Dénotons par k.^k^y ^3... k,... K les valeurs numériques

des racines de Féquation (61), et par ^(i,^,) la fonction^

dont nous connaissons le développement , à l'aide des formules (60). En substituant dans la valeur dey. (équation (67)) pour X. la quantité X, ^(z,^,), et pour k une de ses valeurs représentée par ^r, on aura cette intégrale particulière

(65i)...y,=^X, \ (i,^r)cos.« ^k, -h iX.4/(i,^,)sin. t v^k.

Si l'état initial du système était tel que l'on eut

DU FIL FLEXIBLE. 5g

l'équation (6i) serait, en même temps, Fintégrale complète de

réquation (55) , en prenant a=Y'^ 5 = .^ ^y ; et Ton aurait

ainsi la solution la plus simple du problème. Mais lorsqu'on suppose un état initial quelconque, il faut déterminer d'abord la somme de toutes les intégrales particulières , renfermées dans la formule (62),multipliées chacune par des constantes arbitraires différentes. Cette somme pourra s'exprimer comme il suit ;

(63)... j;= 2^(iyk,)lan COS. t Vk, + h sin. t v^k, ].

Différencions maintenant cette dernière formule par rapport à la variable t seulement , et dénotons , à l'ordinaire , par u, la vitesse , ou le coefficient différentiel -^ -, et nous aurons

(64)...u.=2K*>^')^^'[— ^'Sin.r Vh + b.QOs.t Vh"].

34. Soit Y^ la valeur de y. correspondante à *=o, et nommons V^ la vitesse initiale imprimée au corps dont l'ordonnée est Y^. En faisant <=:o dans les formules (63) et (64^, et en développant les quantités qui sont sous le signe 2 , on devra avoir les équations identiques

(65)...Y;.=a.Kt*>*J + ^. + (l*>^.) + ^3f((A,^3)

+ a, <K|t , ^,)...-h a, ^ ( fi. , ^,).

(66)...V^=&.Kl^.^J^^^ + *.Kl^.*J»^^.+*3K(^.*3)^^3-^ '\'hit{V'^k)^k,...+hit{\L,K)\/K

qui doivent nous servir à la détermination des coefficiens ^o ^•> ^3> etc., h, y b,y ^3, etc.

6o SUR LE MOUVEMENT

Pour cela , soit z^ une fonctioR inconnue de (i analogue à ^{[L,ki)i multiplions les deusL membres de l'équation (65) par z^, et intégrons. Le terme général du second membre nous donnera visiblement l'expression a,Sz^r|/(pL,^,) = a,Sz^X^, en faisant, pour plus de simplicité, <j; (ja , )t,)=X^. Cela posé, il est aisé de voir que la fonction X^ doit satisfaire à l'équation

X^ + T- ( A X^— 1 + (iL A' X^- 1 ) = o.... Voyez l'équation (58).

Partant

Sz^X^ = Sz^(aX^«, + {4A*X^-.i)... (a)

Mais , en faisant usage de l'intégration par parties , on aura

Sz^aX^— i:r=z^X^— 1 — SX^Az^... (b)

S(az^A"X^— i=pLZ^(X^ — X^— i) — X^[(ji + i)z^ + i — fLZf,]

+SX^+ 1 A* fA V- W

Observons maintenant que l'on doit avoir identiquement

Sx!^l,A>z^=SX^A-(^— l)z^..+X„^,A-(/i)z.— X,A'(— i)z^,j

et comme , par la nature de la fonction X^ , on a toujours Xo=o Xn+,=o, il viendra simplement

SX^^iA-p,z^=SX^A'(pi— i)z^^., si l'on étend l'intégration à toute la longueur du fil;

En substituant cette dernière valeur dans le second membre de réquation (c) ^ ensuite les valefurs des premiers membres des équations {b) et (c) dans l'équation (a), on trouvera

— SX^Az^+SX^A'(pL— i)z^-,.

