FLEXIBLE

y5. La marche que nous avons suivie dans les chapitres précédens pour intégrer les équations du mouvement oscillatoire d'un fil élastique ou flexible, a toujours été la même et se compose de trois opérations principales. La première opération consiste dans la détermination de la forme d'une intégrale particulière quelconque; ce qui ne présente ordinairement aucune difficulté. La seconde opération se compose de l'intégration d'une équation aux différences finies ou infiniment petites, du second ordre, et entre deux variables; elle sert à trouver la fonction inconnue de la variable principale ou de l'abscisse, et souvent elle n'est pas intégrable en termes finis ; mais elle l'est toujours au moyen d'une série. Un complément nécessaire de cette opération a lieu dans plusieurs cas; c'est la résolution d'une équation algébrique d'un degré très-élevé et même infini, à cause des conditions particulières auxquelles sont soumises les extrémités du fil, ou une seule de ces extré-

mités. Enfin il y a une troisième opération , la plus laborieuse de toutes, et par laquelle on réduit la somme de toutes les intégrales particulières à Vintégrale complète, d'après Vétat initial supposé donné et arbitraire.

76, Il est prouve, par les nombreuses applications que les plus célèbres géomètres modernes en ont faites à la résolution des questions les plus intéressantes de la physique , que cette marche est la plus féconde de toutes celles qui nous sont connues, en résultats vraiment utiles, et d'une application numérique facile et rigoureuse. Nous avons déjà observé que Forigine de cette méthode remonte jusqu'à Taylor; que Daniel Bernouilli Fa considérablement généralisée et que Lagrange Fa complétée dans le problème des cordes vibrantes. Mais c'est à M. Fourier qu'elle doit la supériorité qu'elle a obtenue , après lui, sur toutes les autres méthodes. Cet illustre savant l'a exclusivement employée dans sa Théorie de la Clialeur, en la perfectionnant considérablement^ et en la rendant applicable à presque toutes les questions physiques les plus importantes* Elle réussit dans tous les cas où l'on considère des mouvemens oscillatoires trèspetits, et, en général, dans Fintégration des équations &W^/r^^^ comme Fa fait voir M. Cauchy dans un mémoire sur le même sujet.

Il était donc de la plus grande importance d'appliquer au mouvement d'un fil flexible cette méthode, la meiUeure de toutes, pour être en état d'apprécier les difficultés que la solution de ce problème devait présenter, et pour juger la nature du problème proposé par l'Académie royale, comparativement

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à l'état actud de l'analyse algébrique. C'est ce que nous avons fait dans le mémoire que nous soumettons, maintenant au jugement de l'Académie.

Xes problèmes que nous nous sommes proposés et que nous avons complètement résolus dans ce mémoire peuvent se ranger sous trois chefs différens, relativement à la plus ou moins grande difficulté de l'intégration. Le premier problème est celui des vibrations d'une corde élastique; et nous pouvons mettre sur le même rang celui des oscillations d'un plan flexible de forme parabolique; ou d'un fil flexible dont la densité, depuis l'extrémité inférieure jusqu'à l'autre, croîtrait comme les racines carrées des abscisses. Nous désignerons ce chef par le nom de problème du phm flexible parabolique. Le second chef comprend le problème des oscillations d'un plan flexible dont la

figure serait déterminée par l'équation ^= A jc', en comptant les abscisses de bas en haut; nous le nommerons \q problème des oscillations du plan flexible de forme parabolique cubique. Enfin le plus difficile de tous les problèmes que nous ayons résolus est celui des oscillations â^ un fil flexible homogène, ou du plan flexible rectangle. Il est inutile de faire observer que cette méthode s'applique avec la mêçie facilité et le même succès aux problèmes qui ont rapport à un nombre déterminé de masses liées ensemble et rangées en une ligne quelconque»

77. Si nous comparons maintenant les solutions que nous avons données avec celles que les autres géomètres ont obtenues en résolvant d'autres problèmes de physique , voici quelles en seront les conséquences remarquables.

DU FIL FLEXIBLE. i35

1®. Le problème des oscillations d'un plan flexible parabolique, quoique dépendant d'équations différentielles différentes, exige les mêmes artifices de calcul, et présenté absolument les mêmes difficultés algébriques que celui des vibrations des cordes élastiques; et, ce qvi est plus remarquable encore, il est du même genre que celui de la propagation de la chaleur dans une direction rectiligne.

a». L'intégration par laqiaelle on obtient la solution du problème des oscillations d'un plan flexible parabolique cubique, conduit presque aux mêmes formules que le problème de la propagation du son dans les fluides élastiques, et celui du mouvement et de la dispersion de la chaleur k travers une sphère homogène.

3^. Enfin le problème des oscillations d'un fil flexible homo. gène présente les mêmes difficultés à vaincre que celui de la propagation du son sur une surface plane de fluide élastique, et celui de la propagation et du mouvement de la chaleur à travers un cylindre.

Le dernier de ces problèmes étant le plus difficile de tous ceux que M. Fourier a résolus dans sa Théorie de la Chaleur, on doit juger par là de quel ordre est déjà la question des oscillations très-petites d'un fil homogène flexible suspendu par une de ses extrémités.

