IR

'il'

— otx' cos ai — ay'sina/.

Il en résulte, en appelant A„ et B„ deux constantes, A“=Ao— a l'x'sina/dl + ajycosal dl ,

B = B„ — a | x'cosa/ tft — a J'y' sin al Jl.

Or on a, en intégrant par partie,

r t • cdx*

a I x sin CLt dl = — x cosa/ -f- 1 cos ctl dl , ou sensiblement, à cause de la lenteur avec laquelle x varie, a f x'sin a/ d/=— x'cosa/,

et pareillement

a | x'cosa/ (//«*x' sin a/, a |ysina/J/=— j'cosa/,

ajycosa/ dt—y'sinal.

On en conclut

A — A,+x’ cos af +y' si n al ,

et, par conséquent,

x=A„cosa/— B„sina/-t-x\

B=*B 0 — x’sjna/+ycosa/, y=A„sin a/+B„cosa/+y.

Dû MOUVEMENT DE LA LUNE. Il

Comme x' et y' s’annulent avec I, on voit que A„ et B„ sont les valeurs initiales de x et de y, en sorte que, si l’on représente par et 0 O celles de ^ et de 0, on aura

A 0 =>^ 0 sinÔ 0 , B„ — cos 0„.

Les formules précédentes peuvent donc s’écrire <P sin 0“P o sin{0 o — ot/J-fp’sin 6', cos0=^ o cos(0 o — at)-hÇ' cos 0'.

et, en ajoutant les carrés de ces deux équations, on trouve (f? = 4- 2 <p o <p' cos (0 O — au — 0' ) 4- P” .

Les quantités <p' et 0' variant avec le temps, on voit que l’inclinaison <p de l’orbite lunaire sur le plan fixe n’est pas constante. Mais si l’on nomme « l’inclinaison de la même orbite sur le plan de l’écliptique mobile, on aura

cos i — cos cos <p‘ 4- sin ? sin <p‘ cos (0 — 0’) , ou bien, en négligeant les produits de quatre dimensions de i,

i* = — 3<p<p' cos (0 — 0’}

— (® sin 0 — <$' sin 0') 5 4- (<p cos 0 — $’ cos 0’) 1 — <p\

On voit que l’angle i se réduit à la constante <p 0 : ainsi, au degré d’approximation dont nous nous sommes contenté, le plan de l’écliptique et celui de l’orbite lunaire se déplacent simultanément, de façon que leur inclinaison mutuelle reste constante.

Formons à présent la dérivée de la longitude moyenne I. On a dl , dX It~ n + dî-

Si dans la valeur de écrite ci-dessus on remplace par p*+ <p' cos(0 D — al — 0')4-p' 5

et <p<p' cos (0 — 0') par

W cos (0 t - 01-0') + ?*,

on trouvera que les tenues en p'* se détruisent, et il viendra

a 1 — ir[~

Nous avons donc

dl

Tt =

il dl $ • •

Si la valeur de j ( était constante, la longitude moyenne de la Lune croîtrait proportionnellement au temps, et il n'y aurait aucune accélération dans le mouvement de cet astre. Or les équations

de

tlt

tla

dt

trouvées ci-dessus, montrent cjuc c et a sont des constantes, et il en est de même de n, qui est lie avec a par i’équation

/TTmT

où f désigne la constante de l'attraction. Les quantités et d„ sont aussi des constantes par définition, mais e, 2’ et 6' varient à cause des actions perturbatrices des autres planètes sur la Terre. La longitude moyenne de la Lune contiendra donc une partie non proportionnelle au temps, savoir :

" f 5 ? f eVl ~ g TT J>' «• ( ô - ~ *' ~ 0') dt '

(Considérons d'abord le second tenue : en effectuant l'intégration comme si <$' et 0' étaient des constantes, on le mettra sous la forme ^ p' sin (Ô 0 — al — 0'). C’est, comme on le voit, une quantité périodique, dont la période est sensiblement égale & la durée d une révolution du nœud de la Lune, mais dans laquelle le coefficient du sinus croit avec le temps : toutefois, comme au bout de vingt-cinq siècles ce coefficient n'atteint pas une minute, et qii’â une époque aussi éloignée une erreur d’une minute sur

la longitude de la Lune est sans importance, nous pouvons faire abstraction du terme dont il s’agit.

Pour évaluer l'autre terme — | ^ dl , nous y remplacerons e ' 1 par son développement suivant les puissances du temps; soit donc

ce terme deviendra

- HÜ! g' 1 j ? ÜÜÎ \ f 1 I llî g/ 1 .

an o 4 « 1 an

La première partie est proportionnelle au temps et se confond avec le moyen mouvement : on a donc, pour la portion de la longitude moyenne de laquelle résulte l’accélération du mouvement de la Lune, l’expression

Lorsqu’on remplace A et B par leurs valeurs numériques W, le facteur entre parenthèses devient 1 + 0,001 3 1 t,c t, pour I- — aô, il se réduit à 0.97. Ainsi le terme en 1 1 provenant de la variation de 6 a pour effet de diminuer des trois centièmes de sa valeur le coefficient de l’accélération relatif à l’époque des plus anciennes éclipses observées. Or ces éclipses paraissent exiger que ce coefficient soit, non pas diminué, mais au contraire à peu près doublé ; l’analyse précédente ne fournit donc pas, dans la longitude moyenne de la Lune, de terme proportionnel au cube du temps qui puisse modifier notablement le coefficient de l’accélération applicable aux anciennes éclipses et faire concorder celles-ci avec la théorie.

On a, d’après M. Le Verrier [Annales de iObserratoins, t IV, p. 10a). “ 3459.78 — 8,705 I — 0,0382 /* ;

il en résulte

e'* = 0,000 28137 — 0,00000 1 4 a 4 1 — 0.0000000037 9 1* , et, par suite,

A <= — 0,00000 1 4 a 4 , li = — 0.00000000379.

Il MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE

Observons que la conclusion aurait pu être toute différente, si les termes en ip’* ne s'étaient pas détruits dans la valeur de ^ (page la); il importe donc de chercher si cette dérivée ne contient pas de pareils termes, lorsqu'on pousse l’approximation plus loin.

C'est ce que nous allons faire dans la suite de ce travail.