a/ — a/', -A— af + 30 - al'— aïs

-L = a/ — aO— a/' -f- a©*, H!>= a/- 1 - 0 — a/’,

ill>= a/ — 0— a/'. 'ili = a/+0- a/'— a©',

<ilS,= a/0— a/’-f- a©', b = a/— if + a©', b = a/— a f — a©'.

De ces neuf hypothèses, la première est vérifiée par le terme i de R,, la troisième parle terme a i 3, la cinquième parle terme i o, la septième par le terme iaa, et la huitième par le terme 5- : les autres hypothèses ne sont vérifiées par aucun des termes de R 2 compris dans notre développement. Ainsi on obtiendra des parties non périodiques de <5,/ en associant an terme t de R les termes i. to, 67 , 12 a, ai3 de R 5 .

En continuant ainsi, on verra quels termes de R 2 doivent être associés avec chaque terme de R, et l’on trouvera que le nombre des combinaisons satisfaisant aux conditions énoncées ci-dessus est de 763 . Mais, avant d’en écrire le tableau, il convient d'expliquer le partage de ces combinaisons en un certain nombre de groupes, pour chacun desquels on peut construire des formules générales donnant les parties non périodiques correspondantes de SJ.

Si l’argument du terme pris dans R, ou, pour parler plus brièvement, si l’argument de R est de la forme 12, c’est-à-dire ne contient pas 0', l’argument de R 2 devra être de l’une des formes

-A», il!> + 0', 11 !) — 0', b + 30', b- 20'.

Si l’argument de R s est de la forme A, on devra avoir A = 12, ou A — 12 — 20 + a©', ou -L = 12 + a0 - a©'; s'il est de la forme ifc + 0', on devra avoir ti.S — 12 0 ou 11!) = 12 + 0 — a©’;

s’il esl de la forme lit — fl’, ou devra avoir Mb-» A 4-0 ou Mb=» A — 04 - 2©'; s’il est de la forme b-f-20', on devra avoir b 11 — q-gt'; s'il est de la forme b — 20', on devra avoir b — A 4- î«'. Si l’argument de R est de la forme Ÿ+ 0 ', celui de R s devra être de l’une des formes

•A,, Mb 4-0’, Mb — 0 .

S'il est de la forme si, on devra avoir

sWV f 8 ou -K, ■= "Ÿ — 0 + i-a' :

s’il est de la forme Mb 4 - 0 ', on devra avoir Mb = s’il est de la forme Mb — 0 '. on devra avoir Mb = ‘♦' 4 - 2«’.

Si l’argument de R est de la forme H r — 0 ', celui de R, devra être de l’une des formes

-A, Mb 4 - 0 ’. Mb- 0 '.

S’il est de la forme =U, on devra avoir

, L-Y - 0 ou ,UŸ + 0-a«':

s’il est de la forme Tlb4-0', ou devra avoir Mb — ’ 4 r — 2 ©’; s’il est de la forme Mb — 0 ', on devra avoir Mb = , F.

Si l’argument de R est de la forme ^4-20', celui de R, devra être de la forme et l’on aura A=^4-2«'.

Enfin, si l’argument de R est de la forme \f/— 20', celui de R s devra encore être de la forme A, mais on devra avoir 4 >-=i p— 2© .

On est conduit par là à distinguer 19 cas, que nous rangerons dans l’ordre indiqué par le tableau suivant.

ARGUMENT DK II.