H, V^ir,<p(>t.x)cOS.<W^i

+ H3»/^3(p(>t3aî)cos./»^ifc, + etc.Y

Les premiers termes des seconds membres de <;es dernières formules pourront suffire au calcul approximatif des valeurs de ^ et de V pour une valeur quelconque du temps. Mais n'oublions pas que cette propriété des équations (80) et (81) repose sur la condition que les termes des séries aillent toujours en diminuant; ou bien que les quantités H,i/'it.,H,i/>t,, etc., et H,, H,, etc., conservent toujours des valeurs finies. Cette supposition sera noieux appréciée dans la section suivante.

SECTION TROISIÈME

jinalyse directe du problème des oscillations d'une cluUneUe.

4i. Faisotïs, dans rëquatîoû (55),y,.î=y, î=Pjz^ > '*=3i ^' changeons le A en cf; nous aurons

c'est l'équation difTérentielIe du mouvement oscillatoire d'une chaîne pesante suspendue par une de ses extrémités à un point de l'axe des jc à la distance / de l'origine, étant / la longueur de la chaîne.

Pour intégrer maintenant l'équation (8a) supposons d'abord, comme à l'art. 3o,

{83)...y=aXcos.ti^Jb'\-bXsm.ty't;

aet b sont deux constantes arbitraires, Jk un nombre indéterminé; et X désigne une fonction inconnue de la seule variable X. En substituant cette valeur de y dans l'équation différentielle, on trouve que pour déterminer X il faudra satisfaire k l'équation suivante qui est du second ordre.

Cette dernière équation peut se ramener à la forme de celle

de Ricati; mais elle ne rentre pas dans les équations intégrables par la méthode de ce géomètre. Contentons-nous, pour le moment, d'exprimer son intégrale en série. Pour cela, différencions plusieurs fois de suite l'équation (9^) y et nous trouverons

g aœ dx

ibdX. . rf*X d'X g dx dx^ dx^

g dx* *dx^ dx*

Mais comme on a X=/(a?),/(^) dénotant une fonction quelconque de x; si nous nommons/',/", /"', etc., les dérivées successives A^ la fonction /, on sait , par le théorème de Maclaurin, que Ton doit avoir :

/(^)=/(o)+/'(o)a;+/"(o)f^r(o)^+et<^.

Or en faisant, pour plus de simplicité^ /(o)=i, la formule (85) nous donnera

SLR LE MOUVEMENT

Partant

(86)...X=i ac-i — ~ î4qI^ — A .Q./ — «te.

On pourrait facilement proorer , k posteriori, qae la fonction de X donnée par le second membre de l'équation (86) substituée à la place de X dans l'équation (84) rend son premier membre identiquement nuL I^r conséquent la formule (86) nous représente une intégrale particulière de l'équation (84) ; cest tout ce qu'il nous faut pour l'intégration de l'équation (8^).

42. La condition y =0 lorsque x=zl, quelque soit t^ nécessaire pour que l'extrémité supérieure de la chaîne soit fixe, nous donne X = Oy étant x=/. En substituant / à la fkice de x^ dans le second membre de l'équation (86), il viendra, pour la détermination de k, l'équation de degré infini

(87)... 0=1 — it-i — 7— r r-rr: +«l<^-

yj g g- 2* g'a'3*

Cette équation aura nécessairement une infinité de racines réelles et positives ; c'est une propriété qui convient à toutes les équations analogues de l'équation (87); et l'on prouve cette vérité par des raisonnemens fondés soit sur les principes élémentaires de la théorie des équations numériques, soit sur des propriétés déduites de la mécanique. (Voyez Théorie de la Chaleur, et la Mécanique analytique).

Dénotons par k^yk^j ^3..., k,... les racines de l'équation (87); et comme la formule (86) nous fournit le développement de la

fonction X, nous pourrons regarder cette fonction comme connue, ainsi qu'une racine quelconque k^. En substituant donc i, à la place de k dans la formule (83) on aura une intégrale particulière de Péquation (8â) ; et si l'état initial de la chaîne était celui que donne cette intégrale, on aurait la solution la plus simple que puisse comporter le problème des oscillations d'une chaîne pesante et homoj;ène. Dans tous les autres cas il reste encore à passer de l'intégrale particulière à l'intégrale complète, ce qui s'obtient parla détermination convenable des constantes arbitraires ; et ce qui constitue la véritable difficulté inhérente à ces sortes d'équafions. Mais avant d'aller plus loin nous allons donner l'expression de la ;Somme de la série (86).

