LIEUX GÉOMÉTRIQUES KBLATIFS AUX ARCS CYCLIQUES ET AUX FOYERS

[33] Les théorèmes (46 a) donnent les suivans :

Si t autour de deux point fixes pris sur une sphère , on fait tourner les côtés

Étant donnés deux arcs fixes et un point sur une sphère , si , autour de ce

d'an aogle sphérique de grandeur variable, et tel que le segment intercepté entre ses côtés' sur qu arc de grand cercle donné soit d'une longueur constante , le sommet de cet angle engendrera une conique sphérique dont l'arc fixe sera un arc cyclique , et qui passera par les deux points fixes.

point, comme sommet , on fait tourner un angle sphérique de^ grandeur constante, et qu'on joigne par un arc les deux points où ses côtés rencontreront respectivement les deux arcs fixes donnés, cet arc enveloppera une conique sphérique qui aura pour foyer le point fixe , et qui sera tangente aux deux arcs fixes.

[34] Les théorèmes (47 a) donnent ceux-ci :

Si on mtee deux arcs tangens à une conique sphérique , de manière que le segment intercepté entre eux sur un arc cyclique de la conique soit d'une grandeur constante , le point d'intersection de ces deux arcs aura pour lieu géométrique une seconde conique sphérique ;

L'arc qui joindra les deux points de contact de ces deux arcs avec la conique proposée , enveloppera une troisième conique ;

L'arc cyclique en question sera un arc cyclique des deux nouvelles coniques, et cet arc aura même pôle par rapport aux trois coniques.

Si , autour d'un foyer d'une conique sphérique, comme sommet, on fait tourner un angle de grandeur constante , l'arc qui joindra les deux points oii ses côtés rencontreront la courbe enveloppera une seconde conique ;

Les arcs tangens à la conique proposée en ces deux points se coupercmt sur une troisième coniqi^e ;

Le foyer en question sera aussi un foyer des deux nouvelles coniques , et l'arc directeur correspondant sera le même dans les trois coniques.

[35] Les théorèmes (48 à) donnent ceux-ci :

Si, autour d'un point Gie^ pris sur une conique sphérique , on fait tourner un angle sphérique , de gi*andeur variable, dont les côtés interceptent

Si , autour d'un foyer d'une conique sphérique, comme sommet, on fait tourner un angle sphérique de grandeur constante , et que par les deux

sur un arc cyclique de la courbe 'un segment de grandeur /constante , Tare qui joindra les deux ][)oint8 oh les cotes de cet angle rencontreront la conique , enveloppera une seconde conique , qui aura pour arc cyclique celui de la conique proposée , sur lequel sont comptés les segmens , et cet arc aura même pâle dans les deux courbes.

points où ses côtés rencontrent un arc fixe tangent à la conique , on mène deux autres arcs tangens h cette courbe, le point d'intersection de ces deux arcs engendrera une seconde conique , dont le foyer de la proposée sera aussi un foyer; et l'arc directeur correspondant sera le même dans les deux courbes.

[36] Les théorèmes (49 a) donnent ceux-ci :

Si, ayant une conique sphérique et un arc Bxe mené arbitrairement, on mène deux arcs tangens ^ la conique, de manière que le segment intercepté entre eux sur Tare donné soit de ioo«, le point d'intersection de ces deux arcs engendrera une seconde conique qui aura pour arc cyclique Parc donné ;

Cet arc aura même pôle dans les deux coniques*

[37] Si Tare fixe est un des arcs-diO' mètres principaux de la conique ^ le théorème prend cet énoncé:

Si un angle sphérique variable , circonscrit ià une conique sphérique, se meut de manière que le segment intercepté entre ses côtés sur un arc-diamètre principal de la conique soit toujours de loo», le sommet de cet angle engendrera un petit cercle*

Si , ayant une conique sphérique et un point fixe pris arbitrairement sur la sphère , on fait tourner autour de ce point, comme sommet, un angle sphérique droit, et qu*on joigne deux à deux par quatre arcs les points où ses côtés rencontreront la conique , ces quatre arcs envelopperont une seconde conique dont le point fixe sera un foyer ;

Ce point aura même arc polaire dans les deux courbes.

Si le point fixe est le centre de la co»

nique , le théorème prend cet énoncé:

Si un angle sphérique droit tourne autour du centre d*une conique sphérique , comme sommet , l'arc qui joindra les points où ses deux côtés rencontreront la courbe enveloppera un petit cercle.

Cela résulte aussi des deux théorèmes (5o a).