Mais on a,

et si l'on réduit les termes qui se trouvent hors du signe S, en observant qu'ils doivent aussi se rapporter aux deux limites de l'intégration, on parviendra^ sans peine, à l'équation

— --'Sz^X^=[(pL-i- i)z^^.iX^ — !a|xz^X^ + (pL — i)z^X^-.,]

laquelle, à «ause de X.=:0 et Xn^. < =o , <lonnera seulement

-^Sz^X^=[(tL-i)z^X^.]^-[(ft-i)z^X,.]

+ SX^(Aj8^,+jtA'z^^).

Déterminons la fonction z^ de manière qu'on ait

AZ^-i+|aA*Z^«i= — -fz^,

Prêtant une racine quelconque de Téquation (6i), mais différente de ^,; alors on pourra réduire les deux quantités intégrales en une seule , et Ton aura

■ o Zfj, A^ == O

puisque la fonction z^ doit donner z^ = o , Zn + 1 = o.

35. Ainsi nous voilà parvenus à la découverte d'une propriété de la fonction , que nous avons désignée par ^ ((& , k,)}, ce qui fournit une nouvelle preuve de Tanalogie qui existe entre

cette fonction et sin. (l — ; car de même qu'on a

S sm.a — X sin.a — =0,

nous venons de prouver que

s iK(t,^,)lK(t,itr) = 0.

Mais si l'on suppose kr=^k,y on verra que l'équation

donne 1 pour la valeur du premier membre. Pour trouver sa

Taleur véritabk , différencioDS le numératear et le dénominateur du second membre par rapport à^^et faisons kr=k, après la différenciation ; nous aurons

* isf(f^,*,)=[(f*-i)f(i*>*')K(*-i»*')].

i{i,— l)^'ilf.,k,my.-ï,k,)-]

^' désignant la fonction ^^' '^ '

Mais, lorsque [i. =z= o , on a ^Kja, ^,) = o ; conséquemment aussi , '^'{lL,k,)=o. Ainsi le premier terme du second membre de cette dernière équation s'évanouit ; et Ton aura seulement

formule qui nous servira pour calculer l'intégrale totale de la fonction |*(jA,^r).

Il résulte donc de ce qui précède que si l'on multiplie les deux membres de l'équation (65) par ^ (ji. , k,) , et qu'on intègre ensuite depuis pi = o jusqu'à jx = tu- i , on aura

SY^Mt^.*0=û^^Sf (pi,*,);

on trouverait de même

SY^^{lL,k,)=b.y/k,SY(vyk,y

36. Substituons maintenant dans les équfi^tions (63) et (64) les valeurs de a, et de h, que nous venons de trouver, et nous aurons enfin

(68)... y.=iK '■>*•)

fi=:n -4- I

fi=n+ E

COS. ^ V/^ s Y^ 4/ (pi , if,) + --^T sin. ^ v^AS V^^(ji. , /fr)

M^O Ir Air M=0

Si on compare ces formules avec les formules (28) et (29) de l'article la, on pourra juger de l'analogie qui existe entre les oscillations d'un fil flexible attaché par un de ses bouts et chargé par autant de petits corps qu'on voudra, et les vibrations d'un fil élastique fixé à ses deux bouts et tendu par une force constante. On verra aisément que le problème des oscillations est plus composé à cause de la fonction ^(2, )(:, ) dont la nature est analogue à celle d'un sinus ^ mais dont la forme nous est seulement donnée par un développement. Les formules {(oS) et (69) sont donc plus difficiles à être traduites en nombres, sans qu'elles soient, cependant, jamais impossibles. Nous

pouvons affirmer, en conséquence, que ces formules renferment la solution la plus complète et la plus générale de l'équation (55). Pour expliquer l'usage des formules ci-dessus nous allons, comme au chapitre premier, en faire l'application au problème suivant.