Faisons dans cette équation — =*-;9 et on pourra la mettre soqs

la forme suivante

On Rassurera facilement que le second membre de cette dernière équation équivaut à ^ /cos.(asin.z)e/z, l'intégrale étant

prise depuis z=o jusqu'à z=ic. Cette dernière formule est due à M. Fourier qui, en résolvant le problème de la distribution de la chaleur dans ubl cylindre infini, est tombé sur l'équation (84). (Voyez Théorie de la Chaleur, chap. vi.) Il est assez remarquable que deux problèmes aussi différens que celui de la propagation de la chaleur à travers un corps cylindrique de longueur infinie, et celui des oscill^ions d'une chaîne de longueur finie et homogène, conduisent aux mêmes équations, et dépendent, l'un et l'autre, des mêmes ressources analytiques^

8o SUR LE MOUVEMENT

si Ton peut s'exprimer ainsi. Nous remarquerons encore que les équations difTérentielles de ces deux problèmes ne sont pas les mêmes, et que la théorie du mouvement de la chaleur dans un cylindre, forme la question la plus difficile de toutes celles que M. Fourier a résolues dans son excellent ouvrage.

43. L'expression finie de l'intégrale de l'équation (84) sera, d'après ce qui précèdcj

X = - /cos. Çf^^Y—aiu.zjdz, à cause de a=aY/ •

La variable i; doit disparaître après l'intégration, de sorte qu'on pourra écrire simplement X = ^j;(^;r), en dénotant de cette manière la fonction de ^ a? à laquelle <]oit se réduire la

formule - y cos. (^y — sin. z\ d z après Vintégradon définie

achevée. Il ne paraît pas que cette intégrale définie ait quelque avantage sur la série (86) malgré sa forme élégaQte; et nous pensons même que le moyen le plus simple de calculer cette intégrale serait de la ramener à la série dont nous venons de parler. On doit donc regarder cette expression comme étant seulement propre à représenter la fonction X, ce qui, du reste, est toujours de quelque utilité sous le rapport du langage algébrique. Cependant l'expression de X sous forme d'intégrale définie, telle que nous venons de la rapporter, quoique insuffisante pour le calcul de la valeur numérique de cette fonction lorsqu'on assigne, en nombres, la valeur de la variable x^ peut servir à nous faire découvrir les limites de toutes les racines

de rëquation (87). Il fout, pour cela, observer d'abord que cette équation a son second membre identique ayec le développement

de la formule- /cos. f^y — sin.zj dz; et que par conséquent

toutes les valeurs numériques de k qui rendront

/cos. i^Y — sin.zjdz = o

seront racines de l'équation (87). Faisons maintenant a \/^L=h,

.ir

et considérons la formule/ cos. (Âsin.z)£/z pour une valeur

quelconque de la constante k. Si Ton construit la courbe donnée par réquation w = cos.(Àsin. z), en prenant Taxe des z horizontal et Taxe des «> vertical; il est clair que l'aire comprise entre la courbe, l'axe dez, et les ordonnées a> correspondantes

àz=:o, etz=w, sera égale kf cos. (h sin. z) dz. Pour que cette

intégrale se réduise à zéro il faut nécessairement que la valeur numérique de h soit telle que la courbe, dont l'équation est (i> = cos. (^isîn.z) coupe l'axe des z^ et de manière, que Faire qui est placée au dessous de l'axe des z soit égale à Faire qui est au dessus. Mais il est aisé de voir aussi que la courbe, dont nous parlons, doit être symétrique de part et d'autre de Fordonnée qui répond à z=-; et il résulte de là que si l'on a

fco9.{hsia. z)dz=Oy on doit avoir pareillement

y*cos. ( Âsin. Z ) rfz := o.

