AVANT-PROPOS

J’ai l'honneur de présenter à la Société le Mémoire des calculs du viaduc de Garabit. Je l’ai établi en même temps que les dessins d’exécution de ce viaduc ; il a servi à déterminer les sections des différentes parties constitutives de l’ouvrage.

Dans le projet qui a été soumis à l’approbation et auquel le Conseil général des Ponts et Chaussées m’a demandé de joindre ma. signature à celle des Ingénieurs de l’État, j’avais établi les calculs comme ceux du pont du Douro, par la méthode de M. de Dion.

Pour le projet définitif qui comportait une diminution de la flèche, j’en ai établi de nouveaux d’après des méthodes différentes. Ils ont élé remis le 1er juin 1881 aux Ingénieurs de l’État avec toutes les épures de résistance et les dessins définitifs, et ils ont ôté, comme les premiers, vérifiés et contrôlés par M. l’Ingénieur Boyer qui en a trouvé les résultats à très peu près conformes à ceux de ses propres calculs, lesquels , du reste, ne nous ont jamais été communiqués.

Les développements de ces calculs trouvent leur place dans le cours de ce Mémoire, je me contenterai seulement de mentionner ici ce que ces méthodes offrent de particulier et de nouveau.

Je passe rapidement sur les calculs des tabliers et des piles métalliques.

Les premiers ont été faits par les formules de Clapeyron. lis ne présentent rien do particulier et nous ne les transcrirons, malgré leur longueur, que pour reproduire in extenso le Mémoire original de 1881 ; ils donnent cependant l’exemple d’une application pratique détaillée du calcul des ponts droits tel qu’il est généralement présenté par les constructeurs, et à ce titre, nous pensons qu’ils ne seront pas sans intérêt, au moins pour un certain nombre de nos lecteurs.

Pour les piles, nous nous sommes servi de la statique graphique. Les forces extérieures ont été déterminées au moyen des polygones funiculaires et elles ont été décomposées ensuite dans les différentes pièces par la méthode de Culmann.

Cette méthode tient compte du fruit, lequel a pour effet de réduire notablement les efforts dans les treillis; la méthode usitée jusque-là négligeait cet élément (1).

Le calcul de l’arc est la partie la plus importante et la plus compliquée du mémoire. Néanmoins, les formules que nous avons employées nous paraissent être d’une application relativement simple, tout en présentant tout le degré d’exactitude voulu. Nous avions le choix entre les méthodes graphiques et les méthodes analytiques. Elles ont toutes les deux pour point de départ la théorie de l’élasticité et donnent, quand elles sont appliquées dans les mêmes hypothèses et dans les mêmes conditions, des résultats identiques. Une grande partie des ponts en arcs que j’ai étudiés et construits ont été calculés par la statique graphique, notamment le pont de Szegedin, le pont des Messageries à Saigon, le pont de Cholon, et j’ai reconnu que les constructions graphiques ont pour elles la rapidité, tout en faisant ressortir mieux que les calculs analytiques la variation des efforts et l’influence des charges défavorables. Mais, dans le cas du viaduc de Garabit, les dimensions exceptionnelles de l’arc et la grande importance du poids propre relativement à la surcharge rendaient difficile la détermination du point de passage de la ligne de pression ou de la force extérieure dans les sections, et nous avons donné la préférence à l’intégration analytique par sommation qui est un peu plus longue, mais qui donne des résultats plus sûrs dans ce cas particulier.

Le calcul des arcs comprend l’influence des charges, celle de la température et celle du vent.

L’élément principal, dans Je calcul des efforts dus aux charges, est la poussée horizontale. C’est pour déterminer cette poussée que l’on a recours à la théorie de l’élasticité. La poussée une fois connue, la statique permet de déterminer facilement toutes les forces extérieures et intérieures.

Notre point de départ, pour le calcul de la poussée, est la formule de Bresse, formule générale de déformation d’une pièce courbe (tome I, p. 89, édition 1859).

Cette formule ne s’applique rigoureusement qu’à une pièce pleine ;

(I) Au sujet de ces piles, nous pouvons rappeler que la question s'est posée sur le choix à faire entre des piles en maçonnerie et des piles métalliques.

M. l’Ingénieur Boyer avait, en dernier lieu, étudié et proposé des piles creuses en maçonnerie; mais une Commission composée de MM. Graëff, Bresse, Croizcttc Desnoyers et de Boisanger, Inspecteurs généraux, m’ayant appelé à discuter devant elle l’ensemble du projet, je pris la défense des piles métalliques qui furent décidément adoptées à l’exclusion des piles en maçonnerie. (Voir décision ministérielle du 23 juillet 1880, p. 148.)

elle tient compte de la. flexion, de la compression longitudinale et des déformations transversales.

Examinons successivement chacune de ces influences.

Dans le terme du à la déformation résultant de la flexion, on fait entrer le moment d’inertie de la pièce pleine. Lorsque les membrures d’une pièce à treillis sont sensiblement parallèles sur la longueur d’un élément, comme c’est notre cas, les déformations ducs à la flexion peuvent se représenter par la même expression que dans les pièces pleines, expression dans laquelle le moment d’inertie est celui de l’ensemble des deux membrures.

Pour ce qui est de la compression longitudinale, l’expression de déformation peut aussi être conservée en n’y introduisant que la section des membrures. Le système formé par les treillis et les montants résiste aussi, il est vrai, pour line faible part, à la compression, mais les calculs montrent que leur influence est négligeable.

C’est dans les déformations transversales résultant des efforts tranchants que les treillis interviennent surtout. La résistance transversale des membrures est négligeable et ce sont les barres de treillis qui résistent aux efforts transversaux.

