AX-A,X+A,X

cil sorte qu’on ait

Observons que A,y< A,0, A, ta, A,X sont des quantités du premier ordre, tandis que A,y, A ,0, A-, ta, AjX sont du second.

Cela posé, revenons aux équations (B}; lorsqu'on y aura remplacé les dérivées partielles de R, par leurs valeurs, le second membre de chacune d’elles deviendra une série de termes de la forme M ’ù” A, M étant une fonction de y et de y' et X désignant

42 MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE un argument de la forme

•L — ml + m l ‘a + m j 0 -i m'l'+m[is' + m' i 6' ; dans cette formule on a

el 01 , m,, oij, tri, mj , m' t désignent des nombres cnlicrs positifs ou négatifs. Concevons maintenant que, dans chaque terme M , S -oj r.L. on remplace les variables y , 6, ts, A par leurs valeurs (C), en développant le résultat suivant les puissances de Ay, AS, A «, AA jusqu'aux quantités du second ordre inclusivement. Après la substitution des valeurs de Ay, A 0, A «, AA, on voit, on ayant égard & la signification des lettres p, q, p,, q lt P, Q, qu'on obtiendra des termes ayant pour arguments, soit l'angle

■A * — ml' m 1 vf -+■ mfP -f mi + m[ «' 4- mj 6'

{on a r = nl + A"), soit l’un des angles

X’ + O,. 4"-0 o . Jf+a 0 O . -V-a 0 B -

I.es coeflicienls de ces termes pourront d'ailleurs contenir en facteur I, ou t 1 , ou I*.

Les seconds membres des équations (B) étant maintenant composés de termes de ce genre, il suffira d’avoir égard aux relations y'sinO' — Af + A,/ 1 , y'cosô’ = Bf 4- B,! 1 pour en faire des fonctions explicites du temps. On pourra alors les intégrer el on obtiendra ainsi les portions de Sy, SO, Se, Sv, Sa, SX qui répondent à la première approximation, portions que nous appellerons S, y. S, 6, S,e, S 5, a, S t A W. La valeur de S,n se conclura d'ailleurs de celle de S, a à l'aide de la relation

(> * La caractéristique 9, reçoit ici une signilicalion différente de celle qui lui n été attribuée page ao.

et <î,/ sera donnée par la formule

Examinons d'abord si cette première approximation peut introduire dans la longitude moyenne de la Lune des tenues non périodiques proportionnels au carré ou à une puissance plus élevée du temps. On voit aisément, d’après ce qui vient d’être ilit et en négligeant toujours les quantités d'ordre supérieur au second, que les seuls termes de R a qui puissent fournir des quantités de ce genre sont ceux qui ont pour arguments 2©' — 20\ 2©' — 0 — 0 ', a©' — 20 . Ces tenues sont, en ne gardant dans leurs coefficients que les parties du degré le moins élevé,

- 'iï "' , ‘ eaS (?) ,e V cos ( a®' - a«')-

+ 17 n * e flI {zY^yy’ cos ( 2 ® ~ e - e

- ^ ’ (ï)’ e V COS (2©' - 2 0) .

Substiluons-lcs successivement à la place de R, dans l'expression de ; remplaçons, comme il a été dit, y et 0 par y + Aiy + A,y, 0 + A,0-f-A50, et ne conservons dans les résultats que les parties non périodiques, en négligeant toutefois les parties constantes qui se confondraient avec le moyen mouvement.

En posant, pour abréger,

^{B 1 — A’)cos 2©' + ABsin 2©'-= A ( i j (B 1 — A 1 ) sin 2 «' — A B cos 2 ©' -= B ( .

en sorte que A et B ( soient des quantités du second ordre, nous trouverons, par le premier des termes ci-dessus, dS.X 1 35 n'e f a \ j n » '

it ‘ V’

par le second ,

if{-“ + -rirUj e V + ~w) e b , <:

44 MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE par le troisième.

üassemhlant ces trois résultats, on voit que les termes en ( a se détruisent cl l'on trouve

,45 ( n \in

1 il a \<ï J

D’ailleurs, les termes tic B, que nous considérons ne renfermant pas X dans leurs arguments, les valeurs correspondantes de ^ sont nulles; par suite aussi celles de S,a et de < 5 ,n. Donc, relativement à ces termes, SJ se réduit à iî,X, et l’on a

On voit que cette inégalité a pour effet d’ajouter au coefficient de l'accélération séculaire la partie + -î mais si l’on

calcule ce nombre en prenant toujours le siècle de 365 a 5 jours pour unité de temps, on le trouve égal à — o'.ooo 000000017 environ; l'inégalité qu'on vient de déterminer est donc tout à fait négligeable * l! .

