K39 ( itj a? ) COS. < v^ij + etc

En prenant seulement les premiers termes de cette série on aura une valeur très-approchée de l'ordonnée d'un point quelconque du fil après un temps quelconque ; mais le calcul des termes K,, K., Ka^etc, exige beaucoup de temps et de patience, sans être pourtant impraticable.

81. Il résulte de l'analyse précédente que le problème des oscillations d'un fil flexible homogène, quoique résolu d'une manière générale et complète, par les formules (76) et (77), présente encore des difficultés, à raison des intégrales définies que ces formules renferment. Ces difficultés sont plus ou moins grandes selon que ces intégrales sont plus ou moins difficiles à être réduites en nombres; ce qui dépend absolument et ex* clusiyement de l'état initial du fil. Nous avons vu à l'article (45) qu'il y a toujours une infinité d'états pour lesquels les oscillations sont très-régulières \ et qu'alors les circonstances du mou«^ vement du fil sont exprimées par des formules très-simples. Nous venons de voir que le cas où le fil aurait la forme d'une chaînette au commencement du temps, quoique plus simple que d'autres cas, à cause de V=o, est cependant assez compliqué pour exiger de longs calculs très-pénibles. Cette singularité ou, pour mieux dire, cette propriété du mouvement du

DU FIL FLEXIBLE. i4x

fil flexible n'est qu'une conséquence d'une propriété plus générale, devinée par Daniel Bernouilli, en vertu de laquelle tous les petits mouvemens se composent de la somme de plusieurs mouvemens simples. M. Fourier a étendu cette propriété, en démontrant qu'elle a lieu aussi dans la propagation de la cha-leur. Cet illustre savant pense que cela tient à une loi de la nature et non à la manière dont le calcul exprime les circonstances mathématiques du problème ; mais il nous semble que la nature doit opérer par des moyens beaucoup plus simples, et il nous répugne d'admettre que ce soit par une infinité de mouvemens simples qu'elle exécute des petits mouvemens quelconques. Quoi qu'il en soit, on doit regarder la découverte de ce fait comme une des plus belles découvertes de l'esprit humain.

82. D'après les remarques que nous venons de faire, on doit désespérer de pouvoir déterminer les circonstances du mouvement du fil flexible lâché par une de ses extrémités, lorsque cette extrémité est soulevée à une hauteur et à une distance finies, l'autre extrémité restant immobile. Les équations différentielles de ce mouvement sont données par les formules (96); et en conservant toutes les dénominations de l'article Sa, on aura seulement

si l'on prend pour plan des {x, y) h plan de la courbe formée par le fil dans son état d'équilibre lorsque ces deux extrémités sont fixes, et si l'on observe que les différenciations indiquées

i42 SDR LE MOUVEMENT

se rapportent seulement à la variable s, dont on peut prendre rélement ds pour constant. Faisons dm=ds^ puisque le fil est homogène, et les équations (i4û) deviendront

, ,«. d^'x d^x dmdx d*y d^y d^dr

La difficulté d'intégrer ces dernières équations tient à la fonction inconnue ç que Ton doit éliminer d abord ; ce qui conduirait à une équation finale très-compliquée.

Cette fonction f exprime la tension du fil au point qui a x et y pour coordonnées après un temps t; et sa valeur dépend de la courbe que le fil doit avoir au même instant , et de la vitesse dont chaque point est animé ; et cette forme du fil et cette vitesse dépendent à leur tour de la ten^sion 9. C'est cette espèce de cercle vicieux qui rend les équations (i4^) rebelles à toute espèce de transformation vers l'intégration.

83. Cependant nous avons intégré ces mêmes équations dans l'hypothèse des mouvemens très-petits; mais on s'apercevra facilement que cela nous a réussi précisément parce que la fonc* tion ç s'est trouvée déterminée à priori, étant alors indépendante du temps ; ce qui ne peut se faire dans le cas des mouvemens finis. Ce qu'il j aurait dé mieux à tenter dans ce cas, ce serait de supposer que l'état initial du fil est tel que 9 devienne une fonction périodique du temps. On pourrait espérer alors de trouver quelque solution pour tous les cas où la détermination de 9 à priori conduirait à une intégrale particulière; mais on dériverait Fétat initial de l'intégrale même ; c'est-ànlire

DU FIL FLEXIBLE. i45

que Ton chercherait quelles formes et quelles vitesses on devrait communiquer aux difFérens points d'un fil flexible pour que les équations (i43) devinssent intégra blés. Mais on doit, sans aucun doute, être assuré d'avance que l'état initial du fil, tel qu'il est donné par le problème proposé, ne saurait y être compris.

Nous pourrions terminer ici notre mémoire, vu Fimpossibilité dans laquelle on se trouve à Fégard de l'intégration complète des équations (i43), et la possibilité hypothétique d'intégrer les mêmes équations, dans certains cas, en assignant des formes connues à la fonction 9. Car, en admettant même que l'on puisse effectuer l'intégration dans cette hypothèse, on ne doit point espérer de pouvoir éclaircir davantage le problème du mouvement d'une chaînette lorsqu'une de ses extrémités vient à être lâchée. D'ailleurs cela nous entraînerait trop loin et sortirait du but de notre mémoire qui est déjà assez long ; et nous pensons qu'il vaudrait mieux encore d'analyser les vibrations et les oscillations dans un milieu résistant. Nous allons toutefois donner deux transformations générales des équations ( 1 43) ; les seules que l'on puisse faire dans l'état actuel de la science.

84. Multiplions les premiers membres des équations (i43), celui de la première par /rf^, et celui de la seconde par xds, et retranchons le premier résubat du second ; nous aurons

OU bien

i44 SUR LE MOUVEMENT

intégrons maintenant depuis 5=0 jusqu'à ^=/, ou bien, prenons la somme du premier membre de cette équation par rapport à tous les élémens du fil; et, en désignant cette somme totale par S, nous trouverons

Supposons que Porigine des coordonnées soit transportée au point de suspension du fil ; et si Ton observe que les termes qui se trouvent hors du signe d'intégration doivent se rapporter aux limites extrêmes de l'intégrale, et que pour une de ces limites on a jc=o, y=o, et pour l'autre ç=o, puisque 9 est égale à la tension du fil au point dont les coordonnées sont x et y; on aura seulement

Le signe S se rapporte uniquement à la masse du^fil ; et l'on pourra par conséquent écrire

y^^Jî^iE)i.=,^yi,^

DU FIL FLEXIBLE. i45

ou bien, en intégrant par rapport k t, .

Cette équation est l'anafogne de celle qui renferme le principe des aires ; elle exprime une des propriétés générales du mouvement du fil flexible, quelle que soit la manière dont il ait été primitivement mis dans cet état ; c'est la première transformation générale dont nous avons parlé à la fin.de l'article précédent. Passons maintenant à la seconde transformation.

85. Que l'on multiplie tous les termes de la première des équations (i43) par dxds, et tous les termes de la seconde par dydsj et que Ton ajoute les produits, il viendra

les difTérentîelles étant prises par rapport à x et / dans la supposition de ds constante, on a

dxd^x+djrdy^i^ J^j

BOUMO

UNiV. OF MICH, UBRARY

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