IH

correspond [la condition (87) étant d'ailleurs suppoc^ée remplie] à deux positions d'équilibre tiable OMj et OM2, également inclinées de part ei d'autre sur la verticale OZ. Au reste, ce cas particulier correspond â A >= U nous ramène, par conséquent, au pro-

aragraphes 11 et III. La condition est

sque l'on suppose

rotation initiale et le plan d'oscillation le plan méridien OBS, en admcitaiK aleur assez grande pour que l'inégalité

. 41« Considérons aetuelleno/ent Thypothèse (87'). Les deux positions d'équilibre du pendule sitiiées dans Tangle des. axes XX'yZZ' où se trouve le. point K, disparaissent; il ne reste plus <|U*une position d*éqoilibre stable OMgrfaisant un angle aigu ayeo la nadirale OZ, et une position d*équilibre instable^ OM4, faisant on angle aigu avée la zénithale OZ'. La position d'équilibre stable OM3 est dans Tangle X'OZ ou dans Tangle XOZ, selon que Ton a

M»(^pcosa — Cn > ou < 0,

ce qui dépend des signes de n et de eos a et de la valeur du rapport S- Dans les expériences de M. Sire, le tore recevait une vive

^rotation autour de son axe; n avait donc une valeur très consi* .dérable l'elativement à a>. Il en résulte nécessairement :

1* Que Ton se trouve alors dans le cas de l'inégalité (87'); qàCf par suite, le nombre des positions d'équilibre se réduit à deux, l'une d'équilibre stable OM5, au-dessous de rhorizontale XOX' ; l'autre d'équilibre instable OM4, au-dessus de XOX'. : 2^ Que, à raison de la valeur considérable du rapport^, l'exf)ression M(ù5p cos a — Gn a le nléme signe que son second terme, et, par suite, un signe contraire à celui de n. Donc, si n est positif, c'est-à-dire si la rotation initiale du tore est de gauche à droite par rapport à la partie AÇ de l'axe du tore qui fait un angle aigu avec OX, la position d'équilibre stable du pendule OA sera dans l'angle XOZ, ou fera aussi un angle aigu avec Taxe OX défini précédemment. Si, au contraire, n est négatif, ou si le tore tourne d'abord de droite à gauche autour de AÇ, l'équilibre stable aura lieu dans l'angle X'OZ.

3* Enfin, si la valeur absolue de n est incomparablement plus grande que celle de (o, ce qui a lieu lorsqu'on a imprimé au tore une rotation excessivement rapide, on voit facilement que l'équation en E ne peut être vérifiée (u n'étant toutefois pas ""supposé nul) que pour des valeurs de cos E très voisines de zéro. Donc, l'angle E qui détermine la position d'équilibre stable sera

trèS' voisin de | si n est positif, de — | si n est négatif.- La construction géométrique conduit au même résultat.

En résumé, le pendule tendra à ee mettre en équilibre relatif dans une position très voisine de l'horizontale^ en arrière ou en •aixml du plan méridien^ relativement au sens de la rotation du bàii autour de ST, suivant que la rotation initiale du tore se fera de gauche à droite ou de droite à gauche par rapport à l'axé A^ défini ci-^dessus.

Ces résultats sont entièrement conformes à ceux des expériences de M. G. Sire.

Nous avons observé que, dans ces expériences, le nombre des positions d*équilibre se réduisait généralement à deux, dont ui|e d'équilibre sUible. Cet habile expérimentateur a cependant rencontré le cas où, la vitesse n étant modérée et u ayant une valeur assez grande, il y a quatre positions d*équilibre. Voici, en effet, ce que nous lisons dans son Mémoire : c Toutefois, pour une certaine vitesse de rotation du tore, le parallélisme des axes (*) ne peut plus être obtenu, malgré raccéiération qu*on imprime au plateau (**). On voit bien le tore se rapprocher plus ou moins de Taxe CD (c'est notre axe ST), puis tout à coup il s'en écarte rapidement en obéissant i la force centrifuge qut alors prédomine (*^). > C*est vers la position d*équilibre stable OMt que le pendule se porte dans cette circonstance.

