SECTION DEUXIÈME

Passage du fini à Pinfini.

38. Pour rendre les formides (68) et (69) applicables au cas où le nombre des corps mobiles devient infini ; c'est-à-dire lorsque le fil flexible, chargé d'un nombre fini de corps pesans^ se transforme en une chaîne uniformément épaisse et homogène; il faut avoir présentes les formules que nous avons données à l'article 19. Nous commencerons la transformation sur le termeSY^^((ji,it,).

Si, dans Péquation

a* 3*/»' -p— i-eic,

DU FIL FLEXIBLE. -i

on met d'abord -7 X à la place de jt; on trouvera, lorsque n =00,

H — ^ ,0. /. — ct^'f à l'infini ;

et par conséquent nous pourrons faire 4'((^>*0=?(^rX); la fonction (f{i,^) sera déterminée par la série (76) qui exprime son développement. On aura ensuite

l''s'v,Kix,^.)=7/V''(*'X)^*

Passons, en second lieu, à la transformation de la fonction S <j; •((*,>&,) qui nous est donnée par cette équation (voyez la

formule 67) Sr(l^,*0=^ [-^^^^^^^^j^^AKtt,-t.)],

ayant soin de faire (* = /z après les différenciations. Or , lorsque 71=00, on a, en général, ^ ((^•+-i>*0 = 4'(l^>*')=?(^,X), et

AvK|A,ifcr)=— ^^^jf — -dx; d'où Ton tire

En outre il est aise de voir que h \, — ^•= X ^^^ — -^j et puisque 72 =j-; si on nomme 9'(Jt,X) la fonction dérivée X ^^y ^ on aura ;

Maintenant il faut observer qu'étant ;î=oo , on a, en général, |x = ^ ; et que par conséquent X=/ doit correspondre à pL=7i.

Il suit de là que l'on a S tj**(|t, k')=^ ç" ( k,l) y lorsque

n=oo .

Substituons dans les formules (68) et (69), en observant que i( (i, ^r) doit devenir ç(^,^); et nous trouverons

-^ûxi.t^k,jYdx^{k.:L)^

DO FIL FLEXIBLE. jl

39. Les formules (76) et (77) renferment la solution complète et la plus générale, en même temps, du fameux problème des oscillations d'une chaîne pesante souvent agité par les plus célèbres géomètres. Les intégrales définies qui entrent dans ces formules, ainsi que les fonctions désignées par f et 9 , expriment des nombres qu'il sera toujours possible de calculer, par approximation du moins, soit par les quadratures, soit par les séries. La plus grande difficulté consistera toujours dans la détermination des racines h\^ *,, Aj... donnéps par une équation de degré infini. Cependant lorsque les valeurs de y et de V formeront une série convergente provenant du développement des formules (76) et (77), on pourra se contenter d'un certain nombre de ces racines que Ton saura toujours calculer par les méthodes connues. Du reste nous reviendrons bientôt sur la solution que nous venons de donner, et nous analyserons davantage les formules (76) et (77). Nous allons faire maintenant une application de nos formules à un exemple très-simple, mais qui sera très-propre à donner une idée plus nette des mêmes formules.

40. Nous supposerons que la chaîne soit dans la position verticale, et qu'on imprime un petit mouvement à tous les points de sa partie inférieure, depuis ^7=0 jusqu'à a?=w, étant u une très-petite quantité. Soit A la vitesse communiquée à la partie 6> de la chaîne; il s'agit de déterminer toutes les circonstances des oscillations progressives de la chaîne.

La figure initiale étant une droite qui se confond avec l'axe dea jc, on aura nécessairement ^=^0. En outre V étant constante et égale à A depuis â>n=o jusqu'à â?=<o; et de plus, nulle

74 3UR LE MOJIHMENT

pour tous les autres points de la chaîne, il est clair qu'on devra

En faisant ces réductions dans la formule (76), il viendra;

Maintenant, comme nous avons, d'après la formule (75), on trouvera facilement

/9 (itrX) dccz^a ■'— •+- ■ '. ■ ", - — etc.:

et, en négligeant les puissances supérieures de o» qui est une quantité fort petite, on aura simplement /f (i('X)c/a;=:ca.

Partant

Cette formule, très-simple en apparence, exigerait encore de longs calculs à cause que les fonctions f et 9 ', nous étant données seulement par un développement selon les puissances ascendantes de la variable, seront très-pénibles à être calculées.

DU FIL FLEXIBLE. y5

Admettons , pour un instant, que les termes qui résulteraient de la fonction f{X:,x)y pour la même valeur de x, par la substitution successive des difFërentes racines *,, *,, *3... etc., à la place de ify forment une série convergente, ce qui doit avoir lieu en effet, comme nous le prouverons plus loin ; alors , en

désignant les valeurs successives du terme ,,., ' j3ar H . , H

H 3, etc., la formule (79), étant développée, donnera

-hH39(*,ir)sin.ii^*3 +etc.); d'où l'on déduira, par la différentiation ,