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Voyons ce que nous apprennent ces formules relativement à la question qui nous occupe. La quantité n étant constante, l'équatioD / ==J ndt + X se réduit ici à
l — fit 4" X ^
34 MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE en mettant pour X la valeur qu’on vient de trouver, on voit que le seul terme non périodique de la longitude moyenne qui ne se confonde pas avec le moyen mouvement est le terme (A s + B ! j f* ou
x(*)( At +B *K-
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Lorsqu’on fait abstraction de la diminution de l’excentricité de l’orbite terrestre et qu’on réduit la fonction R à sa partie j>on périodique et aux termes d’arguments 6-~0' et 20 — 2 0', le terme proportionnel au cube du temps, qu’on pourrait s’attendre à trouver dans la longitude moyenne de la Lune par suite du déplacement du plan de l'écliptique, est le produit de ~ ( A’-t-B’ ) f 5 par tin coefficient qui, s’il n'est pas nul, est au moins du huitième degré en e, e', par conséquent, ce terme est ou
nul, ou insensible dans les limites des temps historiques l,) .
La partie R, de la fonction perturbatrice était celle qui semblait devoir introduire dans l’accélération du mouvement de la Lune les termes les plus considérables parmi ceux qui dépendent du déplacement de l’écliptique, et l’on vient de voir, au contraire, qu’elle ne fournil que des termes nuis ou négligeables. Il nous reste à calculer les termes du même genre qu’amènera le rétablissement dans la fonction perturbatrice de la partie R — R, laissée d’abord de côté. Mais, avant d’entreprendre cette recherche, qui sera l’objet de la troisième section, nous signalerons encore quelques conséquences des formules qui précèdent.
Dans les expressions de 0 et de «, les termes en I 5 sont les produits de IL 5 ^A’ + B’j I* par des facteurs qui, s’ils ne sont pas nuis, sont au moins du sixième degré. Ainsi, quand on réduit R . à sa partie R,, le déplacement de l’écliptique n’amène, ni dans
P> Le facteur — (A* -h B*) est égal à o'.oooooo63 environ, quand on prend ic siècle pour unité de temps.
• DU MOUVEMENT DE LA LUNE. Si.
la longitude du nœud de la Lune, ni dans celle de son périgée, aucun terme sensible qui croisse comme le cube du temps.
Quant à l'élément y, qui est le sinus de la demi -inclinaison de l'orbite lunaire sur le plan fixe, nous voyons qu'il renferme un terme séculaire dépendant du déplacement de l’écliptique, savoir :
L[ , 3yV(8)](A’ + B’)t 1 .
Il en résulte dans l’inclinaison ^ elle-même un terme en l a , qui, réduit en nombres, est à peu prés + o*, o 3 1 t 1 .
Examinons enfin si , dans les mêmes hypothèses, l’inclinaison de l’orbite lunaire sur le plan de l’écliptique mobile est affectée de quelque inégalité non périodique- Cette Inclinaison étant désignée par i, faisons
sin^ = ».
Le triangle sphérique déterminé par le plan lise, le plan de l’écliptique mobile et le plan de l’orbite lunaire, nous donnera l'équation
cos i = cos£ cos^' -I- sin^ sin^' cos ( 0 — ô ).
ou bien
t - îjj s =-(i — ay*)(t — 3y”)+4yy'y/ • -y 1 ^ 1 — y ,1, cos(©— ©').
ou encore
t»*— y’+y'’ — ay’y'’ — ayy'^t — y’^/ t — y^cosfô — 0’)-
Remplaçons y'sin 6' et y'cosô' par Al + A,/* et B/ -4- B,/’; il nous viendra, en négligeant des quantités du troisième ordre,
v’—y 1 — 2 y ^ 1 — y’ (A sinfl+BcosO) t
3 y t / 1 — y 4 { A, sin 8 + B, cosfi) i 1 4- ( 1 — 2 y’) (A 1 + B 1 }/ 1 •
âfi MÉMOIRE SIR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE
Représentons par y^Ay el0„4 A0 les valeurs de y et de 0 que donnent les formules des pages a<j et 3o; observons d’ailleurs que la différence h n — li a étanl du second ordre, 0° et 0 O ne diffèrent non plus que d'une quantité de second ordre, et nous aurons, en négligeant toujours des quautités du troisième ordre,
Asin04Bcos0 = Asin0’4Bcos0'4(Acos0‘ — Bsin0) A0 -= Asin0 u 4Bcos0 o 4(Acos0„ — BsinO,,) A 0 = q+p A0,
A^inO + B! cos0 = A | sin0’4-B 1 cos0’ = A | sin0 ll + B 1 cos0„ = ÿ 1 • La valeur de v * deviendra, par suite, » 5 =y’-l-ay u Ay+Ay*-2y.0-y’7/-ay <> ^/i-y*p<A0
Mais les valeurs de Ay et de A 0 peuvent s’écrire, d’après les formules qu’on vient de citer :
A) — JV/t 4- OÏL p 4 DX> (A* 4 B’)f’ -f des termes périodiques du second ordre,
A 0 )^pl 4 OK'q 4 des termes du second ordre.
Il en résulte, aux quantités près du troisième ordre,
»’ — y*4 a y ti j^q I 4 a y„OÏLp 4 a y„»)L (A* 4 B”) /’ 4
4 a^mp9/43iiV-ay„^ »y„\/i -y*<y<* - a yo\/‘-y’^>7' - a “7=1 <9 ,fS - a
“ 3 y„ J i—y' 0 ç, 4 ( l — 3 y ( A 4 4 B*) t’ 4 des tenues périodiques du second ordre.
ce qui, en ayant égard aux relations
#»*-£( A*+B’)-P, ,*=!( A*-hB*)+P. pq — Q,
peut s’écrire encore
»*- y\+ 2 7» (<rV ,y *) qt + 9y ° p
-t-des termes du second ordre constants ou périodiques.
Or on a
<- * -w-w-àrî+w-v/^+w-
at “*k[ ,3y * + ( 8 )]’
<!”£[' ~ï y ' — 5 y » — ïtî y o"*~{ 8 )]’
d'où il suit
*r.x>+ î£-r.\f>-?.C-fiSr.t +
Donc
» î =y* + (8) y a qt + ay 0 ^Ttp + (8) (A , -+-B , )l* + des termes du second ordre constants ou périodiques,
ou bien, en extrayant la racine carrée,
W = y o + (8) çt+OfLp 4- — (A J -f-B 3 ) t’-t-des ternies du second
ordre constants ou périodiques.
On voit que, si j; renferme un terme proportionnel au carré du temps, ce terme est le produit de (A 5 + B 3 )t s , c’est-à-dire de 0,000 ooo o i 35 f* par un facteur qui est au moins du septième
3* MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE degré, lin pareil terme, s’il existe, doit être regardé comme insensible.
I.a même conclusion s’étend sans peine au terme en 1 1 qui pourrait exister dans la valeur de l’angle i lié à v par la formule
sin '- — V-
Ainsi, et en supposant toujours la fond ion perturbatrice réduite à sa partie R,, la proposition énoncée par laplacc, que le plan de l’orbite lunaire conserve une inclinaison moyenne constante sur le plan de l’écliptique mobile, subsiste même lorsqu’on pousse l’approximation relative aux petites quantités y„, e, e\ y beaucoup plus loin que ne le fait l’auteur de la Mécanique céleste.