46« Revenons à la question du mouvement, ou à Tintégration de réquation (85). Nous avons immédiatement

-= ^ «•s.n'ç^-^cosç

MûxJp ces a — C/4

2 « sm ? -4- /t»

n Des axea AÇ et ST.

(**) C'est-à-dire lorsqu'on augmente la râleur de »

(**") Mémoire sur un polytrope, etc^ p. 54. — Le problème de l'équilibre et du mouTement du tore-pendule a été traité par M. Resal, avec sa supériorité habituelle, dans les Anhalei den mines (5">* série, t. XV, i8Ô9, p. 555)^ Il a considéré la masse de la chapo comme négligeable, et la vitesse rotatoire n comme très grande. La méthode suivie est d'ailleurs entièrement différente de la nôtre.

J^ étant uiie nouvelle constante, déterminée/ dans l'hypothèse où le pendule n'a aucune vitesse initiale dana le plan d'oscillation XOZ, par réquation

H» — H,— C ,. . îMjp ■ Mcoâpeosoi^at .

/,^ ~ i^^-— «'«irt'Co 5^ cos Ço •♦^ 2 5 «<in Ço

, H| Hi M|

Il est facile dMdehtiGer l'équation (88) avec la formule (81) du n* iO; il suffit, pour cela, de poser

H, \ n, .ir ■ . ;' .. ; '^: i

Mûï^p ces a — C/| «"A

ce qui fournit, pour les éléments »', r, à du pendule de comparaison, les valeurs

MttJp COS a — C/i

Mâ)p

La constante /, aura aussi, alors, évidemment la même Valeur dans les équations (81) et (88), si Ton suppose que lès valeurs de Ço et de Ç'o soient les mêmes de part et d*autre. La foiïciîôn Ç du temps, définie par les équations (81), (88), sera donc là même, et le problême du tore-pendule est ramené à celui du ^iX par lé théorème suivant : ^

Dans le pendule gyroscopique de M. Sire, Vaxe Okdu penàuie se meut par rapport à la verticale OZ, dans le plan d'oscillation XOZ, comme un pendule simple dont le plan d'oscillation tournerait autour d'un axe vertical situé dans son plan avec une vitesse, angulaire constante w', la longueur r du pendule simple,..

» u' el la dittanoé & du poàtl de lutpauion à l'axé dt- I étant dùnmtt par kiéquatiotu (89).

béorème donne la «olulion du mouvement du pendule. pique dans [e sent le plus général. On remarquera encore valeur de r, longueur du pendule de comparaison, n'ett, ue la longueur du pendule composé fornié par le tore el e autour de )'axe ab. Le signe de A dépendra de celui

donc négatir n Ton avait

n Uif eoB «E — C sin ïi

:1a ne donne lieu k aucune diflSculté, car nous savons remarque) que le signe négatif trouvé pour A indique int que l'on doit compter l'angle !; positivement en sens e, i partir de la verticale OZ, c'est-à-dire de OZ vers OX'. I, on doit observer que la valeur de A dépend de celle de -à-dire de Técart înilial du pendule OA par rapport h la !. La détermination du pendule de comparaison ne dépend is uniquement des données phyiiquet du tore-penduU, icore des conditions initiales de son mouvement. C'est te raison que, dans l'étude des positions d'équilibre, uous ouvé une valeur de A différente de celle que nous venons r.

>rmules du n' 40 serviront donc 1 déterminer le mouve~ : l'axe OA dans le plan d'oscillation. Lorsqu'on aura ainsi i; en fonction de t par les fonctions elliptiques, on tirera lité (84)

uadrature nouvelle Ter* eooiMilre f en li

. Ht, Le problème te simplifie notiblement dans plusieurs circonsiances.

I. Si la Tiiesse angulaire w du bâti est très faible, de façon que l'on puisse négliger les quantités de l'ordre du carré u*, l'équa-' lion (80) se réttuil i

Oélerminons denx (jansiaiiles F et E par les équations

F sin E =1 Cn».