[38] Les deux théorèmes (5i a) donnent les soivans :

Si 9 autour de deux points fixes d'une conique spbérique , on fait tourner deux arcs qui se coupent en un troisième point quelconque de la courbe , ces arcs ^.en contreront respectivement les deux arcs cycliques de la conique en deux points, et Tare qui joindra ces deux points enveloppera une conique sphérique tangente à ces deux arcs cycliques*

Etant menés deux arcs fixes taogens ^ une conique sphérique , un troisième arc tangent quelconque les rencontrera en deux points , et les arcs menés par ces deux points et par les deux foyers de la conique respectivement , se couperont en un point dont le lieu géométrique sera une conique sphérique qui passera par les deux foyers de la proposée*

[89] Les théorèmes (Sa a) donnent ceux-ci :

Si , autour de deux points fixes 9 on fait tourner deux arcs faisant entre eux un angle droit , leur point d'intersection engendrera une conique sphéque qui passera par les deux points fixes , et dont les arcs cycliques seront , dans'les deux plans perpendiculaires aux rayons de la sphère, menés aux deux points fixes.

Si , entre les côtés d'un angle sphérique quelconque 9 on fait mouvoir un arc de loo*», dont les extrémités glissent sur les cotés de cet angle, cet arc mobile enveloppera une conique sphérique tangente aux deux côtés de l'angle , et dont les foyers seront les extrémités des rayons de la sphère perpendiculaires aux plans de ces côtés.

[4o] Les théorèmes (53 a) donnent ceux-ci ;

Étant donnés sur la sphère deux arcs fixes , si on cherche un point tel que le produit des sinus de ses distances aux deux arcs fixes soit constant , ce point aura pour lieu géométrique une conique sphérique dont les deux arcs cycliques seront les deux arcs fixes.

Étant donnés deux points fixes sur la sphère , si Ton mène un arc tel que le produit des sinus de ses distances à ces deux points soit constant, cet arc enveloppera une conique sphérique qui aura pour foyers les deux points fixes^

[4i] Les théorèmes (54 a) donnent ceux-ci :

Étant donnés sur la sphère un arc et un point, si Ton cherche un arc tel que le sinus de l'angle qu'il fera avec l'arc donné» et le sinus de sa distance au point donne, soient entre eux dans un rapport constant , cet arc enveloppera une conique dont Tare fixe sera un arc cyclique ; et le point fixe sera , par rapport à cette conique , le pôle de cet arc cyclique*

Étant donnés sur la sphère un point et un arc , si l'on cherche un point tel que les sinus de ses distances au point et à l'arc donnés soient entre eux dans un rapport constant , ce point aura pour lieu géométrique une conique dont le point fixe sera un foyer ; et l'arc fixe sera l'arc directeur correspondant ^ ce foyer.

[4^} Si dans le second théorème le rapport des sinus est l'unité 9 on en conclut que :

La courbe spkérique dont chaque point est équidistant d^un point et d!un arc de grand cercle est une conique qui a pour foyer y et pour arc directeur correspondant ^ ce point et cet arc.

PROBLÊMES RELATIFS AUX ARCS CYCLIQUES ET AUX FOTERS DES GO> NIQUES SPHÉRIQUES J ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES TRIANGLES ET DES QUADRILATÈRES SPHÉRIQUES.

[43] Quand on donne un arc cycli- Quand on donne un foyer d'une coque d*une conique sphérique , il ne nique sphérique , il ne faut plus que faut plus que trois conditions pour dé- trois conditions pour déterminer cette terminer cette courbe. courbe.

Cela résulte de ce que nous avons dit sur les cônes du second degré (56 a).

[44] I^Gs théorèmes (57 a) donnent ceux-ci :

Étant donnés un arc cyclique et deux points d'une conique sphërique ,

Le pôle de cet arc cyclique se trouve sur Tare qui passe par les deux points suiyans :

1* Le point qui est, par rapport aux deux points donnes , le conjugue harmonique de celui où Tare qui joint ces deux points rencontre l'arc cyclique donne;

SI"* Le point de l'arc cyclique qui est distant de loo* de celui oh cet arc rencontre l'arc qui joint les deux points donnes.

Étant donnés un foyer et deux arcs tan gens d'une conique spbërique ,

L'arc-directeur correspondant à ce foyer passe par le point d'intersection des deux arcs soivans :

I ^ L'arc mené par le point d'intersection des deux arcs tangens donnés , et qui est conjugué harmonique , par rapport à ces deux arcs , de l'arc mené par ce point d'intersection et par le foyer donné ;

si<* L'arc mené par ce foyer perpendiculairement à ce dernier arc qui joint ce foyer au point d'intersection des deux arcs tangens.

