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à l'angle adjarent ; que Les angles alternes externes sont éqaux ; et que réciproquement si une ligne droite tombant sur deux autres lignes droiles fuit avec elles les angles correspondants dyuux, ou les ungles alternes égaux, ou les angles aiternes externes équux, ou les angles intérieurs du même côté égaux ensemble à deux angles droits, ces deux lignes sont parallèles.

Il est évident de même que deux lignes droites perpendiculaires à une troisième ligne, sont parallèles entre elles ; que si deux lignes. droites forment avec ‘une troisième ligne les angles intérieurs égaux ensemble à moins que deux angles droits, ces deux lignes se rencontreront du côté où se trouvent les angles dont la somme est moindre que deux angles droits ; que si l'un des angles est un angle droit, l'autre sera aussi un angle droit, c’est-à-dire que toute ligne perpendiculaire à l'une de deux parallèles est perpendiculaire à l'autre ; enfin que puisque tous les angles aigus sont égaux et tous les angles obtus aussi égaux, l'un des angles aigus ajouté à l'un des angles obtus formera toujours deux angles droits.

Avant de laisser le sujet des lignes parallèles, remarquons qu'on ne voit guère la nécessité de démontrer que deux lignes*parallèles à une troisième ligne sont parallèles entre elles, car, que l'on considère ces lignes parallèles sous le rapport de leur égalité de distance, on égalité d’inclinaison par rapport à une troisième ligne, ces égalités mêines font que les axiomes ayani trait à l’addition, à la soustraction de quantités égales rendent évidente la vérité de l'énoncé ; et l’cu ne voit pas davantage la nécessité du théorème, entre autres, du 6ème livre d’Euclide à l'effet que deux triangles semblables à un troisième triang'e sont semblables entre eux, puisque c’est l'égalité rexpective de leurs angles qui fait leur similarité et qu’il suffit d’un axicme pour l'établir,

Passons maintenant à la considération du triangle et disons avec Playfair et autres que rien n'empêche, pour la preuve, la superposition de deux triangles l’un à l'autre ou de deux autres figures planes quelconques, Euclide l’a fait lui-même dans ses IVème et VIIIème du premier livre mais s’est gardé, dit-on, de le faire, autant que possible, comme n'étant point un moyen rigoureusement mathématique, comme donnant, suivant quelques auteurs, l’idée du mouvement, et ressemblant en cela à un procédé mécanique.

Mais si ce procédé vicie le raisonnement, tout le système d’Euclide s'en trouve entaché, et la rigueur mathématique ne se trouve donc nulle part en son ouvrage, puisque, remarquous le, c’est dès le ler théorème même de son premier livre, c'est-à-dire des éléments, des principes de son système qu’il est forcé de recourir à cette manière de faire sa preuve.

Non, c'est une idée fansse que celle qui fait regarder comme un procédé mécanique celui de la superposition des figures pour montrer leur coinci.lence entière ou partielle.

Un procédé mécanique est un procédé manue!; or qu'est-ce qu'il y a de manuel en cela, rien du tout: c'est un procédé purement mental, purement imaginaire, un procdé de l'esprit dont seulement l's yeux prennent connaissance, Une figure géométrique de la nature de celles sur lesquelles on rii-onne dans les éléments, n’a point de substance, il ne peut donc y avoir de considération mécanique dans ‘ette superposition purement idéale de deux figures planes.

Euclide au contraire se fut ménagé bien des démonstrations ennnyeuses et absolument inutiles, eut.il continué au besoin cette superposition parfaitement légitime, parfaitement mathématique et dont on subit pour ainsi dire la nécessité lorsque, par exemple, après avoir prouvé que les parallèlogrammes et triangles sur même base et entre mêmes parallèles, sont égaux, il nous faut pour nous soustraire au besoin de superposer ces figures, recommencer la preuve sous forme de deux théorèmes séparés et additionnels, pour démontrer que les parallélogtammes et triangles sur bases égales et entre mêines parallèles sont égaux. (Voir les Prop. XXX V à XXXVIIL.)