FcME^Ugf, nous aurons

Désignons par l'angle i; — E, c'est-à-dire l'angle compris entre l'axe OA du pendule i l'époque I et une droite OP (6g. 16), inclinée sur la verticale OZ, dans le plan d'oscillation, d'un angle Ë compté positivement de OZ vers OX. Posant, en outre,

nous verrons que l'équation différenfi& t*'- tielle du mouvement prendra la forme;

1" 2P -«-(cos.-

et deviendra Féquation ordinaire du mouvement du pendule aimph, dans Inquelle serait l'angle que fait le peodule avec la verticale et la longueur r du pendule serait donnée par l'équatioa

Od a- d^aiiteû rs, par ée "q ui précède^

et si l'on néglige aussj les termes de Tordre de u' dans Téquation du n* 42 qui détermine les positions d*cquilibre du pendule gyroscopique, on reconnaît que Tangle E déGni par la première équation (90) est précisément celui qui répond à cet équilibre. La droite OF est dan$ Tangle XOZ ou dans Tangle X'OZ suivant que n est positif ou négatif. On a donc ce théorème : Lorsque la vitesse anguiaire du bâti 2 autour de l'axe ST est assez petite pour que ron puisse négliger les termes de Vordre de tù^^ l'axe OA du pendule' de M. Sire oscille dans le plan XOZ, de part et d* autre de sa position d'équilibre stable, suivant la même loi qu'un pendule simple dont la longueur serait donnée par l*iquation

II. Supposons maintenant qu'il existe, entre les données du problème, la relation

M«<î/B cos a — C/, =0,

ce< qui aura lieu si le rapport ^ des vitesses rotatoires du tore et du bâti vérifie Téquation

n ' M(^p cos a — G sin Ko a G

/ -. ■ . ■*.',.■' fc * • . . • • .

:Il 'est clair^que jceUe condition peut toujours être réalisée. La valeur- de A|: fournie par réquation (89), s'évanouit ; Taxe de rotation du plan d'oscillation du pendule de comparaison passe par le point de suspension de celui-ci. Nous retombons donc, cette fois encore, sur. le problème du mouvement d'un point

pesanl sur un cercle qui tourne unirormémenl autour d'un

ditméire veriical, problème ciudiA<dana les paragraphes II et 111

de la première partie.

III. Comme nous n'avons imposé à la chape d'autre condition que d'être symétrique par rapport A deux plans déterminés, rien ne tious empêche d'admettre que la tige OC, prolongée au deli du point O (Gg. 17), porte sur ee prolongement un contre-poids II moliile le long de la tige, de façon que l'on puisse déplacer le centre de gravité du pendule tout entier et l'amener même, si l'on veut, en coïn- '*■ "' cidence avec le point (*).

On aura alors

ce qui suppose la relation

ma ■+■ m,a, = 0, ou ai =■ a,

condition facile à réaliser dès que l'on connaît la masse de la chape, y compris celle du contre-poids H. Si l'on introduit dans l'équation (8S) la condition p = 0, elle devient

(ft* H,— H,— C , . Cl,w

(91) . . — = o'smïcosÇ -H— -cosÇ.

L'angle E qui détermine ta position d'équilibre relatif du pendule est alors défini par l'équation

[(H,— H,)osin E ■+■ Cn] cos E = 0,

n Ce cas a Hé laissé de tM, Daiurellemsiit, pu les eéomËtres qui ont co niMie^e la chtpe comme néEligeab!e.

