faut maintenant intégrer l'équation (71). Multipliant

ibL.

•«^^Tï»; ""1^,

fmr-idli et désignant par 1^ une constante arbitraire, on tire de cette équation» en intégrant.

(81) . . -f- — /,4-«''8in«i;-i--5?co8Ç — :^-^8inç, dr r r

la constante /, étant déterminée, dans i*hypothèse C *» 0, par rëgalité

it=» — «"sm'Ço cosCo ■* smÇo.

On tire de Téquation (81)

ty Y/ /, ^ û,'« 8in« Ç -^ -^ cos ç sinC

Si Ton pose

tg^=t;,

d*où

2r i— t?' ^ «rfr

8inÇa>- -» C08Ç:=- ■» OÇ

cette équation deviendra

Le polynôme sous le radical est du quatrième degré en t?, Tintégrale est elliptique. On pourra donc exprimer t; et, par suite, ^ en fonction elliptique du temps t\ mais cette transformation exigerait une discussion assez compliquée des racines du polynôme en r, ce qui nous entraînerait un peu loin. Nous reroar-

querons teulemeni que l*éqoatioD (81) peut aussi se mettre sou» la forme

JT- ««'«(sia'ç— sin'Ço)-*- -^(cosÇ— cosÇ.) (sinÇ— sinÇ,),,.

ou, en posant ^ -^ 2^0 «=* 3e, sous celle-cî :

--^ »»8in e[» *C08f sin (Ç«-*-e)cos(Çt-*-0 «in (?; -4- €)

COS (Ço -♦-«)] .

Sous cette dernière forme, Téquation se prête bien au calcul des petites oscillations du pendule OM lorsqu'il est faiblement écarté d'une de ses positions d'équilibre stable» t étant alors une très petite quantité dont on peut négliger les puissances supérieures à la première.

Remarque. — Nous terminerons par une observation qui ne manque pas d'importance pour ce qui suivra. Nous avons compté l'angle ( positivement du c6té de la verticale OZ où se trouve l'axe ST de la rotation d'entraînement. Si nous avions compté cet angle positivement du côté opposé, en nous éloignant de l'axe ST, tous les termes de l'équation (77) eussent changé de signe, sauf le dernier; nous aurions donc trouvé le même résultat que si nous eussions changé A en — A et continué & compter l'angle ^ positivement dans le sens primitif. Réciproquement, nous conclurons donc de là que toute équation qui ne différerait de (77) que par le signe de A, se ramènerait à l'équation (77) en changeant le sens dans lequel on compte positivement les angles Ç (*).

(*} Le problème d'éqailibre du n* 38 a été traité par M. Schellbach {Neue Blemente der Meehanik) par des considérations élémentaires. Il a reconnu l'existence de quatre positions d'équilibre et les a môme calculées numériquement pour des données particulières; mais il n*a aperçu ni la construction géométrique qui met en éTidence l'existence de ces quatre positions et permet de les tracer si facilement, ni les conditions pour

SX.

PKHDt'LK GtROSCOPIQL't Dl M. SIM.

41. Probl^mi VII. — J/ouvejn«ftl du pmdult gynua^ique 4è M. Sire.

Cet appareil, qui est biep connu, consiste eo un pmduU composé d'un loreD(fif. 13} qui a son centre au point A, d'une cbape E qui porte l'axe de rotation A^ du lore, et d'une lige OC qui relie la cbape au milieu d'un aie borizonlal ab. Cet axe, autour duquel le pendule peut osciller librement, est emporté dans la relation d'un bàli £ tournant autour d'un axe vertical ST. Les directions Ai^, OA, ab sont perpendiculaires

l'une à l'autre. La cbape

£ n est assujettie qu it

la condition d'éire symétrique par rapport au plan vertical OAi;

(plan d'oMàllatiim du pendule), et au plan ofrA mené par l'axe de

suspension et le centre du lore; le centre de gravité A, de la

lige et de la chape est donc sur la droite OA, et les droites ab.

qu'elles euslenl loules les qoitre ou se rMnisenl i deui. H. Reiskj, tnittnl p]ui rteemment «e problème (PrograniDi der RealaehuU von Poien, 4877], a doDot seulemeol réqnition différeaiielle du maDTemenl. Pour le reste, il n'i hit qae reproduire li wlution de H. Scbfllbach. Les risullati que je donne ici ont été communiqués au Congrit de rÀuoetalimfrançaUt, k Reimi, en 1880. i>

OAy OF (celle-ci parallèle à AO sont les axes principaux dMnertie du pendule relatifs au point 0. Par une disposition mécanique convenable, le plan d*oscillation AOF fait avec le plan OBS, passant par le point et Taxe ST {plan méridien)^ un angle a que Ton 'peut faire varier dans chaque expérience.

