M. BAYEZ , IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE DE BRUXELLES
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RECEfVEO M 31
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MÉMOIRE
DE GÉOKéTaiE
Préliminaires.
[i] Soit un cône du second degré ayant son sommet au centre d'une sphère. La courbe d'intersection de ces deux surfaces est, comme on sait, une ligne de courbure du cône , parce qu'elle est partout normale à ses deux arêtes , qui sont aussi des lignes de courbure.
Cette ligne est ^ensemble de deux courbes fermées , provenant de la pénétration de la sphère par les deux nappes du cône. Ces deux courbes sont évidemment symétriques par rapport aux trois plans principaux du cône , de même que le cône lui-même est symétrique par rapport à chacun
(') Cet écrit fait suite k un Mémoire sur les Propriétés Générales des Cônes du Second Degré ^ dont rAcadémie a ordonne Finsertion d^ns le Recueil de ses Mémoires , et dont la lecture est indispensable pour l'intdligence de celui-ci.
Les deux lignes focales du cône perceront l'hémisphère sur lequel se trouve l'ellipse sphérique que nous considérons, en deux points que l'on peut appeler les foyers de l'ellipse , à cause de la ressemblance qui a lieu entre leurs propriétés que nous allons démontrer , et celles des foyers des ellipses planes.
Enfin les deux plans cyclique s au cône couperont le même hémisphère suivant deux demi - grands cercles qui auront pour diamètre commun le grand axe du cône j ce grand axe est compris dans le plan du grand arc-diamètre de l'ellipse ^ et ces deux demi-grands cercles sont perpendiculaires au plus petit arc-diamètre et ne rencontrent jamais Tellipse. Appelons ces deux arcs , pour indiquer leur origine , arcs cycliques de l'ellipse sphérique.
[3] Maintenant soit mené le plan de la petite section du cône. Il est clair que ce plan partagera en deux parties égales, et placées symétriquement par rapport à ce plan, rintersection complète du cône et de la sphère.
Considérons la partie de cette intersection comprise d'un même côté de ce plan. Elle sera composée de deux branches qui seront des moitiés des deux ellipses sphériques. Ces deux branches , symétriques par rapport au plan diamétral perpendiculaire à l'axe principal du cône, et qui s'éloignent de ce plan à partir de leurs sommets , forment une courbe quW peut appeler hyperbole sphérique. Son centre est le point où le grand axe du cône perce l'hémisphère sur lequel est la courbe \ ses deux foyers sont les points où les deux li-
gnes focales du cône percent cet hémisphère; ces foyers se trouvent sur l'arc de grand cercle qui joint les deux seuls sommets de la courbe.
Enfin les deux plans cycliques du cône coupent l'hémisphère suivant deux demi-grands cercles qui passent par le centre de l'hyperbole, et font des angles égaux avec l'arc qui joint ses deux foyers ; ce sont les deux arcs cycliques de l'hyperbole.
[4} Considérons enfin l'hémisphère situé d'un côté du plan de la grande section du cône , lequel plan comprend les deux lignes focales.
On aura sur cet hémisphère deux moitiés des deux ellipses sphériques ; ces deux courbes se présentent leur concavité et se rapprochent du plan principal du cône à partir de leurs sommets.
L'ensemble de ces deux branches forme une troisième espèce de courbe sphérique. Cette courbe a un centre qui est le point d'intersection de la sphère par le petit axe principal du cône ; quatre foyers qui sont dans le plan de la grande section du cône , et deux arcs cycliques qui sont situés entre les deux branches de la courbe , et perpendiculaires à l'arc de grand cercle qui joint ses deux sommets.
Les trois courbes que nous venons de considérer sont des portions d'une même courbe , qui est l'intersection complète de la sphère par un cône du second degré , ayant son sommet au centre de la sphère. On peut donc les désigner par le nom commun de conique sphérique.
[5] Les coniques sphériques jouissent d'un grand nombre de propriétés, dont la plupart sont très -remarquables.
On conçoit que toutes ces -propriétés sont doubles ^ c'està-dire qu'à chaque proposition relative aux coniques sphériques , correspond toujours une seconde proposition relative à ces mêmes courbes.