' ■- yr^^ffT^^,

;ttre quatre valeurs dislincies : i' les valeurs E >= ^ et E ^=1 — ^, qui répondeni è l'hypothèse cos Ë •>» 0, et donnent deux positions d'équilibre 0M| et 0M( dirigées respectivement suivant OX et suivant OX' (Og. 18);

3* les deui valeurs déterminées par l'équation

(H.-HJ«

dant, si le second membre a une valeur numérique l'unité, à deux positions d'équilihre 0M| et OM^

nclinées sur l'horizontale, et faisant avec OX des ou obtus suivant que n a une valeur positive ou

s deux dernières positions d'équilibre existent, elles it è l'équilibre stable, les deux directions iiorizonrépondant à l'équilibre instable. Quand ces dernières es, l'une donne l'équilibre stable, l'autre l'équilibre

:|uation dilTérenticlle du mouvemtrnt (91) s'identifie on (77) du n* 37 si l'on pose

nclul que

e centre de gravité du pendule gijroscoptque est oint de suspension O, le mouvetnent de son axe OA celui d'un point non pesant, sur un cercle tournant '. sécante verticale avec une vitesse angulaire cou-

'je V

êianie o»', cette vitesse et le rapport ^ étant données par les équations

. L*ëquation (91) s'intégrerait d'ailleurs sans difficulté par les fonctions elliptiques, et conduirait à des formules senibla|>les à celles que nous avons obtenues dans les paragraphes II et III. IV. Si» à rhypothèse dont nous venons de développer les conséquences, on ajoutait cette condition, que la vitesse tù iût assez minime pour qu'on put négliger son carré, l'équation (91) se réduirait à la forme encore plus simple

dK' Cno

ou, en désignant par l l'angle compris entre l'axe OA du pendule et rhorizontale OX ,

—- = sm Ç.

dt H,

De là, on tire par l'intégration

:=..(cosç-cos?o).

c'est-à-dire que la droite OA oscillerait, par rapport à l'horizontale OX, comme oscille par rapport à la verticale un pendule simple dont la longueur r est donnée par la formule

49. Nous avons supposé le bâti 2, qui porte le pendule, animé d'une vitesse constante u autour de l'axe ST, et le pendule, avec son tore préalablement mis en rotation, abandonné sans

ise dans le plan d'oscitlatjoo XOZ. Maia diDS les expériences thosea ne se passent pas tout k fait ainsi. Le tore étant mie station et le pendule suspendu verlicalement è l'axe ab, on ime au bàii un mouvement *Ie rolelion, nécessairement léré, autour de ST, jusqu'à ce qu'il atteigne une certaine se que l'on regarde comme sensiblement constante.

n'y a d'ailleurs aucune difficulté à modiGer l'équation (85) içon 6 l'accommoder à ces conditions nouvelles. En effet,

le calcul du a' il , il n'y a rien Ji changera l'expression de T, celle de U. Celle de N est modifiée en ce que, k la compoi normale u^i} de l'accélération J, il faut joindre la compo- : tangentielle

:ée normalement au plan méridien OBS et dans le sens où le vement a lieu. Cette composante fait donc avec la direction un angle dont le cosinus est égal h

— sincsinC, irte qu'on a ici

uation (Si) subsiste sans modification ; l'équation (8S) qui rmine l'angle Ç devient, eu égard à la valeur de U + JV et s élimination de 9',

- tifl I «* cos a — — si

! équation compte seulement un terme de plus que l'équa- (85), mais elle est en réalité bien plus compliquée au point ue de l'intégration, à cause des quantités » et ^ qui sont itenant des Tonctions du temps, dont l'expression dépend de

la loi du mouvement autour de Taxe ST. A moins de choisir des hypothèses particulières, il parait diflicile de pousser plus avant la solution du problème.

Nous ferons, au sujet de la comparaison entre les résultats du calcul et ceux de rexpérience, dans le pendule de M. Sire, une remarque analogue à celle que nous avons proposée au sujet du Polytrope. Le calcul du mouvement oscillatoire du pendule, de part et d'autre d'une position d'équilibre stable, suppose le mouvement de rotation du bâti S parfaitement uniforme. Or, cette /condition ne peut être remplie, à moins de supposer une masse en quelque sorte infinie au béti. En pratique, la rotation du système mobile autour de Taxe ST est communiquée par la main agissant sur une manivelle; les réactions du pendule sur son axe de suspension ab et sur le bâti Z dépendent de l'angle 2; et varient d'un instant à l'autre, d'après la position du pendule. 11 en résulte forcément des alternatives d'accélération et de ralentissement dans la vitesse gi>, et, par suite, notre hypothèse (go constant) ne s'accorde pas pleinement avec la réalité.

