Mémoire lu par l'auteur C. Baillairgé devant la Société Royale du Canada, durant sa séance de mai 1888 [microforme]

Mémoire lu par l’auteur, C. Baillairgé, devant la Société Royale du Canada, durant sa séance de mai 1888.

En 1883 je lisais devant cette section de la Société, un mémoire ayant pour en-tête “ Suggestions aux Géomèêtres à l'endroit d’une nouvelle ét':ion d’Euclide,” et je viens de nouveau insister auprès des géomètres anglais (puisque c'est «urtout en Angleterre que l'on persiste dans l’enseignement des Eléments sous leur forme primitive d'il y a 2000 ans) sur la nécessité, l’apropos au moins, l'avantage pour l'éducation primaire, où l’économie de temps est essentielle en ces jours de tant de nouvelles sciences, d’une refonte des Eléments d’Euclide : synonime aujourd’hui d'Eléments de de Géométrie.

Il faut enfin s'énanciper de cette étreinte à la quelle les anciens géomètres ont voulu se soumettre et avec eux leurs successeurs et commentateurs, en n’osant point se soustraire à la nécessité, purement imaginaire, de prouver comme théorêmes, par des démonstrations fort logiques, si vous voulez, mais longues et ennuyeuses, une foule de propositions des plus élémentaires, et qui se conçoivent réellement mieux sur leur simple énonciation, ou comme axiomes, ou encore comme ces de définitions qu’il est facile de modifier au besoin à cet effet, tout en restant absolument

ans le vrai.

Les autres sciences ont fait d'immenses progrès et toujours dans le sens de la simplification des démonstrations et des procédés. Pourquoi la géométrie daus ses propositions élémentaires et à l'étude des quelles il faut dévouer aujourd'hui beaucoup trop de temps dans l'instruction publique, resterait-elle en arrière du siècle où nous vivons.

Que de déänitions ne donne-t-on point de la ligne droite : Euclide la définit celle qui eæistc ow repose uniment ou également (ex equo ou equaliter suivant Gregory et Commandiue, evenly suivant Playfair où equally) entre ses points extrémes. Mais, cette définition est fautive en ‘ce que le mot uniment, egalement a lui même besoin d'être défini pour que l’on sache de quelle manière il faut l’entendre.

Simpson, grand admirateur de l'auteur grec, le traduit littéralement et lui fait dire : «À straight line is that which lies evenly between its extreme points” Un autre auteur, c'est Elrington, je crois, qui, après le mot evenly de Simson, introduit, pour expliquer ce mot, la parenthèse (c. à d. dans lu méme direction). Plusieurs auteurs définissent la ligne droite celle dont tous les points sont dans la méme direction.

Playfair la définit “ If there be two lines which cannot coincide in two points without coinciding altogether, each of them is called a struight line, et il tire cette définition de Boscovich, philosophe italien, qui dit ‘“ Rectam lineam rectae cngrure totam toti ia infinitum productum si “ bina puncta unius binis alterius congruant, patet ex ipsa adinodum clara rectitudinis idea quam “ habemus.”

Nous avons encore : “ Une ligne droite est celle qui ne peut rencontrer une autre ligne droite en plus d'un seul point,” puis: Une ligne droite est telle que deux de ses points étant déterminés, la position de lu ligne entière l'est également ; puis aussi: Une ligne droite est la ligne la plus courte que l'on puisse mener d'un point à un æutre, et une foule d'autres ; müis pas une de ces définitions ne rend la chose définie plus claire. Il faut même uu raisonnement mental pour se rendre compte de la vérité de l'énoncé de Playfair, qui pour définir ce que c’est qu’une ligne droite, introduit une seconde ligne, ce qui complique encore et rend moins immédiate la perception qu’on se fait de la ligne droite comme d’une seule et mêrne ligue dont tous les points sont dans la même direction et dont un fil tendu donne la meilleure idée,

Après avoir défini ce qu'est un angle rectiligne : l'ouverture ow l'écartement de deux lignes droites qui 8e rencontrent en un point ; l'inclinaison l'une sur l'autre ou l'une à l'autre de deux lignes droites qui 8e rencontrent ; le mot inclinaison n'indique-t-il point de suite que l'on doit entendre par angles égaux ceux dont les côtés respectifs sont également inclines.

