II, [i (B 3 - A 3 ) sin (Mi° 4 0„) - AB cos(MÎ

4- n s [ ;{B , -A*) cos ( Mb” 4 0„) 4 AB sin ( Mi” 4 0J J t 4- 1I„ ['- (B 3 - A 3 ) sin (Mi°4 0J - AB cos (Mb” 4 0„) ] l\

Observons que, dans ces valeurs de S, y. S, 6, js,ndl, et daiis les valeurs de S,e , 5,«, S,a, qui s'en déduisent, les termes d’arguments Mb" ont des coefficients du premier ordre au moins, et que les termes d’arguments Mi” ±0 U ont des coefficients du second ordre.

ü‘> MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE CAS DE raj = + S.

Terme considéré de 11, : Cy’* cos -L -• Cy’ 2 cos (b 4-

On a

■5^ =» X M | ^ (H 2 — A 2 ) cos b“ — AB sinb" j + -, X„ [ ( B 2 - A*) sin b» 4- AB cos b»] I - “ X. [ \ ( B* — A 2 ) cos b» - AB sin b“]

Si, dans le second membre de cette formule, on remplace la lettre X par la lellre Y, on obtient la valeur de S ,e; si l’on y remplace la lettre X par la lettre Z, on obtient la valeur de S, a. On a ensuite

S fi = - i U„ [i ( B 2 - A 2 ) sin b» 4- AB cos b»]

+-, U„ [i (B* — A a ) cos b« - AB sin b»] I + ï U. [ ~ (B 2 - A 2 ) sin b" 4- AB cos b»] (\

Si, dans le second membre de celle formule, on remplace la lellre l par la lettre V, on obtient la valeur de Æ,«; si l’on y remplace la lettre L' par la lettre YV, on obtient la valeur de On a enfin

f, îm// - , 8 (B* — A 2 ) sin b" 4- AB cos I,»]

+ 1 3 [; ( B " A *) cos b " “ AB sin b °] 1 + 3 7 [; (B s - A*) sin b" 4- AB cos b”] i\

Observons que, dans ces valeurs de i|j , S t 6, j\ndl, et dans les valeurs de S,c, <5,©, <5, a , qui s’en déduisent, tous les termes

sont du second ordre.

CAS DE fl»î= — 3.

Terme considéré de R 2 : Cy’- cos -l, = Cy” cos (b — iiï).

On a

S j ■= ± X„ [ i (B* - A*) cos b’ 4- AB sin b"]

+ p ' X ° [ î ( Ri - A ‘) si " b° - AB cos b- ] /

— 1 \ o [ ‘ (B 1 - A 1 ) cos b* + AB sin b»] l 1 .

Si, dans le second membre de cette formule, on remplace la lettre X par la lettre on obtient la valeur de <î,e; si l’on y remplace la lettre X par la lettre Z, on obtient la valeur de S,a. Ou a ensuite

S fi — — A U 0 |^ (B 5 — A 3 ) sin b“ — AB cos b" |

+ i U o [‘ (B* - A 2 ) cos b” + AB sin b»j l + ï U„ [i (B 1 - A 1 ) sin b» - AB cos l>« 1 /*.

Si, dans le second membre de celte formule, on remplace la lettre U par la lettre V, on obtient la valeur de si l’on v remplace la lettre U par b lettre W, on obtient la valeur de i,X. On a enfin

Ç\ndl = - , 8 [i ( B 2 - A s ) sin b» - AB cos b»]

+ i a ' [i (B ! — V") cos b 0 4- AB sinb° | /

+ 3 ^ [i (B 1 - A*) sin b* - AB cos b*] l 1 .

Observons que dans ces valeurs de S, y, Sfi, j^ndl. et dans les valeurs de S,ts, S t a, i,X qui s’en déduisent, tous les termes sont du second ordre.

