INTRODUCTION

Ija question proposée est un véritable problème de calcul intégral, et, sous un énoncé aussi simple, elle sera encore longtemps recueil contre lequel viendront se briser les efforts de Tanaljse actuelle. Cette assertion n'aura rien de surprenant aux yeux des personnes versées dans Thistoire des mathématiques. En effet, on a vu de tout temps les plus grands géomètres arrêtés par des obstacles qui paralsqaien r sr simples, au premier abord, mais qui n'étaient pas moins invincibles par les forces actuelles de la science. C'est ainsi que toute la géométrie de Platon et tous les géomètres du premier ordre de l'antiquité se sont trouvés incapables de ^-ésoudre le fameux problème de la duplication du cube ; et c'est ainsi que , dans les temps modernes, tout le savoir de Galilée a été insuffisant lorsqu'il s'est agi de déterminer la courbe de la chaînette.

Les développemens que les mathématiques ont reçus depuis Newton et Leibnitz, ont mis les géomètres en état de résoudre facilement les questions qui avaient arrêté leurs devanciers, et d'apprécier en même temps les raisons pour lesquelles ils avaient échoué. Malheureusement il arrive toujours qu'une difficulté vaincue, en étendant le champ de la science, donne

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origine à plusieurs difficultés nouvelles qui peuvent arrêter long-temps encore l'essor de Tesprit humain , tout en raffermissant davantage sur le terrain nouvellement conquis. C'est là rhistoire de toutes nos connaissances; mais il faut convenir que nous devons la plupart des beaux résultats dans les mathématiques aux obstacles qui ont souvent entravé la marche naturelle des géomètres dans la carrière des sciences exactes.

Les questions mathématiques qui restent insolubles à une époque quelconque de l'histoire de la science, peuvent être de deux sortes j les premières n'exigent qu'un seul pas en avant, et elles entrent tout de suite dans le domaine de la science; les autre» ^'^^gent ii n rï^ yie]opp^»»4»rrfe hien plus grand , et souvent tel , qu'il donne à la science primitive une nouvelle face et un objet différent. Pour donner un exemple des premières nous nous contenterons de rappeler le fameux problème du Centre d^ Oscillation ; et le problème de la Trisection de V^ngle était, pour les anciens, un problème de la seconde espèce. Mais aussi long-temps que l'on ne possède pas la solution d'une question , il est souvent difficile d'assigner à laquelle des deux classes elle appartient ; et c'est à l'analogie seule qu'il faut avoir recours pour porter un jugement dans le plus grand nombre des cas. Quoi qu'il en soit, l'histoire des découvertes nous démontre que des questions , même impossibles à résoudre, ont quelquefois donné lieu à plusieurs théorèmes nouveaux et importans, de même que les problêmes qu'on est parvenu à résoudre complètement. Ainsi l'on doit regarder

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toute question comme propre à amener des résultats utiles et heureux, quelle que soit d'ailleurs sa nature ou sa place naturelle dans Tordre progressif des développemens que la science peut recevoir.

Nous pensons que c'est d'après des considérations semblables aux précédentes , que l'Académie royale des sciences et belleslettres de Bruxelles s'est décidée à mettre au concours la question que nous avons rapportée littéralement en tête de ce mémoire. Nous pensons en outre que son intention n'a pu être celle d'exiger une solution ad litteram du problème proposé , ce qui excéderait de beaucoup les forces actuelles de l'analyse algébrique ; mais bien de rappeler l'attention des géomètres sur une question qui peut donner lieu à beaucoup de recherches utiles aux progrès des mathématiques. Si nous entrons bien dans les vues de l'Académie royale , nous croyons qu'en proposant le problème du fil flexible, elle a eu pour objet principal de demander aux géomètres jusqu'à quel point les ressources de l'analyse actuelle peuvent résoudre cette question ; car il est de fait que , de nos jours , la théorie de l'intégration des équations aux différentielles partielles ayant fait beaucoup de progrès, l'on doit s'attendre à quelque chose de nouveau sur cette matière. Et puisqu'on est parvenu à résoudre, par

l'analyse moderne , des questions qui n'auraient pu l'être avec

les armes des Bernouilli et des Euler, que reste- t-il encore à faire pour attaquer le problème du mouvement quelconque d'un fil flexible? Les procédés des nouveaux calculs peuvent-ils servir