenant que, comme tout revient ici au rapport d’opposition, je puis tout aussi bien appeler la mort une naissance négative, que la naissance une mort négative; de môme aussi les capitaux sont aussi bien des dettes négatives que les dettes des capitaux négatifs. Mieux vaut cependai^ donner le nom d’opposé négatif à la chose à laquelle, en tout cas, on fait principalement attention quand on veut désigner son opposé réel. Ainsi, par exemple, il est plus convenable d’appeler les dettes des capitaux négatifs, que de les nommer des dettes positives, quoiqu’il n’y ait aucune différence entre le rapport d’opposition lui-même, mais en vue définitive du résultat de ce rapport d’opposition. Seulement, je remarque de plus que je me»servirai encore quelquefois de l’expression qu’une chose est la négative de l’autre. Par exemple, la négative du lever est le coucher : par quoi je ne veux pas faire entendre une négation de l’autre, mais quelque chose qui est dans une opposition réelle avec l’autre.

Dans celte opposition réelle, il faut regarder la proposition suivante comme une règle fondamentale : La répugnance réelle n’a lieu qu’autant que de deux choses, comme principes positifs^ l’une fait disparaître la conséquence de l’autre. Supposons que la force motrice soit un principe positif : alors une opposition réelle ne peut avoir lieu qu’autant qu’une autre force motrice est en rapport avec elle, et qu’elles détruisent ainsi mutuellement leurs conséquences. Ce qui suit peut servir de preuve universelle : Les

déterminations opposées entre elles doivent se rencontrer dans le même sujet : car, à supposer qu’il y ait une détermination dans une chose, et une autre détermination, quelle qu’elle puisse être, dans une autre chose, il n’en résulte aucune opposition (î). 2' L’une des deux déterminations opposées d’une opposition réelle ne peut être l’opposé contradictoire de l’autre : car alors l’opposition contradictoire serait logique, et, comme on l’a fait voir plus haut, impossible. 3" Une détermination ne peut nier autre chose que ce qui a été posé par l’autre : car autrement il n’y aurait’aucune opposition. 4“ Elles ne peuvent pas, en tant qu’elles sont opposées entre elles, être négatives toutes deux : car alors aucune ne poserait rien qui fût détruit par l’autre. 11 faut donc que dans toute

(I) Nous traiterons encore dans la suite d’une opposition virtuelle.

ESSAI

opposition réelle les prédicats soient tous deux positifs, de manière toutefois que dans la liaison les conséquences se détruisent réciproquement dans le même sujet. De cette manière, des choses dont l’une est regardée comme la négative de l’autre, sont toutes deux positives, si on les considère en elles-mêmes; mais unies dans un même sujet, elles donnent zéro pour conséquence. La navigation vers l’est est un mouvement tout aussi positif que celle vers l’ouest; seulements’il s’agit du mêmevaisseau, les distances parcourues se détruisent mutuellement en totalité ou en partie.

Je ne veux pas dire par là que des choses opposées réellement entre elles ne contiennent pas du reste beaucoup de négations. Un vaisseau qui est poussé vers l’ouest, ne se meut pas alors vers l’est ou vers le sud, etc., etc. ; il n’est pas non plus en môme temps dans tous les lieux. Ce sont là autant de négations qui s’attachent à son mouvement. Mais parmi toutes ces négations, la seule chose qui puisse être opposée réellement, et dont la conséquence est zéro, est encore ce qu’il y a de positif dans le mouvement vers l’est, aussi bien que dans celui vers l’ouest.

C’est ce que l’on peut éclaircir de la manière suivante par des signes généraux. Toutes les négations véritables, et qui par conséquent sont possibles (car la négation de ce qui est posé en même temps dans le sujet, n’est pas possible), sont exprimées par le zéro

= 0, et raflirniiitioii par un signe positif; mais la liaison dans le môme sujet s’exprime par + on — • On reconnaît ici que A 0 = A, A — 0=A, 0 + 0 = 0, 0 — 0 =0(1), ne sont point des oppositions, et que dans aucune de ces formules ce qui a été posé n’est détruit. De même, A + A n’est pas une suppression, et il ne reste que ce cas-ci : A — A = 0 ; c’est-à-dire que de deux choses dont l’une est la négative de l’autre, toutes deux sont A, et par conséquent vraiment positives, de telle sorte cependant que l’une supprime ce qui a été établi par l’autre ; ce qui est indiqué ici par le signe — .

La seconde règle, qui est proprement l’inverse de la première, s’énonce ainsi : Partout où il y a une raison positive, et où la conséquence est né^mmoins zéro, il y a une opposition réelle, c’est-à-dire que ce principe est lié avec un autre principe positif qui est la négative du premier. Si un vaisseau est réellement poussé en pleine mer par le vent d’est, et qu’il reste toujours à la même place, ou du moins s’il ne peut se

(1) Ou pourrait croire ici queO— A est encore un cas qui a été omis. Mais ce cas est impossible dans le sens philosophique : car quelque chose ne peut jamais être soustrait de rien. Si en mathématiques cette expression est juste dans l’application, c’est parce que le zéro ne change absolument en rien ni l’augmcntatiou ni la diminution par d’autres quantités : A + 0 — A est toujours A — A; par conséquent le zéro est complétemcut inutile. La pensée qui en a été empruntée, comme si des quantités négatives étaient moins que rien, est donc vaine et absurde.

146 BSSAI

déplacer en raison proportionnelle de 'la force du vent, il faut que les flots de la mer s’opposent à sa marche. C’est-à-dire, en général, que l’anéantissement de la conséquence d’une raison positive demande toujours aussi une raison positive. Soit une cause quelconque d’un effets : la conséquence ne peut jamais être 0 qu’autant qu’il existe une cause d'un effet — b, c'est-à-dire une cause de quelque chose de vraiment positif qui soit opposé à la première; h — b = 0. Si la succession d’une personne renferme un capital de 10,000 francs, toute la succession ne peut se réduire à 6,000 francs qu’à la condition que

1 0.000 — 4,000 == 6,000, c’est-à-dire qu’autant que

4.000 francs sont prélevés sur ce capital. Ce qui suit servira beaucoup à éclaircir ces lois.

Je termine cette section par les observations suivantes : Je nomme privation {privatio) la négation en tant qu’elle est la conséquence d’une opposition réelle. Mais toute négation qui ne découle pas de cette espèce de répugnance, doit s’appeler ici défaut {dejectus, absentia). La dernière n’exige pas de raison positive, elle veut seulement un manque de raison ; mais la première a une véritable raison de la position et une raison pareille opposée. Le repos dans un corps est ou simplement un défaut, c’est-à-dire une négation du mouvement, en tant qu’il n’y a pas de force motrice; ou une privation, lorsqu’il ya force motrice il est vrai.

mais que la conséquence, c’esl-à-dire le uiouvemenl, est détruite par une force motrice directement opposée.