Cette observation s'accorde, pour le fond, avec celles que M. Resal a présentées sur le même sujet dans son mémoire.

)ISlfilCB PARTIS.

inrfjice d'nac planète danéc d'un mourtment le rolatiM unihrme.

s XI.

vue de traiter diverses questions se rapts relatifs à la surface de la terre, consient les équations (2) et suivantes, § I, comparaison OXYZ es! lié à une planète, t de rotation uniforme autour d'un axe AB us ferons abstraction d'un mouvemeni de

et agissant par attraction sur les corps

I point quelconque, sera ta résultante de hle et de la réaction centrifuge due à la lélératton qu'elle détermine sera désignée u la pesanteur comme constante en gran- 'rapport à la planète, dans toute l'étendue imensions sont d'ailleurs supposées fort

époque. Nous savons qu'il n'en est pas ur la terre, et que lorsqu'on tient compte,

ici, des quantités de l'ordre du carré u* on de la planète, on ne peut négliger les t de direction de la force centrifuge dans ilus que celles de l'ailraction. Mais, sans sons pour lesquelles, parmi les diverses ices, nous avons choisi celle-là (*), nous ;, entendus comme étant rigoureusement que daos l'hypothèse formulée plus haut.

Ce point admis, cherchons la fonction U des forces absolues^ qui se réduisent ici à Tattraction de la planète sur le corps S. D'après ce qui a été ditci-dessuç, Tattraction sur un point de masse m est la résultante de la pesanteur mg et de la force centripète due à la rotation autour de AB ; U est donc la somme des fonctions correspondant à ces deux forces pour tous les points matériels du système S. La première est égale, comme on le voit sans peine, à

Mg^ cos ^.

M étant la masse de S, p le rayon mené du point à son centre de gravité G, pg Tangle que fait la direction OG avec celle de la pesanteur.

Quant à la seconde, pour un point m situé à la distance r de Taxe AB, le travail élémentaire de la force centripète dans le mouvement relatif a pour expression

— ma\dr = q r ^ — I »

donc la fonctimi de ces forces, pour le corps S tout entier, sera

\ tiir* = —

Hii étant le moment d'inertie du système S par rapport à AB, à rinstant considéré.

Mais il vaut mieux introduire ici le moment d'inertie H du corps par rapport à la parallèle NOS à Taxe de rotation AB de la planète, menée par le point 0. Or, d'après un théorème bien connu, si d désigne la perpendiculaire abaissée du point sur l'axe AB,p? l'angle compris entre cette droite et le rayon vecteur OG du centre de gravité^ ces deux moments d'inertie H et H^ sont liés par la relation

H, = H -H MfT — 2Mrlp cos^.

On a donc, potir la fonction des forces due à Tattraction de la planète sur le corps S,

D = Mgfp cos pg — i a*H -♦- M«V/> cos pF— i «'MeJ*.

évaluer N, observons que l'origine O du système de on OXYZ décrit, par suite de la rotation de la planéle, de rayon S autour de AB, avec une vitesse angulaire u. L'accélérai ion J a donc pour valeur u^ et sa direeelle de la perpendiculaire d; donc, en vertu de l'équa-

N ^ — HaVj» C08 fi,

n^lige le terme ^^— qui, étant constant, disparaîtra lifTéreniiations, on trouve enfin

U + N — M^p co» Hf — i H»',

lions dans l'équation (3) du n* 1 cette valeur de U + N, i'expression de T^ donnée par lo formule (4); observons n'est autre chose que la quantité G; que d'ailleurs G, lani que des positions actuelles des points du corps par NOS et nullemcnude leurs vitesses, ne saurait renvariables q' dans son expression, mais seulement les 1, e( nous trouveroiis-que l'équation (3)«se réduit à

)t, dans l'hypothèse que nous avons acceptée, l'équation linerail le mouvement relatifd'un corps ou d'un système S par rapport à la planète en rotation uniforme, agisittraction sur ce corps. S'il existait d'autres forces il faudrait naturellement ajouter dans l'expression de V correspondants. L'équation (92) renferme ce théorème