Cela résulte de ce que les propriétés des cônes du second degré sont doubles , ainsi que nous l'avons démontré (Mémoire cité).
Mais on démontre aussi ce principe général , en remarquant qu'à une figure quelconque tracée sur la sphère, correspond toujours une seconde figure, qui est l'enveloppe des arcs de grands cercles , dont les plans sont perpendiculaires aux rayons de la sphère, menés aux difFérens points de la première figure; à une propriété de la première figure, répond donc toujours une propriété de la seconde figure; mais , si la première figure est une conique y la seconde sera aussi une conique provenant de l'intersection de la sphère par le cône supplémentaire de celui sur lequel se trouve la première conique; ce qui démontre le principe énoncé.
On pourrait dire que les deux coniques sont supplémentaires , de même que les deux cônes ; les arcs cycliques de l'une sont dans les plans diamétraux perpendiculaires aux diamètres de la sphère menés par les foyers de l'autre.
[6] Parmi les nombreuses propriétés des coniques sphériques, il en est deux qui ont déjà été données par M»
Magnus, de Berlin (voyez Annales de Mathématiques , août 1825); ce sont ces deux-ci :
a La somme ou la différence des deux rayons vecteurs
V menés des deux foyers d'une conique sphérique à un )) quelconque de ses points , est constante j
» Les deux' rayons vecteurs menés à un point de la coyy nique font des angles égaux avec Tare de grand cercle » tangent à la courbe en ce point. »
[7] On voit sur-le-champ que, par la considération de la conique supplémentaire dont nous venons de démontrer les propriétés , on aurait pu conclure immédiatement de ces deux propositions les suivantes , qui nous paraissent offrir le même degré d'intérêt :
<( Dans toute conique sphérique il existe deux arcs de » grands cercles tels que la somme ou la différence des an- )) gles que chaque arc de grand cercle tangent à la conique » fait avec eux est constante ;
» Chaque arc de grand cercle tangent à la conique , et )> compris entre ces deux arcs fixes , est divisé en son mi-
V lieu par son point de contact avec la conique, v La première de ces deux propositions fait voir que :
(( L'enveloppe des bases de tous les triangles sphériques ,
V qui ont l'angle au sommet commun et même surface^ est
V une conique sphérique. )>
[8] Ce dernier énoncé et la proposition précédente offrent une analogie parfaite avec ces deux propriétés connues de l'hyperbole , savoir :
DES CONIQUES SPHÊRIQUES. 7
<( L'enveloppe des bases de tous les triangles qui ont
V l'angle au sommet commun et même surface est une hy-
V perbole.
V Toute tangente k l'hyperbole a sa partie comprise entre » les deux asymptotes divisée en son milieu par son point » de contact avec la courbe, v •
Nous trouverons la même analogie entre plusieurs autres propriétés des coniques sphériques et celles de l'hyperbole; de sorte que les arcs cycliques des coniques sphériques jouent le même rôle que les asymptotes de l'hyperbole.
Quant aux deux théorèmes de M. Magnus , leur ressemblance avec les propriétés connues des foyers des coniques planes est frappante; il en est de même de toutes les autres propriétés des foyers de ces courbes.
Nous faisons voir en effet , dans le dernier paragraphe de ce Mémoire , comment les propriétés des foyers des coniques planes , et celles des asymptotes de l'hyperbole , peuvent être considérées comme des conséquences de celles que nous démontrons sur les foyers et sur les arcs cycliques des coniques sphériques.
Mais, ces propriétés des foyers des coniques sphériques s'appliquant à toutes les coniques planes , il est naturel de penser que celles des arcs cycliques doivent pareillement avoir leurs analogues dans toute conique plane ; elles mettent donc sur la voie d'un genre nouveau de propriétés générales des coniques planes , dont celles des asymptotes de l'hyperbole ne sont que des cas particuliers.
Nous ferons de ces propriétés nouvelles des coniques planes l'objet d'un écrit particulier, parce que nous y joindrons les propriétés analogues des surfaces du second degré.