La vitesse de rotation tù du bâti autour de ST étant supposée constante, et poHlive ou dé gauche à droite par rapport i BS^ le tore étant animé d*une rotation initiale n autour de son axé ACy il faut déterminer le mouvement relatif dû pendule par rapport au bèti tournant.

Soient Z'OZ la verticale du point vers le bas; X'OX Phorizontale menée dans le plan d^oscillation, OX étant pris dans un sens tel que Tangle BOX »» a, compté positivement de gauche à droite autour de 0Z\ soit compris entre 0* et 180*; OY normal à OXy OZ , donc» normal au plan d oscillation et coïncidant avec la direction 6a. OXYZ sera le système de comparaison.

Nommons à la distance OB du centre de suspension è Taxe ST ; 911, m^ les massés du tore et de la chape avec sa tige, a «= OA, ai'-a OAf les distances de leurs centres de gravité respectifs au point ; C et A les moments d*inertie axial et équatorial du tore ; Af, B|, C| ceux de la chape par rapport à ses axes principaux relatifs, au centre de gravité Af , axes respectivement parallèles à OY, OA, OF; H|, H2, H3 les moments dMnertie du pendule complet par rapport à ces derniers axes; i; Tangle ZOA du pendule avec la verticale OZ, compté positivement de OZ vers OX; (p Tangle qui mesure là rotation du tore relativement à la chape. Nous avons, par des formules connues,

Mp = ma -4- WiOi , (83) . . . - • ( H, = ma* -*- mio] -♦- A -+- A,,

H, =A ^ B|, Hj = ma' -f- wiiaî -*- C -♦- C, .

Rour appliquer nos équations fondamentales (n"' i et 2),

--Tj^I'*»'"' '\

observons que le mouvement du tore autour de son ceqtre de gravité A se compose d*une rotation 9' autour de Taxe principal A; et d*une rotation — Ç' autour d*un axe parallèle i OY, en sorte que la force vive relative du tore est

celle de la chape, qui n*a qu*une rotation — !;' autour de OY»

en sorte que pour le pendule entier Ton a

Le moment d*inertie du pendule total par rapport à OZ' a pour expression Hji cos* ( + H5 sin' (; donc

G=^[H,-*.(H,-H,)8in'ç].

Enfin, les quantités de mouvement dues à la rotation du pendule autour de OY (axe principal relatif au point 0) donnent un couple dont Taxe OY est normal à Taxe OZ' de la rotation d*entrainement, donc V est nul pour ces quantités de mouvenient: Il ne reste donc que la projection sur OZ' de Taxe d*impulsion dû à la rotation du tore autour de AÇ, axe dirigé suivant kl^^ ayant pour valeur Op', et faisant avec OZ' Tangle | — (; donc

V = CB/sinÇ.

La seule force motrice étant la pesanteur, on a

U = Mgp cos ç ;

enfin, Taccélération J de Torigine mobile est dirigée suivant OB et égale à tù^i; donc, d*après Téquation (3),

N = — MtfV^ ces « sin 2; ,

-«6de sorte que Fon a définitivement

T.. « i (H,r -♦- Cf '•) -h C«/ 8in ç -I- - [H. -♦- (Hi — H,) $ln' ç], U ^ N as Mp (9 C08 1; —.«V cos « sin Ç).

On appliquera Téquation (3), en prenant successivement 9 ==> <p, f » 2;, et Ton trouvera d'abord

Cjj^(f'-H«8liiç)««0,

ou, /| désignant une constante dont la valeur sera n + ca sin Zo^

(84) • ^-♦-«sinç=«/,.

Puis, pour q = (»

H, — — Cwjf' cos Ç — «'(H, — H4) sin ç cos Ç =■ — Mp (9 sin Ç -♦- wV cos a cos Ç),

ou, en remplaçant 9' par sa valeur tirée de (84) et divisant par Hj,

-- ca, cj» sin Ç cos Ç sin ç

d< Hj H,

Mm^P cos a — C/|

6) cos ç .

Telle est Téquation du second ordre qui définit Z ^n fonction du temps et fait connaître le mouvement d'oscillation du pendule dans le plan XOZ.

4t. La condition nécessaire et suffisante pour que le pendule reste en équilibre relatif, ^ étant supposé nul, c*est que le second membre de Téquation (85) se réduise à zéro h Tinstanl t = 0.