C’est ici le lieu de faire deux remarques pertinentes à l'endroit de la simplification à laquelle chacun aspire dans la manière de poser un énoncé, puis de l’élucider.

Aujourd'hui, pour rendre abstraite une énonciation géométrique ‘qui n’est pas censée se rapporter à une figure part culière de l'espèce de celles dont on‘traite, on a‘ soin d'écrire l'énoncé : sans les lettres d: renvoi à la figure dans le texte, et la conséquence en est qu'après avoir ait tel énoncé à l’abstrait, il faut pour le rendre concret, répéter absolument la même chose ea y intercalant les lettres qui renvoyent à la figure sur laquelle ou à l'aide de laquelle doit se faire l’argumentation, la démonstration d2 la vérité de ce que conclut l'énoncé. Eh bien! tout ceci peut ‘s'éviter en écrivant l'énoncé avec les lettres voulres, mais placées par exemple, entre parenthèses pour qu’on puisse tout d'abord au besoin lire l'énoncé en son abstrait, c'est-à-dire, sans les lettres, puis }a relire au coucret avec les lettres.

Playfair dans ses notes, dit avoir introduit au 5ème livre quelques changements ne se rapportant point à l’essence des démonstrations, mais seulement de langage, d'expression, de signes pour rendre plus succinte la preuve, en permettant d’en rapprocher les divers éléments. Il élimine les lignes ou figures de Simpson et autres pour s’en tenir à nne expression plus abstraite, plus courte, qui met plus rapidement en regard les diverses mailles, les chaînons, pour ainsi dire; qui laisse moins de distance entre les pas successifs de l’argumentation pour en rendre l'intelligence plus immédiate, plus facile.

Eh bien! c’est encore quelque chose dans le même:sens qu'il faut pour les autres livres: une suppression, diminution du nombre de lettres à dire, à prononcer, Eufin l’on nepeunt évidemment réduire tout à fait à un langage algébrique, où un signe exprime toute une phrase, le langage géométrique élémentaire ; mais on peut le rendre plus concis en indiquant un angle, par exemple,

par un seul signe, une seule iettre au lieu de trois ; un triangle même dans Lien des cas par un seule le tre ; un parallélogramme, un quadrilatère par deux lettres : ainsi l'angle &, l'angle, b, l'angle e, par une lettre à son intérieur au lieu de dire l'angle À B U, l'angle B C D, l'angle C D Ee, où le purrallélogramme À B © D, le quadrilatère B C D E et ainsi de suite,

Ce qui rend prolixe aussi la série des propositions d’Euclide, c'est le fait de ne jamais supposer une chose faite sans avoir tout d'abord démontré la possibilité de ce faire et enseigué dans ses nombreux problèmes le moyen de faire la chose. Mais ici aussi l'on ne peut admettre que ce soit là une raison suflisante pour ne pas refondre au moins le premier livre d’Euclide qui, enseignant comme il le fait, que les trois angles du triangle valent deux angles droits, ce qui permet de trouver le troisième angle quand on a les deux autres ; démontrant le curré de l'hypoténuse si utile dans la résolution d'une foule de problèmes ; indiquant la manière de décrire, de tracer, non-seulement, une perpendiculaire, une parallèle, un angle quel qu'il soit, muis la construction d'une figure rectiligne quelconque, voire même du cercle, ses rayons et diamètres, etc.; constitue pour l'Education, l'Instruction publique et primaire un des enseignements les ;lus précieux pour la grande classe ouvrière, industrielle du genre humain : ingénieurs, architectes, constructeurs, inanufacturiers à tous les degrés et de tous les pays.

La seule utilité, comme le fait remarquer Playfair, de cette règle d'Euclide de ne jamais supposer une chose faite avaut d’avoir démontré la possibilité ev la manière de le faire, est afin de se garder contre les hypothèses impossibles ; mais nul ne s'avisera de nier ou de mettre même en doute la possibilité de l'existence d'une ligue parallèle à une autre, d'un augle égal à un autre, d’une bissectrice d’un angle quelconque, ete., etc.