[9] Qn peut s'étonner que l'élégance des deux propositions de M. Magnus n^ait pas encore porté l'attention des géomètres sur ce geÊte de recherches , et que la théorie des coniques sphériques , susceptible peut-être de plus d'extension que celle des coniques planes, à cause de la dualité de toutes les propositions de géométrie sphérique , soit encore à créer.
Nous n'avons certes pas la prétention de présenter une théorie de ces coniques j mais nous nous proposons seulement de faire connaître un certain nombre de celles de leurs propriétés qui se rattachent aux foyers et aux arcs cycliques^ et qui résultent immédiatement de celles que nous avons démontrées sur les cônes du second degré. Il est clair que diverses autres propriétés connues des cônes du second degré donneraient semblablement , et sans difficulté , des propriétés des coniques sphériques , qui devraient trouver place dans un traité de ces courbes.
[10] Une ellipse sphérique et une hyperbole sphérique n'ont chacune que deux. foyers; mais une conique sphérique com-plète a quatre foyers , situés aux extrémités de deux diamètres de la sphère. Dans les théorèmes relatifs à deux foyers , il sera toujours question de deux foyers pris sur ces deux diamètres respectivement , et non de deux foyers pris sur le même diamètre. Gela résulte de ce que les deux foyers devront ap-
partenir aux deux lignes focales du cône sur lequel est la conique.
Mais il est plus simple de supposer , dans tout ce qui va suivre , que la conique est une seule ellipse , ou une seule hyperbole sphérique , et de ne considérer sur la sphère que Phémisphère sur lequel est cette ellipse, ou cette hyperbole; par-là nous éviterons toute ambiguité; un arc de grand cercle tangent à la courbe n'aura avec elle qu'un point de contact, tandis qu'il la toucherait en deux points , si on considérait une conique complète ; deux arcs de grands cercles quelconques ne se couperont qu'en un point , puisqu'on ne considère qu'une moitié de la sphère ; par la même raison trois arcs de grands cercles ne se couperont deux à deux qu'en trois points, et ne formeront qu'un triangle sphérique.
Gomme il ne va être question que d'arcs de grands cercles , nous pouvons , pour plus de brièveté dans le langage , employer simplement le mot arc / et il sera bien entendu que nous ne parlons que d'arcs de grands cercles.
Nous appellerons angle sphérique l'angle formé par deux arcs de grands cercles j leur point d'intersection sera le sommet de Tangle.
Nous appellerons arc vecteur tout arc de grand cercle mené par un foyer de la conique.
Les propriétés des coniques sphériques que nous allons exposer étant toutes des conséquences immédiates de celles des cônes du second degré que nous avons démontrées dans
lO
le Mémoire cité , il nous suffira de les énoncer en indiquant ^ pour chacune d'elles , la propriété correspondante des cônes du second degré (').
PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX DEUX ARCS CYCLIQUES d'uNE CONIQUE SPHÉRIQUE } ET PROPRIÉTÉS RELATIVES A SES DEUX FOYERS.
[il] Les deux théorèmes (20 a) donnent ceux-ci :
Tout arc de grand cercle tangent à une conique sphërique , coupe les deux arcs cycliques en deux points qui sont également éloignes du point de contact de cet arc tangent.
-[12] Réciproquement:
Si une courbe tracée sur une sphère est telle que tout arc de grand cercle tangent à cette courbe , et compris entre deux arcs de grands cercles fixes, soit divisé en son milieu au point oîi il touche la courbe , cette courbe est une conique sphérique.
Les arcs vecteurs menés des deux foyers d'une conique sphérique à un point de cette courbe , sont également inclinés sur rare de grand cercle tangent en ce point à la conique.
Si une courbe tracée sur une sphère est telle que les arcs de grands cercles menés de deux points fixes à un point quelconque de la courbe , soient également inclinés sur Tare de grand cercle tangent à la courbe en ce point , cette courbe est une conique sphérique.
Gela résulte des deux théorèmes (21a).