[45] Les théorèmes (58 a) donnent les suivans :

Étant donnés un arc cyclique et deux arcs tangens d'une conique sphérique«

Le pôle de cet arc cyclique se trouve sur l'arc mené par le point d'intersection des deux arcs tangens et par le milieu de l'arc (ou de son supplément) , compris sur cet arc cyclique entre les deux arcs tangens donnés.

Étant donnés un foyer et deux points d'une conique sphérique ,

L'arc directeur correspondant à ce foyer passe par le point d'intersection de l'arc qui joint les deux points donnés par l'arc vecteur qui divise en deux également l'angle (ou son supplément) , compris entre les deux arcs vecteurs menés du foyer donné aux deux points de la conique.

DES CONIQUES SPHÊRIQÙES. ^3

[46] Les deux théorèmes (44) contiennent respectivement les solutions des deux problèmes suivans :

Problème. ^^ Étant donnés trois Pr(>&/è/ne.--> Étant donnés trois arcs

points et un arc cyclique d'une coni- tangens et un foyer d'une conique

que sphérique» déterminer le pâle de sphérîque, déterminer Tare directeur

cet arc cyclique. de la conique correspondant à'ce foyer.

[47] Les deux théorèmes (45) servent pareillement à résoudre les deux problèmes suivans , qui admettent chacun quatre solutions :

Problème.^^Éiant donnés trois arcs Problème. — - Étant donnés trois tangens et un arc cyclique d'une co- are s tong ans et un foyer d'une coninique sphérique , déterminer le pôle que sphérîque , déterminer l'arc - dide cet arc cyclique. recteur de la conique corraapondant

à ce foyer»

[48] Nous venons de voir (46) que :

Et€uU donnés un triangle sphe'rique Étant donnés un triangle sphérîque

et un aro de grand cercle quelconque , et un point fixe sur la sphère , ce point

cet arc peut être considéré comme un peut être considéré comme le fiayer

arc cyclique d^une conique sphérique fPùne conique sphérique tangente aux

menée par les trois sommets du trois côtés du triangle, triangle.

Cette remarque va nous servir pour démontrer quelques propriétés générales des triangles et des quadrilatères sphériques.

[49] Les théorèmes (iS) conduisent, d'après ce que nous

venons de dire , aux deux propriétés suivantes des triangles sphériques :

Si Ton a un triangle sphérique et un arc transversal^ et qu'on prenne sur chaque côte du triangle un' point dont la distance h une extrémité de ce côté soit égale à la distance de Tautre extrémité au point où Tare transversal rencontre ce côté , les trois points ainsi déterminés sur les trois côtés du triangle seront sur un même arc de grand cercle;

Cet arc et Tare transversal donnés seront les arcs cycliques d'une conique circonscrite au triangle sphérique.

(5o) Ce théorème donne la solution de ce problème :

Problème > — • Étant donnés trois points et un arc cyclique d'une conique sphérique , déterminer le second arc cyclique de cette courbe.

Si , ayant un triangle sphérique , on mène par un point fixe un arc à chaque sommet du triangle, et que, par ce sommet , on mène un second arc qui fasse , avec Tun des côtés du triangle adjacens à ce sommet , un angle égal 2i celui que le premier arc fait avec le second côté, les trois arcs ainsi menés passeront par un même point ;

Ce point et le point donné seront les foyers d'une conique sphérique inscrite dans le triangle donné.

Ce théorème donne la solution de ce problème :

Problème, — Étant donnés trois arcs tangens et un foyer d'une eonique sphérique , déterminer le second foyer de cette courbe.

[5i] Les théorèmes (i8) donnent ces deux propriétés des triangles sphériques :

Étant donnés un triangle sphérique et un arc transversal , si Ton prend sur cet arc trois points distans de loo» des trois sommets du triangle respectivement , et qu'on joigne ces points aux trois sommets par trois arcs , qu*on décrive une conique tangente à ces trois arcs , qui ait pour foyer Textré-

Si d'un point pris arbitrairement sur la sphère , on abaisse trois arcs perpendiculaires sur les trois côtés d'un triangle sphérique, et que, par les points de rencontre de ces arcs et de ces côtés respectivement , on fasse passer une conique sphérique, qui ait pour arc cyclique le grand cercle situé dans

mité du rayon de la sphëre perpendiculaire au plan de l'arc transversal , que, parles sommets du triangle donné, on mène trois nouveaux arcs tangens à cette conique , et qu'on prenne sur ces arcs trois points distans de loo*' des trois sommets respectivement, ces trois points seront sur un même arc de grand cercle ;