{, dans la supposition admise, appliquer les formules ts de Lagrange au mouvement apparent d'un corps a surface d'une planète en rotation uniforme, comme était en repos, pourvu 4" que l'on ajoute à la demi- T du corps le produit géométrique de l'axe instantané tème de comparaison par taxe d'imjntlsion relatif OQ

du corpi (') ; S* que l'on remplace, dam l'évaluation de la fonction de» fwcts, l'attraction de la planète par la petanteur,

4». Lorsque le centre de gravité G du système mobile S occupe une position invariable par rapport à la planète, on peut placer en ce point l'origine du système de comparaison OXYZ. On a donc p = 0, et l'équation (92) se réduit à celle-ci :

d j(Th- V) j(T-hV) ^ dt S9' iq

Tout ce qui va suivre repose sur l'application des équations (93) et (92), remarquables par leur simplicité.

MOUVEMENT APPARENT d'uN GYROSCOPE COMPLET DB FOUCrlULT.

S*. L'équation (93) conduit rapidement aux ^uations différentielles du mbuvement relatif d'un gyroscope de Foucault complet, par rapport b une planète toumani d'un mouvement uniforme aiftourd'un axe.

L'appareil n'est autre que le gyroscope composé d'un tore D et de deux anneaux Ë ei I, décrit au jj IV e( au § VI à propos du polytrope (fig. 3 et S). Le système de comparaison OXYZ (fig. 19).fixe relativement à la planète, a son origine au centre de gravitécommun des trois corps D, 1,£; l'axe OZ coïncide avec l'axe de rotation, irjg n, fixe également, de l'anneau

extérieur E; OX avec la projection, sur le plan XY, de la parallèle ON à l'axe^AB, menée ■

O Voir «u D» t

•otation de l'aslre s'effectue de ta droite it à ON (négativement). Pour abréger.

boréale. OV esi perpendiculaire à OX, nt In ligne boréale est inclinée Fur OX.

irs aux angles 6, <|<, f et aux moments néme signification qu'au n* S6, mais y, compris entre les axes principaux 0X| , le boréale ON. Dès lorx, il est clair que le U resteront les mêmes qu'au n* 36, ue, ON n'étant plus la direction propre rotation d'entrainement, mais son prohanger le signe de u dans les formules, eul identique,

''8in'fl+A,+''cos'fl-t-Aft"-t-C(5i'-»-^'cosS)*], +-(A-t-C|)^'siiiftcosT'i -I- Aiif'cosi'cosy, (-Aii'sinil.

: pour abréger

+ C, — fL,=h, .A, -t-A, = a',

liions (S5) qui subsistent, savoir

cos A cas if,

lin Xs'in9 — cosi cosSsin^,

»n Acos6 -I- cosxsii)âgin<f,

(o' -+- 6 sin û} j,'* -•- C (f ■ -4- ^' eos 6)'J ' + bun'4)if'sinj — /i^'cosAsinScosSsin^ [f •*■ ji' cos e) cos j-,J.

aleur de T -i- V dans l'équation (93) )t q égal à f, à ij/ et à 6, on en déduira

les équations différentielles du mouvement relatif du gyroseope, dans les différents cas considérés par MM. Quet, Resal, Lottner, Bour, etc., comme nous allons le faire voir.

6i. Probléue VIII. — Les trois corps D, I, E» pouvant se

mouvoir librement autour de leurs axes respectifs 0^, 0X| , OZ,

on fixe ce dernier dans la direction ON de la ligne boréale, on

imprime au tore une vitesse rotatoire n, positive ou négative,

autour de son axe OÇ maintenu en repos apparent^ puis on

abandonne l'appareil à lui-méfne. Déterminer le mouvement des

diverses pièces du gyroscope, ou les valeurs de 9, <{/, cp, en fonction

du temps.