[i3] Les deux théorèmes (22 a) donnent les suivans^
(') Cette indication se fera par des numéros de renvoi auxquels nous ajouterons la lettre a , pour les distinguer des numéros de ce Mémoire.
dont les deux ( 1 1 ) ne sont que des cas particuliers :
Tout are de grand cercle coupe une conique sphërique en deux points qui sont également éloignes des points où cet arc coupe les deux arcs cycliques respectivement.
Les deux arcs vecteurs mènes des deux foyers d'une conique sphërique au point d'intersection de deux arcs tangens à cette courbe , font respectivement avec ces arcs tangens des angles égaux.
-[i4] Les théorèmes (aS a) donnent ceux-ci :
Les plans de deux arcs tangens à une conique sphérique , coupent les plans des deux arcs cycliques suivant quatre droites qui sont les arêtes d'un cône de révolution dont l'axe est perpendiculaire au plan du grand cercle mené par les deux points de contact des arcs tangens.
Les plans de quatre arcs vecteurs menés des deux foyers d'une conique sphérique à deux points de la courbe sont tangens à un même cône de révo* lution dont l'axe est Tintersection des plans des deux arcs tangens à la conique en ces deux points.
[r5] Les théorèmes (24 a) donnent ceux-ci
La somme ou la différence des angles que chaque arc tangent à une conique sphérique fait avec les deux arcs cycliques est constante.
La somme ou la différence des arcs vecteurs menés des deux foyers d'une conique sphérique ik un point quelconque de la coube est constante.
[16] Les théorèmes (aS à) donnent les suivans :
Tout arc de grand cercle tangent à une conique sphérique coupe les deux arcs cycliques en deux points , tels que le produit des tangentes trigonométriques des demi -arcs compris entre ces points et le point d'intersection des deux arcs cycliques est constant.
Les arcs vecteurs menés des deux foyers d'une conique sphérique à un point quelconque de la courbe » font avec l'arc diamètre qui joint les deux foyers deux angles, teb que le produit des tangentes trigonométriques de leurs moitiés est constant.
[17] Les théorèmes (36 à) donnent ceux-ci :
DuDS toote cooiqoe sphâique le produit des sinas des arcs de grands cercles menés d^on point de la courbe perpendiculairement aux deux arcs cycliques est constant.
Dans toute conique sphërique le produit des sîniis des arcs de grands cercles menés des deux foyers perpendiculairement Il chaque arc tangent à la courbe est constant.
[18] Les deux théorèmes (28 a j a* et r" colonnes) donnent respectivement les deux suivans :
Si , ayant une conique sphérique et ses deux arcs cycliques , on fait mouvoir sur la sphère un arc de grand cercle de ioo<*, de manière qu*une de ses extrémités glisse sur l'un ou l'autre des deux arcs cycliques, pendant que l'autre extrémité se meut sur la conique ^ cet arc enveloppera, une seconde conique sphérique qui aura un double contact avec la proposée , et dont les foyers seront les extrémités des rayons de la sphère perpendiculaires aux plans des arcs cycliques de la conique proposée.
Si y des foyers d'une conique sphérique 9 on abaisse des arcs perpendiculaires sur les arcs tangens à la courbe , leurs points de rencontre avec ces arcs tangens, respectivement, seront sur une seconde conique sphérique qui aura un double contact avec la proposée, et dont les arcs cycliques seront dans les plans perpendiculaires aux rayons de la sphère qui passent par les deux foyers de la conique proposée-
-[19] Les deux théorèmes (3i a, 2* et i" colonnes) donnent respectivement les suivans :
Si , ayant une conique sphérique et un de ses arcs cycliques, on inscrit entre cet arc et la courbe deux arcs de ioo« , et que par leur point d'intersection on mène un autre arc, aussi de ioo«, terminé à l'arc qui joint les deux
Si , d'un foyer d'une conique sphérique , on abaisse deux arcs perpendiculaires sur deux arci tangens 11 la courbe, qu'on joigne par un arc les pieds des deux arcs perpendiculaires , l'arc mené perpendiculairement à ce dernier par
DES CONIQUES SPHÉRIQUES. i3
extrémités des deux premiers situées le point de rencontre des deux arcs
sur la conique , cette extrémité du tangens à la conique passera par le se*
troisième arc appartiendra au second cond foyer de la courbe, arc cyclique de la conique.