Ce que nous allons ajouter jettera un nouveau jour sur la nature du problème tel qu'il a été proposé par l'Académie.

i36 SUR LE MOUVEMENT

78. Le problème dont nous parlons est exprimé en ces termes; « Un fil flexible et uniformément pesant, étant suspendu par Fune de ses extrémités à un point fixe, et soulevé par son autre extrémité à une hauteur et une distance quelconque, si Fon vient à lâcher cette seconde extrémité, et à abandonner ainsi ce fil à Faction libre de la pesanteur, on demande les circonstances de son mouvement dans Fespace supposé vide. »

Supposons que le fil soit suspendu à un point fixe pris sur Faxe des x^ dirigé de bas en haut, à une distance de l'origine égale à sa longueur =/y et supposons en outre qu'il soit écarté, par son extrémité inférieure, d'une quantité u très-petite, dans le sens de Faxe des y. Si l'on vient à lâcher cette extrémité et à abandonner ainsi ce fil à l'action libre de la pesanteur, les circonstances de son mouvement dans Fespace supposé vide seront déterminées complètement par les formules (76) et (77) qui renferment le cas général des oscillations d'un fil flexible homogène. Ce qui distingue les différens cas particuliers compris dans ces forihules générales, ce sont les valeurs des intégrales définies qui en font partie, et qui dépendent uniquement de l'état initial du fi]. Pour faire l'application des formules {'j6) et C77) aux oscillations du fil flexible, dans le cas actuel, on observera premièrement quç Fon a V=o ; ce qui réduit la formule (76) à la suivante*

où il reste encore à déterminer la valeur d'une intégrale définie.

DU FIL FLEXIBLE. iS;

Cette opération exige que l'on connaisse Y en fonction de X , c'està-dire, la figure initiale du fil. Or il est clair que, dans le cas que nous considérons, cette figure doit être celle d'une chaînette, et qu'ainsi Y sera une fonctioji transcendante de X ; et Ton sait, depuis long-temps, que cette fonction est une transcendante logarithmique.

. 79. L'équation de la courbe du fil flexible lorsque i=o, est rigoureusement

(. 39)... Y =.+ Mog. (ï±*3i^!^) ,

une des extrémités du fil étant fixée sur l'axe de X, dirigé de bas en haut, et l'autre extrémité étant fixée sur l'axe des Y, mené horizontalement, à la distance <» du côté des Y positifs; la quantité b est une constante qui doit être déterminée de manière à avoir Y=o lorsque X=a = à l'abscisse de l'extrémité supérieure du fil. Mais lorsqu'on suppose «» très'petite; l'équation transcendante ci-dessus prend une forme algébrique beaucoup plus simple. En effet l'équation (iSp) peut se mettre sous la forme

Y— « , ^x + ft— i^(X+*)--4»\. __=log.( i J );

et, en passant des logarithmes aux nombres, on trouvera

be * =.X+5— v^(X+i)--i';

i38 SUR LE MOUVEMENT

en développant le premier membre de cette équation et en négligeant les puissances de — r— qui sera toujours une quantité fort petite, on aura

ou, en réduisant,

(l4o)... a>— Y= V^IL^ + ah^— X ;

c'est lequation de la courbe que formera notre fil flexible-, et pour déterminer la constante b, on aura l'équation

qui résulte de l'équation (i4o) en y faisant X=/et Y=o; ce qui doit être, à raisoii du très-petit écart de Textrémité inférieure du fil. On aura donc &=(d, en négligeant toujours les puissances du second ordre. Partant .

(l4l)... Y:=«+X~i^X'+ rî«X.

Cette équation peut servir, dans notre cas, au lieu de l'équation (iSq) , rigoureusement exacte, mais qui est beaucoup plus compliquée.

80. La figure initiale du fil étant donnée par l'équation (i4i) on aura la valeur de k fonction Y qui entre dans l'intégrale

fYda:<f{k,X)i et puisque la fonction 9 est représentée par la

DU FIL FLEXIBLE. iSg

série (76), on pourra toujours assigner la valeur de cette intégrale définie. Développons le second membre de l'équation (i4a), et nous trouverons

Y—— îîl -H ifi* etc

ce qui nous démontre qu'aussitôt qu'on donne à X une valeur sensible, la fonction Y acquiert des valeurs infiiriment petites. Nous pouvons donc regarder Y comme nulle depuis X= a jusqu'à X=/, en prenant pour a une quantité =7Ww, étant m un nombre assez considérable.

Cela posé, il est clair que l'on aura sensiblement

/YrfX(p(*,X)=Arf^1>(*rX).

Cependant, malgré toutes ces réductions et toutes ces simplifications, la détermination, en nombre, de l'intégrale définie ne laisse pas d'être encore extrêmement compliquée, à cause de la fonction 9 donnée seulement par un développement. Mais

il est certain que l'intégrale définie /Y7/a:ç( A, X) aura toujours

des valeurs extrêmement petites ; et si nous admettons que les valeurs de cette intégrale soient du même ordre que la fonction

2 ?'*(*'0} ^voir que la quantité.* conserve tou-

jours une valeur finie, ou même une valeur toujours très-petite, pour les valeurs successives de k/, alors la formule (i38) don-

i4o SUR LE MOUVEMENT

nera y exprimé en série convergente. Faisons, pour abréger,

ifc/Yrf*?(it,X) ^. — ° : et nous aurons

y=K,<p(^.a:)cos.f»/iE.-l-K.ç(it.a:)cos.<*^^.