64 MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE Revenons maintenant aux formules , S l (^v)’ qui doivent nous servir à calculer les deux parties jSjidt et é a A de SJ. Chaque terme de l’une ou de l'autre des quantités^ S provient de l’un des termes de la fonction perturbatrice totale R et a le même argument. Par conséquent , on retrouvera dans et dans <î,S les arguments de la fonction R combinés par addition et soustraction avec les arguments A°, -b°± vV\

b”, qui figurent dans les valeurs de S y y, Sf. S t a, S fi, <5®, S t X, l’S^ull. Représentons un argument quelconque de R par il, ou par 'HKrkO', ou par suivant que le coellicient de

0’ y est égal ou à zéro, ou à ± i , ou à ± a : remplaçons d'ailleurs y’sinÔ', y'cosO' par leurs valeurs Al + A,P, Bf-t-B,! 5 , de manière que 0' ne figure plus dans les arguments. Alors, et en négligeant toujours les quantités d’ordre supérieur au second, ^i(n’)’ ^i® se lrouveronl exprimés par des sommes de termes dont les arguments seront de l une des formes suivantes :

-V + G. f JL°±e o ±G, cV±20 o ±G, sJV + fi.

b°±G, ,b°=hY, JL # ±e o ±f,

ilV + 'F,

Mais les coefficients de ces termes contiendront la variable y et, dans les parties ±Q, db^ des arguments, entreront les angles 0, «, A. Or ces quantités y, 6 , «, A doivent encore être remplacées par y 0 +&y, 0"+ AO, «”+ A«, A°-f AA. Faisons celte substitution et appelons il", H'®, i//’ les angles fonctions linéaires du temps auxquels se réduisent il, 'F, \f/, lorsqu’on remplace /,

1,1 Les lellrrs 11, Y, ^ reçoivent ici el garderont d^onnni une signification différence de celle qui leur a été a U ri buée pages a4 cl a5.

■or, 0, par/ 0 , tS", 6°. A, lors et <î|S se composeront de termes

ayant des arguments de l'une des Ibrmcs suivantes :

-L°±12".t;0„, -A,V ü'+afl,,, it^iü”.

11!,” ± ü ■ fl„, b" rt fi" . JL° ± V, -V ±r , : ! :e„,

Comme d’ailleurs les arguments qu’on vient d'énumérer appartiendront, à l'exception du premier, à des termes qui seront au moins du premier ordre, on pourra remplacer 0 O par 0°, qui n’en diffère que d’une quantité du second ordre. Nous regarderons donc définitivement et i, S comme composés de termes

dont les arguments ont l’une des formes

■V + £î'\ -r±Q“ + fir', .A,"±Q°±a0\ vh'' + i>'.

iiî>“d= Î2“±0". b°±0“, ,r±T', V±Y°±fi".

uV + 'T, JS+y.

Cliacun des termes dont nous venons d'indiquer le calcul proviendra de la combinaison d’un certain terme de R, ayant pour argument .jb, ou lt!i ± 6' ou b ± 30', avec un certain terme de R ayant pour argument il, ou S r + 0\ ou 0'. Nous avons à exa-

miner maintenant quelles sont les combinaisons de ce genre qui peuvent nous donner dans S f I - jJ et dans i,S des parties non périodiques, c’est-à-dire ne renfermant pas comme facteur le sinus ou le cosinus d’un angle variant avec le temps' 11 .

Or il est clair que la condition nécessaire et suffisante pour

11 On *e souviendra que nous regardons l'angle comme une constante, et qu’ainsi un terme renfermant en facteur le sinus ou le cosinus d'un multiple de » ne doit pas être considéré comme périodique.

66 MÉMOIRE SUR L’ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE qu’on obtienne rie telles parties est que, dans quelqu'un des angles

I »±Î2, ,t±ü+0. d, + fi±30, ifbdcG,

tl!>±Q±0, b±Q, Lr-Y, -L+Y±0.

les coefficients de /, «, 0, F se réduisent tous les quatre à zéro, ou, c.e qui est la même chose, qu’uu des angles de celle liste se réduise soit à zéro, soit à un multiple de w . Il sera donc aisé, à l’inspection du développement de la fonction perturbatrice, de reconnaître quels termes de II, on doit associer à chaque terme de K. Nous allons transcrire ce développement.

Lorsqu'on néglige les puissances de y' supérieures à la seconde, les coefficients des différents termes de Ü sont, comme on l’a déjà dit, de l’une des formes C-t-Cy’’, Cy', Cy' 1 : les quantités C, C peuvent elles-mêmes être développées suivant les puissances rie y, c, e, nous pousserons ces développements jusqu'au quatrième degré, en regardant y, e, e\ comme du premier. Nous négligerons par conséquent les termes de K dans lesquels la somme des exposants de y, e, e ', serait supérieure à

Le développement de R ainsi limité se compose des4o8 termes contenus dans le tableau suivant : chaque terme y est accompagné d’un numéro d’ordre, qui pourra servir à le désigner.