Mémoire sur l'accélération séculaire du mouvement de la lune

Si le moyen mouvement de la Lune était uniforme, l'expression de la longitude moyenne de cet astre en fonction du temps serait de la forme A+B/, A et B désignant des nombres constants. Mais on sait, au contraire, que ce mouvement s'accélère actuellement de siècle en siècle, en sorte que l’expression précédente doit être complétée par un terme de la forme Ct*, C désignant un nombre qui peut lui-mémc être variable avec le temps, et que nous appellerons le coefficient de l'accélération séculaire.

Supposons le temps exprimé en siècles de cent années juliennes et compté à partir de l'époque actuelle, du ("janvier (85o, par exemple : on trouve que, pour rendre compte de quelques éclipses observées dans l'antiquité, il faut attribuer au coefficient C une valeur de douze secondes environ, pour les époques qui précèdent la nôtre de vingt et quelques siècles.

Laplacc, en cherchant l’explication théorique de ce fait, a trouvé que la diminution de l’excentricité de l’orbite de la Terre, causée par les actions perturbatrices des autres planètes, devait accélérer, en effet, le mouvement de notre satellite; mais comme

le coefficient de l'accélération séculaire, conclu de cette setde considération et calculé d'ailleurs avec toute l'exactitude nécessaire l! , n’est guère que la moitié de celui qui parait résulter des anciennes éclipses, on a été conduit à attribuer ce désaccord à quelque influence dont on n'aurait pas tenu compte jusqu'à présent. C’est ainsi que l’attraction exercée sur la Lune par le bourrelet liquide que les marées soulèvent à la surface des océans a été signalée comme pouvant, à la longue, accélérer le mouvement de cet astre, en même temps que l'action réciproque de la Lune sur ce bourrelet altérerait la constance du jour sidéral. Mais avant d'introduire dans la théorie de la Lune un effet de ce genre, dont le calcul rigoureux parait bien difficile dans l'état actuel de la science, il m'a semblé qu'il convenait de ne négliger aucun terme sensible parmi ceux que fournit la théorie ordinaire, dans laquelle on n’a pas égard au changement de forme de la partie liquide de la Terre. En me plaçant à ce point de vue, je me suis demandé s’il était bien démontré que le déplacement séculaire du plan de l’orbite terrestre n’eût aucune influence sur l’accélération du mouvement de la Lune.

I.aplacc, Poisson, Plana ont admis que le plan de l’orbite lunaire se déplace en même temps que celui de l’orbite terrestre, de manière que l’inclinaison mutuelle de ces deux plans conserve une valeur moyenne constante, et ils en ont conclu qu'on pouvait, dans la théorie de la Lune, considérer le plan de l'écliptique comme un plan fixe. Ils ont pris ce plan pour un des plans coordonnés, et l'expression de la longitude de la Lune à laquelle ils ont été conduits s'est trouvée nécessairement indépendante du déplacement de l'écliptique.

Mais les illustres auteurs que je viens de nommer ne sont arrivés à ce résultat qu'en se contentant d'une approximation limitée, relativement à l'inclinaison <p de l'orbite lunaire, aux

1,1 Une première approximation avait donné » I. api. ire une valeur de ce coefücient voisine de 10 secondes : les calculs plus complets de MM. Adams et Delaunay ont montré <|ue celte valeur devait être réduite à 6", i.

excentricités e et e' des orbites de la Lune et du Soleil et au rapport de leurs demi-grands axes : on peut se demander si les mêmes conclusions subsistent encore lorsqu'on tient compte de puissances plus élevées de ces petites quantités.

On aperçoit aisément que , si l'on rapporte le mouvement de la Lune à des plans invariables, dont l'un soit la position de l’écliptique à l’époque prise pour origine du temps, il s'introduit dans l’expression de la dérivée de la longitude des ternies proportionnels au carré de l'inclinaison ($' du plan de l'écliptique mobile. Au degré d'approximation où se sont arrêtés les géomètres déjà cités, ces termes se détruisent; mais admettons qu’il n'en soit plus ainsi lorsqu'on pousse plus loin l'approximation, et soit c Z’"la somme des termes de ce genre; il en résultera, dans la longitude même de la Lune, la partie cf$' , dt.