-{20] Les théorèmes (82 a) donnent ceux-ci :
Si deux coniques sphériques ont les Si deux coniques sphériques qui ont
mêmes arcs cycliques, et qu'on leur mêmes foyers se coupent , elles seront
mène un arc tangent à toutes deux , la à angle droit en chacun de leurs points
partie de cet arc comprise entre les d*intersection. deux points de contact sera de ioo<>.
PROPRIÉTÉS DES CONIQUES SPHÉRIQUES RELATIVES A UN SEUL ARC CYCLIQUE ; ET PROPRIÉTÉS RELATIVES A UN SEUL FOYER.
[21] Si 9 par un point quelconque de la sphère, on mène deux arcs de grands cercles tangens à une conique sphérique, l'arc de grand cercle qui joindra les deux points de contact pourra être appelé Farc polaire du point par rapport à la conique ; et , réciproquement , ce point sera dit le pôle de son arc polaire.
11 résulte évidemment des propriétés des droites et plans polaires des cônes du second degré , exposées ( i a ) , que :
Les arcs polaires de tous les points d^un arc de grand cercle quelconque , par rapport à une conique sphérique ^ passent tous par un même point qui est le pôle de cet arc / et réciproquement :
i4 SUR LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
Les pôles de tous les arcs de grands cercles menés par un même point ^ pris par rapport à une conique sphérique y sont tous sur un même arc de grand cercle qui est Varc polaire du point fixe.
Appelons arcs directeurs d'iine conique les arcs polaires de ses foyers,
[22] D'après cela^ les deux théorèmes (34 a) donnent ceux-ci :
Dans toute conique sphérique le si- Dans toute conique sphérique lerap-
nu8 de Fangle que chaque arc tangent port des sinus des arcs qui mesurent
à la courbe fait avec un arc cyclique , les distances de chaque point de la
est au sinus de la distance de cet arc courbe à un foyer et à l'arc directeur
tangent au pôle du plan cyclique duis correspondant , est constant, un rapport constant.
[28] Les théorèmes (36 a) donnent ceux-ci :
Tout arc tangent il une conique Les deux arcs vecteurs menés d*un
sphérique , et Tare mené par son point foyer d'une conique sphérique à un
de contact. et par le pôle d'un arc cy- point de la courbe et au point où son
clique de la conique , rencontrent cet arc tangent en ce premier point ren-
arc cyclique en deux points distans de contre l'arc directeur , sont toujours à
loo^. angle droit.
[24] Les théorèmes (87 a) donnent les suivans :
Deux arcs tangens à une conique Les arcs vecteurs menés d'un foyer
sphérique» et Tare qui )oint leurs points d'une conique à deux points dé la courbe
de contact avec la courbe , rencontrent sont également inclinés sur l'arc vec-
un arc cyclique en trois points , dont teur mené au point d'intersection des
le troisième est également éloigné des deux arcs tafagens à la conique en ces
deux premiers. deux points.
[25] Les théorèmes (38 à) donnent ceux^-ci :
Deux arcs taDgens à une conique sphérique et l'arc mené par leur point d'intersection et par le pôle d*un arc cyclique rencontrent cet arc en trois points dont le troisième est également éloigné des deux premiers.
Les arcs vecteurs menés d'un foyer d'une conique sphérique à deux points de la oourbe , sont également inclinés sur l'arc vecteur mené au point où l'arc qui joint les deux points de la courbe rencontre l'arc directeur.
[26] Les théorèmes (89 a) donnent ces deux- ci :
L'arc mené par le pôle d'un arc cyclique d'une conique sphérique et par le point d'intersection de deux arcs tangens à cette courbe , et l'arc mené par les deux points de contact de ces arcs tangens, rencontrent le plan cyclique en deux points distans de loo* ;
Les points où Parc qui joint les deux points de contact rencontre l'arc^ cyclique et l'arc qui joint son pôle au point de rencontre des deux arcs tan-gens , sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points de contact.
