SECTION PREMIÈRE
idncdyse du cas ou le nombre des corps mobiles est fini.
ag. Dénotons par i l'indice du rang auquel se trouve placé un corps quelconque A m , en commençant par celui qui occupe l'extrémité inférieure du fiL Soit toujours g le coefficient de la gravité , et nommons y, l'ordonnée d'un quelconque des petits poids, après un temps t. Il n'est pas difficile de trouver que l'équation différentiell e du mouvement de ce petit corps ( et l'on en verra, d'ailleurs, la démonstration directe dans le chapitre suivant ) doit être
(55)...-^=Ç[A7i-, 4-iA'yi^,].
En faisant successivement £= i , a , 3.... /i, dans cette équation , on aurait celle de tous les corps attachés au fil. Posons ,
pour plus de simplicité, c=^ , et l'équation ci-dessus deviendra
3o. Pour intégrer cette équation nous ferons d'abord (57)... /, = a X. C08. « v^it +• è X. sin. / »/>t ,
5i SUR LE MOUVEMENT
a, b et k étant des constantes indéterminées. En substituant cette valeur dans Féquation (56) on trouvera pour déterminer la fonction X, , l'équation déterminée
(58)....X, + |[AXi-, + /A-Xi-.] = o
qui est l'analogue de celle que nous avons trouvée dans la section première du chapitre précédent, mais dont l'intégrale, sous forme finie , n'est pas encore connue. Heureusement que , d'après notre remarque , ( Voy. art. 27 ) cela n'est pas absolument nécessaire pour déterminer l'intégrale complète de l'équation (56), comme nous allons le prouver. Observons pour cela que , par la nature du système dont nous considérons le mouvement , on doit avoir y^=Oy y„^ii=o, puisqu'à l'indice o il n'y correspond aucun corps, et que le point qui répond à l'indice 72+1 est supposé fixe; et cela quelle que soit la valeur du temps t U faudra donc d'après la formule (57), que l'on ait Xo=o et X„+i = o. Cela posé, écrivons l'équation (58) de la manière qui suit,
(5g)... Xx'+ 1= : X, ; X, — I ,
ce qui n'est pas difficile si l'on développe d'abord les termes AXi-,, A'Xf— 1 en X, — Xi-,, et Xi+, — aX^-hX;-,, qui leur
k' kl sont équivalens, et si l'on fait A=-= —
Donnons à i successivement toutes les valeurs entières depuis I jusqu'à / + I , et nous aurons les développemens suivans
qui nous feront connaître la fonction X, exprimée en un polynôme multiplié par la fonction X. qui reste indéterminée ; savoir ,
Xj =(i— aA + — )x.
X,^. = (i-.-A+S=i}il'('— )(^-^) *'
Maintenant, puisqu'on doit avoir X„ + ^ = o , il est clair qu'on aura, pour déterminer la constante k, Téquation suivante du
nme degré, en observant que A = — ,
gn
^ ng I.2./Ï' I.2.g-- .1.2.3.^5 1.2.3.^"^
3 T. Une des propriétés remarquables de cette dernière équation,et de toutes celles qui lui sont analogues dans Tintégration des équations différentielles' partielles, c'est que toutes les racines sont essentiellement réelks et positives^ quel que soit le nombre entier n. Jusqu^à présent on n'a pas encore de méthodes générales pour avoir, en nombres, toutes les racines de l'équation (6i); cependant nous pouvons supposer toutes ces racines c<mnues ; car il est toujours possible de les assigner,
56 SUR LE MOtVEMENT
en faisant usage des méthodes d'approximation pour la résolution des équations numériques. Mais pour donner une idée de ces sortes de racines, et pour faire mieux comprendre la nature de la fonction X,, imaginons une courbe quelconque LQRS fermée et symétrique par rapport à deux axes rectangles LR, QS. Partageons la périférie de cette courbe en un nombre quelconque a /z de parties égales ; et des points de division M,, M., M3... M,... abaissons sur Taxe LR des perpendiculaires M,P,, M.P,, M3P3... M,P,..,
Cela posé , supposons d'abord que la courbe LQRS soit la circonférence d'un cercle , et nommons a un arc quelconque de la circonférence, compté du point L à un point de division quelconque, M3 par exemple; c'est-à-dire faisons a=LM3. En outre dénotons par X, la perpendiculaire M, P; abaissée du point M. correspondant à un nombre de divisions donné par i oc. Il est clair , d'après ce que nous avons démontré à l'art 6 , que cette fonction Xsera donnée par cette équation X,+ , ;=aAX, — X;-.,, si on prend pour h la quantité OP3. Mais on aurait pu prendre pour a un autre arc quelconque compté depuis L jusqu'à M, ; par conséquent on aura pour h jutant de valeurs qu'il j aura d'unités dans le nombre ri. Delà on voit pourquoi l'équation du {n — i)™® degré qui résulterait en faisant X,=o dans les développemens de l'art. 6, doit avoir toutes ses racines réelle^; et pourquoi ces racines sont toutes contenues dans la formule
, , ^ . ^W 27r StT (/Z— IjTT
A = COS. a, en prenant successivement-, —, — -^^ — pour
l'arc a.