La première approximation nous ayant fait connaître les valeurs approchées S t y, S, 6 , S,e, é,t3, S,a, S,X, SJ des quantités Sy, SS, Se, Sts, Sa, SX, SI (on trouvera, p. 53 et suivantes, les valeurs de é,y, Sfi, etc. qui répondent è chaque terme de IL considéré séparément), proposons-nous maintenant d'obtenir pour SI la

Les terme* en t 1 qui se sont détruits quand on a réuni les trois parties de

rfS X

-tJ- donneraient chacun en particulier, dans 8 ,X, et par suite dans h t l, un ternie en t'; le plus grand de ce* termes serait - 4 - -g- -jj- ou numérique-

ment — o".ooo ooo oo 1 7 I*. Une pareille inégalité c.-t encore négligeable, et par conséquent on n'a pas à craindre qu'en poussant plus loin Fapproiimnlion dans les coefficients des trois termes de K, qu’on vient de considérer, on obtienne dans 8 ,/ des termes en <* ayant une influence ernsib’c sur racoéicrotio:» séculaire.

DU MOUVEMENT DE LA LUNE. (là

valeur plus approchée SJ+SJM qui doit résulter de la seconde approximation. En représentant de même par5,/i + 5 s n et<5,X + 5,A les valeurs do Sn et de 5À résultant de cette seconde approximation, on aura

ij-fodt+fy

et, par conséquent,

dS,l dt ‘

dS.X " dt '

Mais, lorsque n cl a désignaient les valeurs complètes des éléments auxquels ces lettres se rapportent, on avait

lï '

3 n du a a dt

ces mêmes éléments étant représentés par a+Sa, n+Sit, on aura, en observant que n désigne maintenant une constante, dSn

Or le S,n correspondant à la première approximation est donné par l'équation

dSjn 3J dt ~ a' ''

on a donc

dS.n « /3J\

-3i UJ’

-j J l’accroissement qu’éprouve la quantité

— lorsqu'on y remplace les éléments y, 0, ... par y + 5, y,

0 + 5,0, ... et qu’on néglige les termes de deux dimensions ou

plus en 5, y, 5,6, ...

De même, si nous posons, pour abréger.

<>] La caractéristique S, n'a plus ici Ia mcinr .signifies lion qu'à la page ao.

GG MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE nous aurons, d'après la dernière équation (A).

dSX \/ 1 — t* — i + g* p

Si na tuPe

ana’yi — r*

et comme on a

dl na na'e ana'yi — v>

il en résultera

Ces deux formules :

dS t X j p

~sr “ a i b ’

nous serviront à calculer les parties non périodiques de <5,n et de <$jX, et, par suite, celles de

Pour effectuer commodément cette recherche, il conviendra de former d’abord les expressions générales des valeurs de i,y, <î,ô. <V, ... correspondantes à un terme quelconque de R, considéré isolément. On peut, en effet, chercher S t y, S t 0. ... en réduisant la fonction R s successivement à chacun de ses termes et rassemblant ensuite les résultats ainsi obtenus.

Soit donc C cos X un terme quelconque de celte fonction où l’on a

X^ml + »n 1 «-4-m J 0-|-m'r-t-m' 1 «'-t-miO',

et où C est une fonction de a, e, y, y'. (Nous ne mentionnons pas a et e', qui sont traitées, ainsi que comme des constantes absolues.) En réduisant R s à C cos A>, on a

cos -A> ,

F ■= — m t C sin JL •

/•, dC . | dC ,

Il = COSot. I = jj- COS -L ■

H— — sin cto» J -■» — tnC sin

Si doDC on pose

*- 4 na*y i — e' ana'v'i— r'J

Y — F »»iVi— < J m(\/i — t*— i

na'e na't J ’

lui

4na*yy i — ('*

v y/ » — de y rfc

naV 3ï aiw> v ,^7'Jr’

yy 2 dC y/i -<•* — i -*-<•* dC ;

nada na't de ina\'i -(*Ç'

on aura, d'après les équations (B),

^j£ = Xsin4., ^j^ = Ysin^

^?-Ucos4» ^£=Vcos

dS.X

= Z sin 4> .

