DEUXIEME SECTION
Nous nous proposons, dans cette section, d’intégrer les équations différentielles du mouvement de la Lune, en conservant seulement dans la fonction perturbatrice, avec la partie non périodique, les termes d'arguments 0 — ff et a0 — iff. On a vu ci-dessus les motifs qui nous conduisent à traiter d’abord la question ainsi simplifiée, sauf à tenir compte ensuite des parties de la fonction R que nous laissons de côté en ce moment.
Les lettres M, m, m, a, a\ e , e\ n, ri, <p, 6 , 6', ■a, ■a', X, X’,
/, f,/, e conservant la signification qui leur a été attribuée dans la première section, posons de plus
stn- = y , a '
sm— =y;
appelons r et r' les rayons vecteurs menés du centre de la Terre aux centres de la Lune et du Soleil, et désignons par s le cosinus de l’angle compris entre ces deux rayons. La fonction perturbatrice relative au mouvement de la Lune sera
fm’( r ± ' )■
J V r y/r'-irr't+i*!
Si l'on développe ^pp======j suivant les puissances descendantes de r, cette expression deviendra
/"'(-?+?iQ 1 +SQ.+SQ.+^Q*+?Q.+**0'
Qi, Qt<— étant des polynômes entiers en s, dont voici les valeurs :
5 2 o 5 jÏ 3^ j ,
■6 ib ib
ifi S '
Mais la fonction perturbatrice n'entre dans les équations du problème que par ses dérivées partielles prises relativement aux éléments de la Lune; nous pouvons donc y supprimer le terme , qui ne dépend pas de ces éléments, et, en désignant par R la nouvelle fonction qui résulte de cette suppression, nous aurons
bien
R = /'»'(prQ l +p50, + paQ,H )
*p3Q l +£rQ î + £tQ,+
Si maintenant, à l'aide des formules du mouvement elliptique, on exprime à la manière ordinaire les diverses parties de R par des séries de cosinus d'angles multiples de l, ta, 0, F, ta', 0', les coefficients de ces cosinus étant des fonctions de a , e, y, a, e, y' développées elles-mêmes en séries suivant les puissances croissantes de c, y, e, y'. on aura formé ce qu’on appelle le développement de la fonction perturbatrice.
On négligera ici les parties de ce développement qui contiennent des puissances de y' supérieures à la seconde. Si l’on observe d’ailleurs qu’un terme dont l’argument renferme i0' a nécessairement dans son coefficient le facteur y' 1 ou le produit
10 MÉMOIRE SUR L'ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE de ce facteur par une puissance positive et paire de y', on voit que la partie R, de la fonction perturbatrice dont nous avons besoin dans cette section se présentera sous la forme
R, — »’*««* + V y n + X y' cos (6 — 8') ■+■ Y y n cos ( 20 — 20')] .
L, V, X, Y désignant des séries qui procèdent suivant les puis-
I A fl
sances de e, y, e,
Nous regarderons les petites quantités e, y, e r , comme étant du premier degré R*, et nous conviendrons d'indiquer par la notation (k) une quantité quelconque du degré k. Alors les valeurs de U, V, X, Y seront données par les formules suivantes :
Q fl* <1 9 à Q A , 3 7 J ij 3 , A 5 » 2
- 6 lî*-* e y “ 4 e y +i f e V + 76 e V'
!Ù x* — ~ ~ e* —— ie n -îîf'j’v 1 A5
io5 h >
■ce y __ c y +1 - e( y
. »Oü^. 2 310 A «O» « . a 30 a- 12 , 330 fl- A t
y - tï 8 cc - 5 -n^y +-Ts^y + ië^ e y
l35 fl* » 335 a* a * g45 a* .14 a5 a* , #i .%
5iaa' 64 a' 5ia a * aûôfl 71 ' '
i-V+K+K+gr 4 -
45 fl* , 37 t % , 37 rj %
+ T Jfi y “
l6 fl 3 * 3 7
-7 ce y
er
IOÔ -fi 335 fl* 5 . 33 5 fl* î
. aaâ o’ n
Al 1
■37 e râ*y + -7ir;r’ e
-+■ — T-riC
toi 3 i 5 * • . 3i5
■s . aoj5 o’ »
Te^ e y ~i6 e y +-64
ee +556
1 I3Ô fl 1 3 3 1135 fl 1 ri 3 .
fl' A|
— p'y — ri' e y +
"TiT F* e +1
SS+m-
I; C'est pour éviter U confusion que je me sers ici du mot degré, nu lieu du mol ordre , qui serait plus conforme à l'usage : ce dernier sera employé, en effet, dans une autre acception, cl nous dirons qu'une grandeur est de l'ordre «, quand elle sera comparable à y*.
DU MOUVEMENT DE LA Ll’NE. 17