Cet arc sera dans le plan perpendiculaire au rayon de la sphère mené au second foyer de la conique.

le plan perpendiculaire au rayon de la sphère mené au point donné , cette conique rencontrera les trois côtés du triangle en trois nouveaux points tels que les arcs menés par ces points perpendiculairement aux trois côtés respectivement passeront par un même point ;

Ce point sera l'extrémité du rayon perpendiculaire au plan du second arc cyclique de la conique.

[52] Les théorèmes (19) donnent Ifts deux propriétés suivantes des triangles sphériques :

Un triangle et un arc de grand cercle étant tracés sur une sphère, si, par chaque sommet du triangle j on mène un arc de loo** terminé à l'arc donné, les. trois arcs ainsi menés formeront un second triangle sphéri-* que ; si , par les sommets , de ce nouveau triangle , on mène trois arcs de 100" terminés respectivement aux trois côtés opposés du premier triangle , les extrémités de ces trois arcs appartiendront à un même arc de grand cercle.

Si , d'un point pris sur une sphère , on abaisse des arcs perpendiculaires sur les trois côtés d'un triangle sphérique , leurs pieds seront les trois sommets d'un nouveau triangle inscrit au premier; si, des sommets de celui-ci, on abaisse des arcs perpendiculaires sur les côtés respectivement opposés du second triangle , ces trois arcs passeront par un même point*

[53] Les deux théorèmes (67 à) donnent les suivans :

Si on circonscrit ti une conique sphérique plusieurs triangles sphériques, et qu'on conçoive autant de coniques sphériques circonscrites à ces trian-

Si l'on inscrit dans une conique sphérique plusieurs triangles sphériques , et qu'on conçoive autant de coniques sphériques inscrites dans ces

gles , et ayant toutes poar arc cyclique commun un arc tangent à la conique proposée , toutes ces courbes passeront par un même point.

triangles , et ayant pour foyer commun un point de la conique proposée , toutes ces coniques seront tangentes à un même arc de grand cercle.

[54] Des deux théorèmes (68 a) on conclut les suivans :

Etant donnée une conique sphérlque, si on lui circonscrit un triangle sphérique quelconque, et qu'on prenne sur un arc fixe tangent & la conique trois points tels que les arcs menés de ces points aux trois sommets du triangle respectivement soient de ioo<>; puis ; qu'on conçoive une conique tangente à ces trois arcs et qui ait pour foyer l'extrémité du rayon de la sphère perpendiculaire à l'arc fixe , cette nouvelle conique sera tangente il un même arc de grand cercle , quel que soit le triangle circonscrit à la conique proposée.

Si , par un point fixe pris sur une conique sphérique , on abaisse trois arcs perpendiculaires sur les côtés d'un triangle sphérique inscrit dans la conique , et que par leurs pieds on fasse passer une conique sphérique qui ait pour arc cyclique l'arc de grand cercle contenu dans le plan perpendi- .

culaire au rayon de la sphère qui aboutit au point pris sur la conique proposée , cette nouvelle conique passera par un point fixe > quel que soit le triangle inscrit dans la proposée.

[55] Les deux théorèmes (69 a) donnent les deux pro* priétés générales suivantes des quadrilatères sphériques :

Étant donné un quadrilatère sphérique, ses côtés, pris ti*ois h trois, formeront quatre triangles; si, par les sommets de chacun de ces triangles , on mène trois arcs de ioo<* terininés à un même arc de grand cercle donné , puis qu'on décrive une conique tangente à ces trois arcs , et qui ait pour foyer l'extrémité du rayon de

Étant donné un quadrilatère sphérique , ses quatre sommets , pris trois à trois , détermineront quatre triangles ; si , d'un point fixe on abaisse des arcs perpendiculaires sur les trois côtés de chacun de ces triangles , et que , par les trois points d'intersection de ces arcs avec ces côtés respectivement, on fasse passer une conique sphérique

la sphère perpendiculaire aa plan du grand cercle donne , les quatre coniques ainsi dëterminëes seront tangentes à un même arc de grand cercle.

qui ait un de ses arcs cjcliques dans le plan perpendiculaire au rayon de la sphère qui aboutit au point fixe donné, les quatre coniques, ainsi déterminées , passeront par un même point.