Après avoir dit ce que c’est qu’un angle droit, une perpendiculuire, une oblique, un angle aigu, obtus, ete., ne voit on pas que si dans chacun de deux angles droits une ligne droite mende au sommet de l'angle et du même côté et qui divise l'angle en deux parties, fait avec l'une des deux pérpendiculaires qui constitue l'angle droit, des angles égaux, celte même ligne fera aussi avec l'autre perpendiculuire duns chacun, des angles égaux, c'est-à-dire que si l’un de deux angles aigus composants d'un angle droit est égal à l'un des ungles aigus composants d'un autre angle droit, les deux autres angles aigus seront égaux.

Ne voit on pas aussi que ces définitions là mêmes ont évidemment pour conséquences où corollaires, et sans en faire comme Euclide des propositions démontrables, (les théorêmes XIIT, XIV et XV de son premier livre) que les angles que fait une ligne droite avec une autre ligne et du méme côté, sont ou deux angles droits, ou valent ensemble deux angles droits ; que La somme de tous les angles autour d'un point et du même côté d'une ligne, valent ensemble deux angles droits ; que Les angler opposés au sommet sont égaux ; que les angles que forment deux lignes droites qui s'intersectent, v ilent ensemble quatre angles droits ; que tous Les angles que l'on peut former autour d'un point, ne valent ensemble que quatre angles droits ; et que si deuæ lignes droites rencontrant de côtés opposés une troisième ligne, font avec cette dernière deux angles valant ensemble deux ungles droits, ces deux lignes sont dans une seule et méme ligne droite.

Pour ce qui est des lignes parallèles, le Dr Playfair nous dit que “leur étude, leur discussion est une des plus difficiles dans les éléments de la géométrie ; ” mais pourquoi cela ? uniquement parce que l'on persiste dans une preuve qui n'a atCunement sa raison d'être; on veut prouver, démontrer ce qui par la définition même de la chose est plus saisissable, plus évidente que ne peut la rendrè aucune autre ex plication possible ; l’on se plait comme Don Quichote à ériger des obstacles pour aller ensuite à leur rencontre, En efft n'est-ce pas admettre ce que je dis ici, lorsque Playfair après avoir démontré, comme le fait Euclide par un théorème sn règle, que la

somme de deux quelconques des côtés d’un triangle est plus grande que le troisième côté, vient ensuite avec un scolie où il admet que la chose est évilente parce que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre ; eten quoi donc Olairaut pêchait-il en coneluaut à ce que. la ligne menée d’un point à un autre dans une circonférence de cercle est évidemment toute entière dans le cercle (Prop. IT du troisième hvre) puisque l’analogie des deux énoncés est frappante, tous les points du plus long trajet par l'arc de cercle étant nécessairement en dehors de la corde qui en réunit les extrémités,

Clairaut n’a-t-il point raison de dire, qu'après avoir défini par exemple ce que c’est qu’un cercle, une corde, il fallait qu’Euclide de son temps eut affaire aux sophistes les plus obstinés pour trouver nécessaire de démontrer cette proposition, D'ailleurs le diamètre d’un cerele n'est qu'une corde passant par le centre, et ce dinmêtre n’est autre chose que denx rayons du cercle bout à bout, et puisque la circonférence dn cercle, c'est-à-dire le cercle est partout à l'extrémité du rayon servant à le décrire, comment donc ce rayon, ce diamètre, cette corde ne serait-elle point entièrement dans le cercle,

Et bien c'est là ce qui rend difficile l'étude des lignes parallèles, essayer de les concevoir autres qu'on ne les définit : lignes qui situées dans un méme plan sont partout à la même distance, également éloignées l'une de l'autre ; lignes qui prolongées à l'infini me peuvent Jumuis se rencontrer, et c’est cette première peut-être qui des deux est la meilleure définition, car elle entraine nécessairement la conséquence ou condition exprimée dans la seconde, puisque de fait, si les deux lignes sont dans un même plan et à une distance quelconque l’une de l’autre, mais à une distance partout uniforme ou égale, elles ne peuvent se rencontrer,