Les deux arcs vecteurs menés d'un foyer d'une conique sphérique au point d'intersection de deux arcs tangens à la courbe et au point où l'arc mené par les deux points de contact rencontre l'arc directeur sont à angle droit ;
Les deux arcs menés par le point de rencontre des deux arcs tangens et passant , le premier par le foyer de la conique et le second par le point où l'arc qui joint les deux points de contact rencontre l'arc directeur sont conjugués harmoniques par rapport aux deux arcs tangens.
[27] Les deux théorèmes (4o a) donnent ceux-ci :
Si , par un point pris sur un arc cyclique d'une conique sphérique, on mène deux arcs tangens à la conique , l'arc qui joindra les deux points de con< tact rencontrera Tare cyclique en un point distant du premier de ioo<*.
Si 9 par un foyer d'une conique sphérique , on mène un arc transversal , son pôle , par rapport à la conique, sera sur l'arc directeur 9 et Tare mené du foyer à ce p^e sera perpendiculaire sur l'arc transversal.
[a8] Les théorèmes (4i a) donnent ceux-ci :
Quand un quadrilatère sphérique est inscrit dans une conique sphérique, l'arc compris sur un arc cyclique de la conique entre deux côtés consécutifs du quadrilatère est supplément de l'arc compris entre les deux autres cotés.
Quand un quadrilatère sphérique est circonscrit à une conique sphérique , l'angle des deux arcs recteurs , menés d'un foyer à deux sommets consécutifs du quadrilatère est supplément de l'angle des deux arcs vecteurs menés aux deux autres sommets.
[29] Les théorèmes (4^ a) donnent ceux-ci :
Si , par deux points fixes d'une conique sphérique , on mène deux arcs qui se coupent en un troisième point quelconque de la courbe , le segment qu'ils intercepteront sur un arc cyclique sera de grandeur constante ;
Ce segment sera de loo*, si l'arc qui joint les deux points fixes passe par le pôle de Parc cyclique.
Étant menés deux arcs fixes tangens à une conique sphérique , et un troisième arc tangent quelconque , qui coupera les deux premiers en deux points , les arcs vecteurs , menés d'un foyer de la conique à ces deux points , feront entre eux un angle de grandeur constante.
Cet angle sera droit , si le point d'intersection des deux arcs tangens fixes est sur l'arc directeur correspondant au foyer.
[3o] Les deux théorèmes (43 a) donnent les suivans :
Si^ par les deux sommets , extrémités du petit arc* diamètre d'une ellipse sphérique , on mène deux arcs qui se coupent en un point quelconque de la courbe, le segment compris entre ces deux arcs sur un arc cyclique sera de ioo<^.
Tout arc tangent è une conique sphérique coupe les deux arcs tangens à cette courbe en ses deux sommets , extrémités de son grand arc-diamètre , en deux points tels que les deux arcs vecteurs , menés d'un foyer à ces deux points sont à angle droit.
[3i] Les théorèmes (44 ^) donnent les sulvans :
Si y sur un arc cyclique d'une conique sphérique, on prend arbitrairement un segment de grandeur donnée , et que , par une de ses extrémité et un point fixe de la courbe , on m^ène un arc qui rencontrera la courbe en un second point , Tare mené par ce second point et par la seconde extrémité du segment passera par un point fixe de de la conique.
Si , autour d'un foyer d'une conique sphérique, comme sommet, on fait tourner un angle sphérique de grandeur constante , et que , par le point où l'un de ses côtés rencontre un arc fixe tangent à la courbe , on mène un second arc tangent à la courbe, cet arc rencontrera le second côté de l'angle en un point qui aura pour lieu géométrique un arc tangent à la conique.
[32] Les théorèmes (45 a) donnent les suivans :
Si , par un point pris arbitrairement sur un arc cyclique d'une conique sphérique , on mène deux arcs tangens à la courbe , la somme des valeurs inverses des tangentes trigonométriques des angles qu'ils feront avec l'arc cyclique sera constante.
Si , par un foyer d*une conique sphérique , on mène arbitrairement un arc qui la rencontrera en deux points , la somme des valeurs inverses des tangentes trigonométriques des arcs compris entre le foyer et ces deux points , sera constante.