3y. Un fil flexible et sans pesanteur étant suspendu par un de ses bouts à un point fixe, si l'on divise sa longueur / en 5 parties égales et, qu'à commencer de son extrémité inférieure, on place un petit poids à chaque point de division du fil ; ensuite, le fil ainsi chargé étant dans sa position verticale, si Ton imprimeun petit mouvement à la masse qui se trouve placée au milieu des autres quatre petites masses ; on demande quel serait le mouvement* du petit poids qui est suspendu à l'extrémité du fil ainsi ébranlé.

Observons d'abord que l'on doit avoir Y^ = o , et V3 = const. , et que, par conséquent, on aura

En faisant ces réductions dans la formule {68) elle deviendra

et il faudra développer le second membre de cette équation, en doQnant à v toutes ses valeurs, depuis i jusqu'à 5.

Ainsi l'on formera l'équation

dans laquelle il reste encore à calculer les formules ^(3, *0> ^{h^f)> Sit' (/*,>&,), et ^ kr^ oùv exprime un nombre entier compris entre o et 6. Cette formule est générale par rapport aux mouvemens des cinq masses; mais en faisant i=i on aura celle qui convient à la masse inférieure. Occupon^nous ^ maintenant du calcul des différens termes qui entrent dans la formule (71). Pour cela nous ayons, en général, ( voyez art. 3a)

4,(e,it ^=I-.^(^ — i) — + Ji /i ^ — L.

(i.)(i-.)(.--3)£U^^ etc..

d'où nous déduirons d'aljord , pour notre cas ;

<Kl,ir,)=i-

Ensuite les cinq valeurs de k, seront données par l'équation (6i), en 7 faisant 7i=5; ce qui conduit à l'équation

1 l'jb' 5 1*1* lo Pi' lo /'it*

If* I 5^

ou bien

' — iii56*+ 5ooo6' — 75oooO*-h 3760000 — 376000 =o;..(L)

en mettant à la place de — .

L'équation (L) fera aisément coimaitre les cinq racines que nous désignerons par 6,, 6,, 6,, 6^, et 6^ en les disposant par ordre de grandeur ; et il serait même trë^-aisé de trouver les nombres entiers, entre lesquels les valeurs de doivent tomber, d'après les règles connues pour la résolution des équations numâriques. Cest pourquoi nous supposerons les nombres 0.,0,,

63, 0^ et O3 comme touUà-fait connus. Nous aurons donc

^'=K 6r; et ensuite

Il nous reste encore .à trouver la valeur du terme S^'{f*ft')i et il faudra , pour cela , avoir recours à la formule (67). Puisque nous avons (art. Su)

> A • ^^* mm »

gn i"3' g'n

on trouvera, par la diffërenciation par rapport k k,

9 ^ s ..^^mm*

gn i-a- g--»

3pL(lt— l)(|t— 3)/'ifc,'

etc.,

et, en faisant (£=r = 5, il viendra

^ ^ ' ^ irL 5 20 . 750 75000 J

Mais, d'un autre côté, on a, en faisant fA = 4> *r=^0,dans réquation (72);

d'où l'on tire

S V(|t,/t.)= — ^ + (5,*.)"!'' (6,it0 , ou bien

sv(^,*,)=i^5(,-|6.4-l5e.- + 3^5e.'-^o/)x

On voit maintenant, qu'en supposant l'équation numérique (L) résolue, les formules (a) et (p) donneront toujours, en nombres, les deux fonctions ^{Syi,) etS^^ {iL^i,). Dénotons pour abréger, par 4^, et f,, ces deux dernières fonctions ; et, en observant que ^{i9X:,)= ly l'équation (7 1 ) nous donnera , en Élisant i = i ,

/„a\ ^ v /^ ^. sJD' ^ ^ ^. ^ ^» sJP'^ ^^. ^ ^3 si"' ^ ^^ 3

tp^sin.^V^ifc^ «pjSin./V^it, ?4 ^^4 Vs y^t.

de laquelle équation on déduira tout de suite , par la différenciation relativement à la seule variable t.

^^^^. ..yi. . *»