Comme on a ici

il en résulte

cosr = 0, ces y, = sin tf, cos r^ = cos ô,

et la valeur de T-f- V s'écrit sous la forme

T + V == i [ae'« H- (a' -4- 6 sin'tf),^* -^ C(y' -*- ^' cos 6)«] — a [(a'-^ b sin'e)<f»'-*- C(f' -«- ^' cos 9) cos a],

ou sous celle-ci, plus commode dans le problème actuel,

T -♦- V = i [ad'' -♦- (o' -♦. 6 sin« e) (^' »)« ^ C (y' -«- ^^'^^ cos «)*]

(a' -♦- 6 sin* e -h C cos' ô).

On a donc, en vertu de Téquation (93), comme T ■+- V ne renferme explicitement ni 7, ni ^,

C — [p'-t- (^' — m) cos e] « 0,

I -- [(a'-t- 6 sin' ô) (<f»' — w) -^ C (f' h- f — « cos d) cos fl «= 0,

a (i|/' — 0)'6sindcos6 + C[/ + (•>' — ûi)co8dJ(if*' — »)sintf

— fci' (C — 6) sin BcosB = 0.

a deux premières donnent évideinmeni, /, et ^ étant des antes arbitraires,

. . . . . r'-*-{'t' — ")cog* — i,,

. . . {a' ■t-bsia't){t'-~a) + Ct,coii = t,.

I déduit de la seconde l'égalilé

(, — et, cos e

te valeur de <Ji' — (o, substituée dans la troisième des équa- (9S) avec celle de 7' + (i('' — <u) cos 6, ta transforme comme

d3' (tt — Cl, cos «)*

dt («' •+- b sin' tf

«« (C — 6) sin 8 cos • "- 0.

ntégrale de cette équation est évidemciltni

lignant une nouvelle constante ô déterminer.

9 conditions du problème fournissent, pour t = 0, les

e' = 0, ^' = 0, f' = fl, 8 = S,,

li donne pour les constantes li, l^, If, d'après les égalités (97) et (tOO), les expressions

I/i ^ w — «cos i,, i, = C/|Cos^ — u{a' ■*■ frsin'tj, /, = «'[a'+(26 — C)8in*l,].

peut aussi tirer de la troisième équation (9S) la valeur de

d"* d»' dt'^'dt

pour f a. 0, en y remplaçant ^\ f ', 6 par leurs valeurs initiales. On trouve, réductions faites,

Cftfd sin 6i

HM. Ce qui précède donne lieu déjà à quelques remarques intéressantes :

1* Si Ton veut que Taxe du tore reste en repos apparent par rapport à la planète, il faut que 6 soit constant, et pour cela, le second membre de Téquation (102) doit être nul. On est donc conduit à Tune ou à l'autre de ces deux conditions :

sin 69 = 0, fissO,

c*e8t-à-dire que Taxe du tore doit être dirigé parallèlement è Taxe de rotation de la planète, ou bien la vitesse initiale du tore doit être nulle. Si Tune de ces conditions est réalisée, il suit de réquation (98) que ^' sera constant, et par conséquent nul, puisque ^*^ = 0; Taxe 0( gardera donc une direction relative invariable ;

2* Les équations (100) et (102) diffèrent dé celles qui leur correspondent dans le mémoire de M. Lottner (*), tandis qu'elles s'accordent avec celles de M. Quet (**). Cela tient à ce que M. Quet admet la même hypothèse que nous, en ce qui concerne la pesanteur, tandis que M. Lottner regarde seulement comme constante Yattraction^ et pour lui, le centre de gravité devient le point d'application de la résultante des forces attractives. Il en résulte que, tandis que dans notre hypothèse le système mobile reste en repos apparent lorsque le tore n'a reçu aucune rotation initiale (n«=sO), dans le système d'idées de M. Lottner, il prendrait un mouvement déterminé.

Il va sans dire que, lorsqu'on néglige les termes de l'ordre de (ù\ les deux hypothèses conduisent à des résultats concordants. Mais

(*) Journal de Crelle, t LIV, im, pp. 497-226, S 3 (*•) Journal de Liouville, t. XVIII, i8fi3, ¥ secU, S 2.