On néglige très souvent les déformations transversales, qui sont très petites dans les arcs pleins; mais dans les arcs à treillis, elles sont plus importantes, et il est intéressant d’en tenir compte; c’est ce que nous avons fait ci introduisant dans la formule, sur les indications de M1' AL Koechlin, Ingénieur de la maison et notre principal collaborateur pour l’ensemble de tous ces calculs, ces déformations des treillis.

■4-^ d x où P est l’effort tranchant, ü la section a x

de l’arc, G le coefficient d’élasticité transversale, est remplacé par l'expression

P .dy

K (sm2 [i. cos p. w)

formule dans laquelle E est le coefficient d’élasticité longitudinale, p 1 angle des barres de treillis avec la fibre moyenne de l’arc, « leur surface de section. Le signe S indique qu’il y a à faire la somme pour toutes les barres de treillis rencontrées par une section. Dans l’arc de Garabit, cette somme est à faire pour deux barres.

L’expression de la poussée engendrée par . un changement de température contient trois termes de déformation semblables à ceux que donnent les charges et où nous tenons compte aussi de l’influence des treillis.

L’influence du vent qui agit transversalement est plus complexe que les

précédentes ; en effet, l’action transversale du vent engendre, outre les efforts tranchants et les moments fléchissants, des moments de torsion dont l’influence est considérable sur les barres de treillis et les contreventements. La statique ne permet pas d’établir rigoureusement la répartition des moments, qui dépend de l’élasticité des différentes parties de la construction, mais dès que l’on connaît les moments en un des points de l’arc, on peut en déduire tous les autres.

Dans l’étude de l’influence du vent, nous avons admis la symétrie d’action du vent sur l'arc et le point où la théorie de l’élasticité permet de déterminer le plus facilement le moment, c’est la clef. Car en ce point le seul moment est un moment fléchissant, le moment de torsion disparaît.

Pour déterminer ce moment fléchissant, nous avons, conformément aux indications de M. l’Ingénieur Boyer, établi une formule dans laquelle on a exprimé que la somme des rotations autour de la verticale, depuis la naissance jusqu’à la clef, est nulle. Or, les rotations se composent de deux termes : l’un est dû aux moments fléchissants et s’exprime en fonction des moments d’inertie transversaux, l'autre est dû au moment de torsion. Si l’on avait une pièce courbe pleine, ces dernières déformations s’exprimeraient au moyen du moment d’inertie polaire, mais dans le cas d’un système à treillis, les déformations sont dues presque entièrement aux treillis et aux contreventements, et nous avons introduit dans la formule, comme nous l’avons fait dans le calcul de la poussée, un terme qui lient compte des treillis et des barres de contreventements.

Il va sans dire que dans les calculs de résistance et tout spécialement dans le calcul des arcs, on est conduit à négliger les éléments les moins importants et à faire un certain nombre d’hypothèses qui ont en général pour but de simplifier les méthodes.

La résistance des matériaux et les nouvelles méthodes dont on dispose permettent d’arriver à des résultats presque mathématiques, mais une exactitude exagérée, à laquelle on ne peut atteindre qu’au moyen de calculs très longs et laborieux, n’est pas nécessaire là où les éléments mômes du calcul, l’intensité du vent, son action sur les différentes formes des pièces qu’il rencontre, présentent une grande incertitude. Il nous semble que les méthodes que nous avons employées et qui sont relativement simples, tout en tenant compte de tous les éléments importants, notamment en ce qui concerne les treillis, pourront intéresser les Ingénieurs qui auront à faire des études analogues.

11 n’entre d’ailleurs nullement dans ma pensée de faire une critique quelconque des méthodes de calcul développées dans un mémoire posthume de M. l’Ingénieur Boyer.

Je n’ai pas eu le loisir de l’examiner en détail, mais il m’a paru que l’ensemble de ces calculs présentait une complication notablement plus grande que ceux du présent mémoire . Je ferai remarquer, qu’il ne faut pas s’arrêter aux différences qui existent entre les résultats des calculs

des deux Mémoires, différences qui n’ont d’ailleurs aucune importance pratique et qui proviennent en partie de quelques divergences dans les hypothèses, mais surtout de points de départ différents dans les données numériques.

Je joins à mon Mémoire les décisions ministérielles du 14 juin 1879 et du 23 juillet 1880, précisant la véritable part que je m’honore d’avoir prise dans la conception et l’exécution de ce grand travail.

Je me disposais à présenter à la Société les détails complets des installations et des procédés de montage que j’ai appliqués et qui tous me sont absolument personnels .

Mais je me trouve devancé par la publication qui vient de paraître sous le nom de M. Boyer, laquelle reproduit en 23 planches, du n° 50 au n° 73, toutes ces installations aussi complètement que j’aurais pu le faire, et ce, en leur presque totalité, d’après les dessins que j’ai communiqués.

Cette publication veut bien reconnaître, du reste, page 345, que tout l’honneur du montage me revient ainsi qu’à mes Ingénieurs.

Je joins au présent Mémoire les planches suivantes :

Elévation et plan du viaduc de Garabit, à l’échelle de 0,001 m.

Une vue générale de l’ouvrage d’après une photographie.

Une vue perspective de l’arc d’après une photographie.

Ensemble et détails de la partie centrale du viaduc, comprenant : l’arc, les grandes piles et les tabliers. (Cette planche est la réduction d’un grand dessin d’ensemble remis à MM. les Ingénieurs de l’État) (1).

Épures de résistance, annexées au Mémoire original.

(I) D’une manière générale, tous les dessins d’exécution de la partie métallique ont été dressés dans mes bureaux.

Quant aux maçonneries, au contraire, les dessins en ont été établis par M. l’Ingénieur Boyer et m’ont été transmis pour exécution.

MÉMOIRE