=-- Wsin 4>.

Dans les seconds membres (fe ces équations, a, e, n sont des constantes, et y, 0, «, X ont les valeurs données par les formules (C); on peut donc y remplacer y par y„-f-Ay et 4- par 4."-)- A4,, en faisant

A4 — m AX 4- m Aur + m 2 A0.

ou bien encore y par y„-f A,y + A 5 y et 4> par -V+ A^-e A 5 -L . en faisant

A ( 4, = mA | X+m | A ( « + m, t A^. A 2 4> = mA a X + m ( Aj® + m a A0

Si Ion fait cette substitution, qu'on développe les résultats suivant les puissances de A ( y, A y. A 4>< A s 4>. en se bornant aux

1,1 Le* lettre* X, Y, U, V reçoivent maintenant une signification différente de celle qui leur a éië attribuée page i fi.

48 MÉMOIRE SUR L’ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE quantités du second ordre, qu’on mette pour A^, . A^L, A A

leurs valeurs, etqu’enliuon remplace y'sin 6' par A I 4- A /*. y'cosô’ par Bt 4- B,/ 5 . on obtiendra des sommes de termes où le temps entrera soit dans l’angle

Jh>° — nijfl'— + + l -+■ const., .

soit dans les quantités />, q , p,, ç,, P, Q par l'angle 0 o =k o t-{-c l y

soit enfin explicitement en facteur. Ces expressions s'intégreront aisément, et l’on aura ainsi les valeurs de S l y,S,0,S l e, S,-a,S t a, S,\ : de la valeur de S, a. on conclura celle de <5,n, en la multipliant par — — , et l’on pourra calculer par suite l^ndt. Mais avant d’écrire les formules auxquelles on parvient ainsi, il est à propos de distinguer plusieurs cas.

Soit d’abord mj — o. Le coefficient C sera une fonction paire de y et nous l’écrirons C+Cy' s , employant ici la lettre C non surmontée d’une barre pour désigner seulement la partie indépendante de y' : nous représenterons de même par X+Xy' ? , Yd-Yy'*, Z+Z y'*, U-t-Uy'*, V4-Vy' J , Wd-Y^y' 5 les quantités qui ont été appelées tout à l’heure X. Y, Z, U, V, YV.

Soit ensuite m' t — ± i . Le coefficient C contiendra alors y' en facteur, et nous l’écrirons Cy' : les quantités appelées d’abord X, Y, Z, U, V, W seront représentées ici par Xy', Yy', Z y', U y\ Vy', YVy'. Nous ferons de plus

tlb — ml + 4- mji 4- m'I' 4 - m,-a .

en sorte qu’on ail

A>~aJ1>±0'

li 9

et nous poserons

lfî>° = »n/ J + ni ] -ns" + m^ + mT-\-ni' l is',

Soit enfin m,' = ± a. Le coefficient C contenant alors y' 5 en facteur, nous l’écrirons Cy'®, et, au lieu de X, Y, Z, U, V, W, nous écrirons également Xy'*, Yy' 5 , Zy’ 1 , Uy' s , Vy' 1 , VVy' 5 Nous poserons de plus, pour ce cas,

b ml 4- ni,® 4- mO 4 - m'I' + m\

en sorte qu’on ait

-JL= 6± a©',

et nous ferons

Nous poserons d'ailleurs, dans ces différents cas,

= ,n^'4-m 1 .r 4-« a £ 3IL" - mJR ’ + m ,.>114 + m^XC .

SV’ — mW+mfâ'+mfb’.

sf' = 4- 4- & ,r — m&" 4- 4- «ylV .

S' r = mS" 4- BijtS’ 4- w,eS'. B' r ■= n»G” 4- 4- i» s G'.

ft = m (b 4- A” ) 4- m j° 4- mji" 4- m'a'-

Knfin l’indice zéro, placé au-dessous d’une fonction de y. marquera toujours qu’on y remplace y par y p .

Cela posé, on aura les formules suivantes :