Non, cette nécessité de faire la construction même de la figure au lieu de la supposer faite ; cette nécessité, pour la démonstration d’un théorème, n'existe point ; le Dr Playfair lui-même l'admet, et c’est en ne pas insistant ou plutôt en se soustrayant à cette obligation que l’on peut simplifier, rendre plus concises, plus faciles les démonstrations de plusieurs propositions, comme par exemple de la 5ème du même livre qui enseigne que Les angles à la base du triangle isocèle sont éguux et que les angles formés de l'autre côté de la buse par les côtés prolongés sont aussi égaux.

En effet, supposons que l'angle au sommet d'un triangle isocèle quelconque soit bissecté (comme on voit que la chose est évidemment possible, sans avoir encore démoutré la manière de ce faire) par une ligue droite qui rencontre la base, et qu'une moitié du triangle tourne autour de la bissectrice pour aller se reposer sur l'autre; de suite on verra la coincidence parfaite des deux angles à la base du triangle c'est-à-dire leur égalité, et en même temps celle des angles du côté opposé à la base.

De cette coincidence découlent plusieurs propositions, savoir entre autres : que la bisectrice

menée du sommet d'un triangle isocèle bissecte la buse et est perpendiculoire à la base, car les angles formés par la base de chaque côté de la bissectrice, tombant l'un sur l'autre sont égaux et la base étant une ligne droite, la somme de ces angles sera égale à deux angles droits, donc, etc. ; réciproquement qu’une ligne menée du sommet au point milieu de la base bissecte l'angle au sommet ; enfin qu'une perpendiculaire menée du point milieu de la base passera pur le sommet du triangle et de là, de suite, l'indication du procédé à suivre pour ériger une perpeudieuluire à une ligne en un point donné de cette ligne.

D'ailleurs, pour ce qui est de cette proposition telle que démontrée par Euclide et ses commentateurs et supposons même la première partie de la proposition démontrée à sa manière, pourquoi ce long procédé pour faire preuve de la seconde ; puisque de chaque côté de la figure la base forme deux angles qui pris ensemble valent deux angles droits et que les angles à la base venant d'être prouvés égaux, il suffit de l’axiome ayant trait aux quantités égales pour indiquer de suite l'égalité des deux angles extérieurs à ceux de la base ou y adjacents.

A l'endroit de la Prop. XXI. Simson blâme Clairaut d'avoir conclu à l'évidence de l'énoncé que si des extrémités de la base d'un triangle l'on méme deux lignes à un point donné à l'intérieur du triangle, la somme de ces deux lignes ou côtés du second triangle ainsi formé est moindre que la somme des côtés du triangle donné, mais l'angle inclu plus grand. Playfair trouve qu’une proposition démontrée par Pappus, et à peu près de la même manière que ee dernier par Proclus, justifie Euclide de la nécessité de faire voir la vérité de ‘énoncé ci-haut, Mais la proposition de Pappus tout en justifiant jusqu'à un certain point la démonstration d'’Euclide, est en réalité une toute autre proposition ; car l'énoncé d’Euclide contient la condition que les deux lignes soient menées des extrémités de la base et non pas comme dans l'énoncé de Pappus, de deux autres points quelconques de la base, ou de l’une des extrémités de la base et d’un autre point quelconque de cette base,

Il y a d’autres propositions qui peuvent s’élimirer en se réduisant à de simples corollaires par exemple, les Théorèmes IV, VIT, VIII ét XX VI, qui se déduisent facilement de la Prop. XXII.

En effet, il est clair qu'avec trois lignes données l’on ne peut construire qu’un seul et même triangle, car si on le construit sur la même ligne prise pour base, l'on pourra bien, si le triangle n’est pas isocèle, en faire deux du même côté, dont l’un aura son sommet à droite ou d’un côté de la perpendiculaire supposée menée au centre de la base, l'autre son sommet à gauche ou du côté opposé de la perpendiculaire ; puis du côté opposé de la base l’on en fera deux autres dans les mêmes conditions, mais il est évident que tous ces triangles pourront se renverser et se superposer l’un à l’autre pour coincider en tout ; donc

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