Si maintenant on prend toute autre courbe que le cercle , et si l'on retient les dénominations précédentes, il est certain
que X/Sera une fonction différente de sin. ia, et qu'il est po8. sible que cette fonction X, soit définie par une équation différentielle. Vice-versâ si la fonction X, était définie par une équation différente de l'équation fy), la courbe LQRS ne serait plus une circonférence de cercle j mais une autre courbe fermée. Supposons pour un moment que la courbe LQRS soit telle que la fonction X. satisfasse à l'équation (59), et que la constante h soit une certaine fonction de la longueur O P, ; il est visible que pouvant prendre n valeurs différentes pour O P, , il y aura nécessairement n valeurs pour h qui toutes auront la propriété de rendre nulle la fonction X,. Mais la difficulté se réduit à déterminer la nature de la courbe LQRS pour laquelle on aurait M. P. = X,= à l'intégrale de l'équation (Sg). Si l'on pouvait assigner cette courbe par une équation algébrique , on pourrait déterminer , par des comparaisons, la nature de la fonction que h représente ; et Ton aurait sur-le-champ, par une simple construction , toutes les racines de l'équation X»^- 1 = 0,
32. D'après ce qui précède on voit que la fonction X, donnée par l'équation (59) a beaucoup d'analogie avec les lignes trîgonométriques ; et que les racines de l'équation algébrique X„ + 1 = o dont le degré est n , ou bien , que les valeurs de k qui satisfont à Téquation (61), dépendent de la division, en parties égales, de la moitié de la circonférence d'une certaine courbe rentrante dont la nature nous est encore inconnue. On voit de plus que toutes ces racines doivent être nécessairement réelles, puisque la division de l'arc de la courbe est toujours possible. Mais lors même que l'on aurait la fonction X. exprimée sous forme finie , et que Ton pourrait tracer facilement la
courbe LQRS, on serait encore loin d'avoir les valeurs numériques des racines de Téquation (6i). Et si la chose réussit pour Féquation (7), ce n'est pas autant à cause que la courbe LQRS est un cercle ; mais parce que Ton a des tables où Ton trouve les sinus et les cosinus déjà tous calculés. Ainsi, connaissant tout de suite les racines de Féquation sin.Ra=o; à Taide des tables, on calcule, sans peine, toutes les valeurs de cos. a, ou
bien de cos. - , cos. — , cos. — , etc. Nous pouvons donc être
presqu'assurés que la connaissance de l'intégrale de Féquation (59) n'avancerait pas de beaucoup la solution du problème des oscillations d'un (il flexible ; et qu'il resterait toujours à calculer , parles méthodes d'approximation, toutes les racines numériques de l'équation (61), qui sont les seules qu'il nous importe de connaître. On verra plus loin que la fonction X, de Féquation (Sq) a aussi d'autres propriétés communes avec les sinus.