ôii pôiir Ç «« 2!o- ^^us aurons donc, en déaignant par B l'une des valeurs de (o P^^ fesquelles Féquilibre a lieu, et en ayant égard i>la valeur de /j»

H,— Ht ,' ^ Mgp . „ Mtt^pcosoc — Cn

-=— — =»*8inEeosE -p-siriE— 5—— 6)co9£»0i

H| Hi H|

Or, nous idenUBeronis celte équation avec l*équation (78)» si nous

posons

Hg — H, ^ * Mp f

— «» sssr « ", — - = — f

Muip cos a — Cn «"A «== —

ce qui nous conduira aux valeurs suivantes de u', r, À :

. /Hj — H, ^ H.

iàp

H| Ma^p cos a — Cn

Hj — Hf

}iap

Ainsi, les conditions d'équilibre du tore-pendule de M. Sire se ramènent à celles d'un point pesant sur un cercle tournant 'autour d'un axe vertical situé dans son plan, conditions que nous avons discutées aux n*' 38 et 39. Il suffit, par conséquent; d'appliquer ici les résultats de cette discussion, pour pouvoir énoncer les propriétés suivantes :

Que l'on prenne, dans le plan d'oscillation, un point K ayant pour coordonnées, par rapport à OX et OZ,

fX=t=^

A Mâxîpcosa — Cn 7" (H,-HJ«

ra" (H, — H, ««'

çTvff^^

par ce point K^ que Pon mène une droite telle que lei axes XOX'p ZOZ' interceptent eur elle une longueur PQ égale à Vunité^ Ja droite OR menée du point au milieu R de cette droite PQ sera une position d' équilibre de l'axe Ok du pendule gyroscopique. Ces positions seront au nombre de quatre si Von a Vi^égatitè

(87) . . (M»Jp C08« — Cil)' -f. (ÎÎ5[?Jî < (H, ~ H,)* •^ de deux seulement si l'on a, au contraire,

(87'). . (MwcTp C08«— Cn)» ^ (????)• > (H, — H,)L* .

On remarquera que la longueur r du pendule de comparaison^ telle qu*elle résulte de la deuxième des formules (86), est précisément égale à la longueur du pendule composé, formé dii tore et de la chape, autour de Taxe horizontal ab.

4S. Examinons d'abord le cas où llnégalité (87) est vérifiée. Des quatre positions d*équjlibre relatif du pendule, deux appartiennent à réquilibre stable, deux à Téquilibre instable, et leur distinction se fait d'après le signe de ^ dans Téquation (85), exactement comme au n* 39.

Dans les conditions ordinaires de construction de Tappareil,

on a

Hj — H, = ma* -♦- m,iiî h- C — A -♦- C, — B, > 0,

donc V est positif. Le signe de fx dépend du signe de Mgi>^p cos-^e — Cn.

1* Supposons que ce signe soit d*abord positif, ce qui revient à la condition

H Md^pCOSa

— ^^ Il I I • tf C

Cette condition peut toujours être réalisée, puisque rien ne limite les valeurs que peut atteindre le rapport ^; elle est toujours vérifiée, lorsque Ton a

Ditns ce «s, le point K eat dws l'tagle X0Z,(6g;i 15) ; Hj. i du)9 ee[ iDgle deux po«i- , lions d'équilibre, l'une d'équilibre instable OMf, . plus rapprochée de la verticale OZ, l'autre d'é> quiJibre stable OHn.plua rapprochée de OX. Dtos l'angle X'OZ compris entre la nadirale OZ et le prolongement de OX, il y a une deuxième position d'équilibre stable PM,; dans l'angle Z'OX, entre la zénithale OZ' et ''* *^ OX, il y a une deuxième

position d'équilibre instable OM4:

2* Supposons, en second lieu.

ou p < 0. Lu poini K passe dans l'angle X'OZ (fig. li); il y a dans cet angle deux positions d'équilibre, l'une instable OM,, l'autre subie DM,. L'angle XOZ renferme une deuxième position d'équilibre stable OMj, l'angle X'OZ' une deuxième position d'équilibre instable 0M(.

Au reste, ce second cas se ramènerait au premier en observant que les équations (86) donnent pour A une valeur négative, ce qui revient, comme on l'a vu, à compter l'angle Ç positivemen ( '*' en sens . contraire è partir de

OZ, c*es(-i-dire de OZ vers OX'. Les positions d'équilibré du

tlativement h la vn-iicale OZ, dm siiua- « qui Ht ropporieni au cas précédeni.

iiKermédiaire, celle où l'on aurait

.co«« — Cdo- U

1d pendule gyroscopique se réduii à

Bin B '^

luilibre verticales OM , ei OM4 (6);. 1 5), toutes deuxd'^uililtre instable.

La supposition

cosE =

"tfp