On cherchera donc seulement les valeurs de h qui peuvent rendre nulle cette dernière formule; et l'on s'assurera facilement, par la construction de la courbe, que la formule ci-dessus peut devenir égale à zéro lorsque entre les abscisses z=o et

;3=-, la courbe, dont l'équation est w = cos. (Âsin.z), passe au

dessous de l'axe des z une fois; et que, dans ce cas, il faut

nécessairement que l'on ait h > — ^- Mais la même formule

sin.^

peut se réduire à zéro lorsque la courbe coupe deux fois l'axe des z, depuis z=o jusqu'à z = - ; et alors il est aussi aisé de s'assurer, par des constructions, que la videur numérique de

h doit être plus grande que-;^ . En continuant de cette ma-

sm.^

nière on arrivera à cette conclusion, savoir; que si l'on dénote

par ^», A,, A,,... h,.... les racines de l'équation o=jrcos. (Asin.z) dz,

disposées par ordre de grandeur, en commençant par la plus petite, on aura

ff ir ir

A, > -; — > A, > -: — ^ î hi> .Ji, > ^

sm,j ^m.^ sin.j^j sin.-j;

Et puisque nous avons fait ^==77" > il s'ensuit que les limites

inférieures des valeurs des racines k,^ ^„ ^3-, etc,^ seront successivement

s I - I cosec-

D'où il est facile de conclure que les quantités k,, k,, k^y etc., doivent former une série dont lés termes croîteront extrêmement vite; et lorsqu'on voudra calculer ces racines par approximation, on substituera dans Féquation (87) la quantité

/\7 J ^^®^^- ~Â'^ i^ ^ ^^ place de k, et l'on déterminera la

quantité inconnue od par des substitutions successives. Du reâte ces détails d opérations sortent du but que nous nous sommes proposé; et il serait souvent très-facile d'y suppléer par d'autres moyens plus expéditifs. Mais, ce qui nest pas indifférent pour nous, ce sont les limites inférieures des racines de l'équation (87) que nous venons d'assîgner et qui vont nous servir à discuter plus à fond la théorie des oscillations de la chaînette.

44- Examinons maintenant la fonction X, que nous avons désignée par 9 {kx)^ et qui est équivalente à

i /cos. r^y/ — sm.zSdz.

En mettant successivement ^„ >t.,^3, etc., à la place de jt dans cette dernière formule on verra que la courbe dont l'équation

serait »=cos. ^ay — sîn. jgV formerait, pour une valeur quelconque de X finie , des sinuosités qui augmenteraient conti-

nuellement, en nombre, et qui passeraient au-dessous de l'axe àesz; et que, plus la valeur dei^-serait grande, plus la somme des aires négatives et celle des aires positives se rapprocheraient Tune de l'autre; d'où il suit que si on donne à x une valeur quelconque, qui ne soit pas très-petite, la formule

- / cos, Tay/ — sin. zjdz

doit prendre des valeurs d'autant plus petites que k est un nombre plus grand.

Il suit de là que les valeurs successives de la fonction (f{kx)y en y mettant pour i les racines ^,, ^,, ^3...., doivent former une série convergente, toutes les fois que la variable x n'est pas très-petite. Il nous reste encore à analyser la fonction

,<f{kl) que nous savons être égale à k ^\, K Or nous avons vu, ci-dessus, que <p (^/) =- / cos.yj^y —sin. zjdz; d'où il résulte

v/f/8in.(av/f^

Si l'on cherche actuellement à déterminer, par les quadratures, les limites de cette dernière intégrale définie à mesare que la quantité k augmente de valeur, on s'assurera aisément qu'elles doivent tendre de plus en plus vers zéro; mais comme, d'un

autre côté, le facteur y/ — augmente de plus en plus, on n«

saurait dire si la fonction <f'{kl) doit conserver une valeur

finie, ou bien , croître ou décroître indéfiniment, à mesure que Ton donnera à i une valeur de plus en plus grande. Cette incertitude nous empêche de connaître, en général, si les séries, que fourniraient les développemens des JTormules (76) et (77), seront convergentes ou non: mais il ne serait pas difficile de s'en assurer dans les divers cas particuliers. Revenons à l'équation (83).

45. Si l'on substitue à la place de X la fonction que nous avons désignée par 9 (kx), et si on met pour k une quelconque des racines ^,de l'équation (87), on aura l'intégrale particulière

(88).... y=a<f{i,œ)cos.tv^i^+b^(k,x)sin.£v^i,.