Pendant un temps considérable, on peut regarder l'inclinaison <p' comme proportionnelle au temps et poser p’— a/; la partie de la longitude dont il s’agit sera donc ^ ca s / 5 et croîtra comme le cube du temps. Un pareil tenue pourrait être insensible pendant un certain nombre de siècles avant et après l'époque actuelle, mais acquérir une valeur appréciable aux époques éloignées, telles que celles des anciennes éclipses. Il aurait alors pour effet de modifier le coefficient de l'accélération qui conviendrait à ces temps reculés; car, en l'ajoutant an terme c,/’ qui résulte de la diminution de l'excentricité de l'orbite terrestre, on obtient une somme de la Tonne (ci + c/)t\ dans laquelle f* est multiplié par une quantité variable avec le temps. Il importe donc, pour la comparaison des éclipses historiques avec la théorie, de s’assurer s’il existe dans l'expression de la longitude de la Lune des termes proportionnels à une puissance du temps supérieure à la seconde, et d’en déterminer la grandeur.

L’examen de cette question est l’objet du présent Mémoire, que je divise en trois sections. Dans la première, je reproduis, sauf quelques changements dans la forme, l'analyse de Poisson, et je

MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE conclus, comme lui, qu’au degré d’approximation dont il s’est contenté, le déplacement du plan de l’écliptique n’influe pas sur l’accélération du mouvement de la Lune. Dans les deux autres sections, je reprends le problème, en poussant plus loin l’approximation, relativement aux quantités £, e, e\ Mais alors se présente une difficulté, qui lient au déplacement rapide du nœud de l’orbite lunaire.

Dans les théories des planètes et de la Lune, il y a deux sortes d’approximations à considérer : l’une est ordonnée suivant les puissances des excentricités, des inclinaisons et du rapport des grands axes des orbites; l’autre, suivant les puissances de la force perturbatrice. Ne nous occupons, en ce moment, que de la dernière. Quand il s’agit des planètes, la méthode qu’on suit ordinairement consiste à regarder d’abord les éléments elliptiques * comme constants dans les expressions de leurs dérivées; l’intégration fournit alors des valeurs des éléments où les erreurs sont de l’ordre du carré de la force perturbatrice; puis, à l’aide de ces valeurs approchées, on en forme de plus exactes, où les erreurs sont de l’ordre du cube de la force perturbatrice, et ainsi de suite. Voici maintenant ce qui arriverait si l’on appliquait à la question qui nous occupe celte méthode d’approximations successives.

Nommons n et n les vitesses angulaires moyennes de la Lune et du Soleil autour de la Terre : la fraction caracté/isc, dans la théorie de la Lune, l’ordre de grandeur de la force perturbatrice, et, pour que les approximations successives fussent réellement convergentes, il faudrait que les parties des élémenls fournies par chacune d’elles continssent le facteur une fois de plus que les parties fournies par l’approximation précédente. Or, c’est ce qm n’a pas lieu pour les parties de la longitude de la Lune, proportionnelles à

En effet, il y a d’abord, dans la fonction perturbatrice R, un

Dl) MOUVEMENT DE LA LUNE.

terme non périodique de la forme K étant de l’ordre zéro

relativement k la force perturbatrice; il en résulte, k la première approximation, dans l’expression de la longitude, une partie de la forme -L K fp'*dl. Mais 0 et 0' désignant les longitudes des mouds ascendants de l’orbite lunaire et de l’écliptique, il y a aussi dans R un terme de la forme ri 3 K^'cos (0 — &)\ il en résulte, dans la dérivée par rapport au temps de chaque élément de la Lune, une partie de la forme — 0 ) ; on a d’ailleurs à peu près

o=-const— - — I.

Si donc on intègre, en traitant comme des constantes les quantités et 0', qui varient très-lentement, on voit que le facteur — disparait, et que l’élément considéré contiendra une partie de la forme 0').

Lorsque ensuite on voudra passer k la seconde approximation, il faudra, dans les dérivées des éléments, augmenter ceux-ci des inégalités fournies par la première approximation. Or quand, dans une expression de la forme — K£' (0— 0'), on augmente

les éléments qui y figurent de quantités qui sont elles-mêmes de la forme K£' [0 — 0'), il en résulte des termes non périodiques de la forme La seconde approximation amènera

donc, dans la dérivée de la longitude, des parties de cette dernière forme et, par suite, dans la longitude clle-mèmc, des termes de la forme — K c’est-à-dire du même ordre de grandeur que ceux qu’avait fournis la première approximation. En poursuivant ce raisonnement, on voit qu’il en serait de même des approximations suivantes ; la méthode des approximations successives, telle qu’on la pratique dans la théorie des planètes, donnerait donc le coclficicnt de dt dans la longitude de la Lune sous la forme d’une série non convergente, et, par conséquent , elle doit être rejetée.

