DESCKIPTION ORGANIQUE DES CONIQUES PLANES

Les deux théorèmes (56) sur la description des coniques sphérîques doiment les deux suivans :

1° Si deux angles de grandeur donnée tournent autour de deux points fixes , comme sommets , de manière que le point de concours de deux de leurs côtés parcoure une ligne droite, le point de concours de leurs deux autres côtés engendrera une conique qui passera par les deux points fixes.

2^ Si, sur deux droites fixes, on fait mouvoir deux segmens de grandeur donnée, de manière que deux de leurs extrémités soient toujours en ligne droite avec un point fixe , la droite qui joindra leurs deux autres extrémités enveloppera une conique qui sera tangente aux deux droites fixes.

Le premier de ces deux théorèmes est celui de Nev^ton , et sert à décrire les coniques par points j le second , qui est nouveau, offre une construction très-facile des tangentes des coniques ; ce que nous allons voir en résolvant le problème suivant :

3^ Problème. — Étant données cinq tangentes d'une conique, déterminer, toutes ses autres tangentes par le mouvement de deux s^;mens rectilignes sur deux droites fixes.

Soient A, B, G, D,£, les cinq droites données j on prendra les deux premières A, B, pour les deux droites fixes sur lesquelles doivent se mouvoir les deux s^mens, et on prendra pour ces s^mens les distances du point de concours de ces deux droites à leurs points d'intersection par la troisième droite G.

DES CONIQUES SPHÉMQUES. 45

On fera mouvoir ces deux segmens sur les deux droites A 9 B , respectivement , de manière que leurs extrémités situées sur la droite G viennent se placer sur la droite D, puis sur ladroite £ ; leurs deux autres extrémités qui d'abord se confondaient dans le point d'intersection des deux droites A, B, détermineront successivement deux droites I> £'.

Que les deux segmens se meuvent de manière que ces deux mêmes extrémités soient toujours en ligne droite avec le point d'intersection des deux droites D' , £' ; la droite qui joindra les deux autres extrémités des deux segmens prendra toutes les positions des tangentes à la conique deloandée : ce qui résulte du second théorème ci-dessus.

4^ Nous n^avons pas besoin d'énoncer la construction par laquelle, en vertu du théorème de Nev\rton, on détermine les points d'une conique assujettie à passer par cinq points donnés; nous ne ferions que répéter ce que nous avons dit pour la solution de la même question relativement aux coniques sphériques (57).

5"" Faisons remarquer, en terminant ce Mémoire, que le théorème (a"*) , qui sert à construire les tangentes d'une conique, donne lieu, en vertu de notre mode de transformation des relations métriques , à un autre théorème propre à la construction des coniques par points , et qui pourrait, pour cet usage, remplacer le théorème de Nev\rton.

Ce nouveau théorème peut êtrç énoncé ainsi :

a Si deux angles , qui interceptent sur un axe fixe des y segmens de grandeur constante , pivotent autour de deux

V points fixes , comme sommets , de manière que deux de » leurs côtés se coupent toujours sur une droite donnée ,

V le point de concours de leurs deux autres côtés engen-

V drera une conique qui passera par les deux points fixes, v On peut faire de ce théorème le même usage que Maclau*

rin a fait de celui de Newton , dans sa Géométrie organique.

6^ Nous devons ajouter, pour compléter ce chapitre sur la construction organique des coniques , que le théorème de Newton donne lieu aussi à un théorème sur la construction des tangentes des coniques par le mouvement de deux angles de grandeur constante. On obtient ce théorème par une transformation polaire, en prenant un cercle pour conique auxiliaire , ainsi que M. Poncelet l'a indiqué dans son mémoire sur la théorie des polaires réciproques ^ on peut l'énoncer ainsi :

a Si, autour d^un point fixe, comme sommet, on fait » tourner deux angles de grandeur constante , de manière

V que les points où deux de leurs côtés rencontrent respec-

V tivement deux droites données soient toujours en ligne

V droite avec un point donné ^ la droite qui joindra les points

V où les deux autres côtés rencontreront respectivement les

V deux mêmes droites enveloppera une conique qui sera

V tangente à ces deux droites, v