La formule (88) sera aussi l'intégrale complète de l'équation (82) si elle peut représenter l'état initial de la chaîne qui est supposé arbitraire. Et il est bien facile de prouver qu'il peut exister une infinité d'états primitifs de la chaîne pour lesquels la formule (88) en devient l'intégrale complète, et par conséquent la solution la plus simple et la plus exacte en même temps. Dans tous les autres cas il faudra prendre la somme de toutes les intégrales particulières que peut fournir la formule (88) en les multipliant successivement par des coefficiehs arbitraires ; et déterminer ensuite ces coefficiens de manière que la somme des intégrales particulières satisfasse à l'état initial. Nommons Y et V l'ordonnée y et la vitesse p correspondantes à /=o ; et pour distinguer les abscisses qui répondent à <=o de celles que l'on prend pour une valeur quelconque du temps, désignons les premières par X. En nommant de plus a„ i» > ûj,, &., aj, ij, etc., les constantes successives indéterminées, on devra avoir

(89)....Y=a,<|»(A.X)-ha.9(/t.X)-t-a$9(*3X) +a.<f{k,X)..,.^

46. Multiplions les deux membres de réquation (89) par <f{kpi)dx et intégrons depuis X=o jusqu'à X=/. Le premier

membre deviendray^Yrf^rçj^A^X); et le terme général du second

sera a,/<f{i^X)<f{k,X)dx.

observons que la fonction fC^,X) doit satisfaire à l'équatioR

^YV's^-y rfX ■ ^^ rfX

et si nous faisons, pour plus de simplicité, 9 (^^X)=F,, ç(^^X)=F^, nous trouverons

En intégrant par parties le second membre de cette dernière équation, il viendra

Les termes qui se trouvent hors des signes dïntégration doivent se rapporter aux deux limites des intégrales que nous

désignerons,, en général, par a et iù. Maintenant la fonction F^

donne aussi '^f^^^'l^ "*" ^"rfx^' P^ï* conséquent la dernière

équation se réduira à la suivante

(||)/F.F..f. = [xF.§-XF.^^],

[^^"dt—^^'-dt],'

Prenons pour limites «=o «t *>=// c'est-à-dire intégrons depuis X=o jusqu'à X=:/y il est clair que le terme qui a l'indice a dans le second membre se réduit k zéro j et Toa aura seulement

t90....(|--|)/F.F.dx=[XF,g-XF.^-],

Mais lorsque X = /on a F^=ç(^^/) = o, F, = ç(i,/) = o, si Fon prend pour k^ et k, deux racines de Téquation ç(^/)=0 5

et par conséquent on trouvera f<f{kf,X)ff{k,X)d:x:=o.

Il faut cependant excepter le cas où A^=A,; car la valeur de

fYf,Y,dx donnée par Féquation (91) devient alors- ; et nous o ' o

allons la déterminer par les règles connues.

47. Mettons dans l'équation (91) les fonctions désignées, et nous aurons

-Xç(

jt X^rf'^*"^^

A,A)tf ^^

équation dont le second membre se réduit à - lorsque A^ = k,.

Différentions maintenant le numérateur et le dénominateur, en considérant *^ comme seule variable, et mettons ^''=*„ X=/^ après les différenciations j nous trouverons

(93).../.-C*.X)rfx=^[!?î^x±^]d*,.

Mais la fonction 9 est telle que Ton doit avoir ^,^ = X^;

ainsi, en dénotant par <f{k,l) la fonction *,-î^-pi , l'équation (93) deviendra

f^'{k,X)dœ= friU)=eA, [^Y

DU FIL FLEXIBLE, 8g

D'après ce qui précède il est facile de voir que réquation (89) doit nous donner la relation suivante

pdx^{kX)=-'^9\kA

d^où Fon déduira successivement toutes les valeurs des coeffi-

cîens a,, a., a^. en faisant v=i, a, 3. ... Op trouverait de la

même manière, que l'équation (90) doit fournir la formule générale

de laquelle on tirera toutes les valeurs des coefficiens b,yb,y b^...

48. Ayant ainsi déterminé tous les coefQciens qui multiplient les intégrales particulières dont la somme doit représenter l'intégrale complète de l'équation (82), on pourra mettre cette intégrale sous la forme suivante

=i2^lJ&^[cos.*i/*7Yrfarç(>t.X)+ ^sm.t\/iJyda:<f{AX)\ ;

formule qui coïncide parfaitement avec la formule (76) que nous avons dérivée de l'équation plus générale (68)^ en passant du fini à l'infini. Il n'est pas nécessaire d'ajouter que nous trou*

verions la formule (77) en prenant la valeur de -^ dans la formule ci-dessus.

go SUR LE MOUVEMENT

«niMIMMmWUWlAAIlWMMIMIMIIWIIM^^