Mais qui dit lignes parallèles dit aussi lignes qui sont ou qui vont ou se dirigent dans la même direction, c’est-à-dire dans la même direction par rapport à une troisième ligne qui dans le même plan se dirigerait dans un autre sens quelconque et si cette troisième intersecte ces deux lignes dites parallèles, elle sera également inclinée par rapport à chacune d'elles et formera avec chacune d’eiles des angles égaux. puisque d’après la définition d’un angle rectiligne, les angles égaux sont ceux, ne peuvent être définis autres que ceux dont les côtés sont également inclinés l’un à l'autre. La définition que semble préférer d'Alembert est que deux lignes droites sont parallèles loi ae y a deux points dans l'une d'elles d'où les perpendiculaires menées à l'autre, sont égules.

Playfair dans ses notes dit que le Duc de Candalle dans sa traduction des Elements d'Euclide en 1566 est le seul qui ait fait attention à une inexactitude de la part d’Euclide en n’ajontant point dars les énoncés de ses Prop. XXVII, XXVIII la condition que les lignes soient dans le même plan. C’est vrai, mais comme il ne s’agit dans tout le premier livre que de géométrie plane c’est-à-dire dans un même plan et non de géométrie solide ou dans l’espace, si la nécessité dont parle Playfair existe dans ces deux cas, elle existe également dans la proposition VII où il serait alors essentiel de faire remarquer que les deux sommets ou points C, D, sont dans un même }:lan et de même de plusieurs autres propositions où la construction donnant une figure de plus de trois côtés, la seule qui puisse se trouver nécessairement dans un seul et même plan, rendrait nécessaire de répéter la condition.

D'ailleurs sous ce rapport de figures dont toutes les parties, comme dens tout le premier livre des Eléments, doivent être situées dans un même plan, il y a aussi À remarquer ce a quoi Euclide ni aucun de ses commentateurs, Playfiir comme les autres, ne parait avoir pensé : c’est que les définitions mêmes des quadrilatères (25 à 28) exigent cette condition puisque ce n’est qu’a cette condition évidemment que le carré, le rhombe etc, peuvent exister tels que définis, car dans chacune de ces figures une moitié peut tourner autour de la diagonale réunissant deux angles opposés pour se trouver, chaque moitié de la figure dans un plan différent.

Il est vrai que dans le cas du carré, du rectangle, il faut pour que les conditions données existent que ces figures soient des figures planes, ou que toutes leurs parties, leurs lignes limitatives soient dans un même plan ; mais comme on n’est point censé le savoir, il faut le dire, ou au moins commencer la définition en disant que le carré, le rectangle est une figure plane...

Pour le rhombe, le rhomboïde au contraire, quoique les données de la définition peuvent exister encore lorsque les deux moitiés de la figure autour de l’une de ses diagonales ne sont jas dans le raême plan, cependant elles n'existent point toujours ; car si l’une des moitiés dont l’angle compris par les côtés est aigu, tourne autour de la moindre diagonale ou de celle qui réunit les deux angles obtus, les angles obtus se fermant, en par les moitiés se repliant ainsi pour finir par rej oser l’une sur l’autre, passeront par toutes les valeurs possibles entre zéro et l'angle obtus de la figure plane et seront en un moment donné droits, ce qui est contraire à la définition qui dit que le rhombe est une figure dont tous les côtés sont égaux mais dont les angles ne sont pas droits. Donc ete.

Varignon, Bezout et plusieurs autres adoptent la définition que les lignes parallèles sont celles qui font des angles égaux avec une troisième ligne qui les rencontre; et c’est à cette dernicre que nous inclinons en ce que à l’aide de cette définition l’on peut prouver leur égalité de distance et tous les énoncés qui vont suivre :

N'est-il donc pas évident sans les théorèmes XXVIT, XXVIII et XXIX d'Euclide que ei deux lignes sont parallèles et intersectées par une troisième ligne, les angles correspondants qu'Euclide nomme l’angle extérieur et l'angle intérieur et opposé du même côté, sont égaux ; que les angles alternes sont égaux, que les angles opposés au sommet sont égaux ; que Les angles intérieurs du même côte sont égaux ensemble à deuæ angles droits, puisque celui qui avec son adjacent forme deux ar gles droits, formera également deux angles droits avec tout autre angle égal

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