Pour éviter celte difficulté, j’emprunte à M. DelaunayW l’idée qui sert de base ix sa Théorie de la Lune, et qui consiste à intégrer les équations du mouvement de cet astre, en réduisant d’abord la fonction R à sa partie non périodique accompagnée seulement du ternie périodique relatif à un certain argument. Dans le cas actuel, je joins à la partie non périodique les deux termes dont les arguments sont 0—0' et . 20 — 30'. Il est inutile d’avoir égard à ceux qui ont pour arguments des multiples plus élevés de 0— 0', car les parties non périodiques qui pourraient en résulter dans la dérivée de la longitude de la Lune renfermeraient le facteur £'* au moins, et seraient certainement négligeables dans les limites des temps historiques.

La fonction perturbatrice étant ainsi réduite, on peut intégrer, non plus seulement par approximation, mais rigoureusement. Pour avoir égard ensuite aux termes de la fonction perturbatrice qu’on a laissés de côté, il faudra regarder les constantes introduites par l'intégration comme de nouvelles variables; mais alors les dérivées de ces variables ne contiendront plus de termes dépendant des arguments 0—0', 30—20', ou du moins ne contiendront de pareils termes qu’avec des coefficients du second ordre relativement à la force perturbatrice, et la méthode des approximations successives deviendra applicable.

Nommons R, ce que devient R quand on y supprime tous les termes périodiques autres que ceux qui ont 0—6' et 20 — 20 ' pour arguments. L’intégration des équations auxquelles se réduisent les équations différentielles du mouvement de la Lune, quand on remplace R par R, , est l’objet de la seconde section du Mémoire, et elle me conduit, entre autres conclusions, à celle-ci :

La fonction perturbatrice étant supposée réduite à sa partie R,, si la longitude de la Lune contenait un terme en fP*dl, et

Dans ia partie de »a l'hforîe de la Lune qu'il a publiée, M. Delaunay fait abstraction des changements qu'éprouvent les éléments de l orbitc du Soleil, il suppose donc provisoirement o, et ajourne le calcul qui nous occupe ici des effets dus nu déplacement du plan de I écliptique.

qu’on lo représentât par —K f^Jt, le coefficient K serait une

fonction de e, e\ du huitième degré au moins par rapport à ces petites quantités.

Il suit de là qu’en supposant toujours la fonction H réduite à R,, la longitude de la Lune ne contient pas de terme proportionnel au cube du temps qui soit sensible. H reste à voir si les parties de R qu’on a d'abord laissées de côté n'en introduisent pas. Cette recherche, plus laborieuse que la précédente, est l’objet de la troisième section : j’y fais voir que les divers termes de la partie R — R, de la fonction R introduisent dans la longitude moyenne, à la seconde approximation, des termes en f‘, en P et en qui proviennent du déplacement de l’écliptique. Mais les termes en t* se détruisent deux à deux, et leur somme est nulle; d’un autre côté, la somme des termes en /’ peut être regardée comme insensible. Reste donc la somme des termes en P : elle n’est pas nulle et on peut la considérer, ainsi qu’il a été dit plus haut, comme modifiant le coefficient de l’accélération aux époques très-éloignées de la nôtre. Toutefois, si l'on en calcule la valeur numérique, on trouve que, pour l'époque des éclipses les plus anciennement observées, les termes en question ont pour effet de diminuer le coefficient de l’accélération séculaire d’une quantité s'élevant à peine à un dixième de seconde. Comme ces éclipses paraissent exiger, au contraire, que ce coefficient soit augmenté et qu’il le soit de plusieurs secondes, on voit que ce n’est pas dans le fait du déplacement du plan de l’orbîte terrestre qu'on peut trouver l'explication du désaccord qui semble exister entre la théorie et les observations.

Doit-on chercher à faire disparaître ce désaccord par une interprétation nouvelle des documents historiques relatifs aux anciennes éclipses, ou faut-il lui assigner pour cause l'allractiou mutuelle de la Lune et du ménisque soulevé par les marées à la surface de notre globe? C’est ce que je n’entreprendrai pas d’examiner ici. Mais avant de s’engager dans l'une ou l’autre de ces

deux voies, il importait, ce me semble, de vider la queslion qui fait l’objet du présent Mémoire. A ce point de vue, la conclusion de mes recherches, bien que négative, ne paraîtra peutêtre pas entièrement dépourvue d’intérêt.