A+C, = A,; /, = 1ÎL

CcosR,

u(a' -\-C cos' io) " C eos »,

ire condition peut être réalisée, comme nous l'avons 1* 20, par une construction exceptionnelle de l'instrulODde le serait par une rotation convenable imprimée luation (100) se réduit alors k

o'»* C03* s '+ ; Co' sin' a = b' (a' — Csin'^),

d*où Ton (ire

cos 6. \/a dé

a [/a •+• C cos* ^0 V^cos* 9g — cos" a équation facile k intégrer par les fonctions elliptiques.

ftS. Développement de la solution dans le cas où l'on néglige les masses des anneaux.

La détermination du mouvement du gyroscope s'effectue encore par les fonctions elliptiques lorsque Ton néglige les masses des pièces 1 et E. On a alors évidemment, A^^G^, A^, C^ étapt regardés comme insensibles,

a=sA, 5==A, a'=:0.

L'équation (100) se réduit à

dé' A sin* e = [/, ^ «« (C — A) sin' tf] A sin* « — (/, — Cl^ cos éY ,

et les constantes /|, /j» h ^ux expressions suivantes :

!/i B= /l — w cos »o> /, = c/, cos Bq — A« sin' a,, /, = (2A — C)«'sin'«,.

Si nous posons

X = cos ,

réquation différentielle s'écrira

X désignant, pour abréger, le polynôme du quatrième degré en X qui figure au second membre de l'équation.

Il est nécessaire, pour la solution du problème, de connaître les racines de Téq nation X = 0. Admettons, comme c'est le cas pour tous les gyroscopes employés, que l'on ait

Le coefficient de x'dans le polynôme X, savoir A (C — A) &>*, tant positif, X prendra successivemeot tes signes que voici :

pour « = — oc , X > 0;

pour ir =- - 1, X ((, -V. Cl,y < 0;

pour x^coaSt, X = 0(puiBque «lest nul);

pour x= + 4, X= — (/, — C/,)'<0;

pour ait™-*-», X > y.

Il } a donc une racine réelle Xj entre — «et — i, une racine ielle a^=co8 % entre— 1 et -t- 1 ; une racine réelle ij entre -t- 1 t-t-ao , et comme Xa le même signe pourx= — 1 eta:= -*- 1, I quatrième racine réelle x, est aussi comprise entre — 1 et + 1 . >n pourra donc poser

X, = cos s,.

Il n'arrivera pas, d'ailleurs, que les racines x, et x^ soient gales, car on trouve, pour la dérivée X' du polyn6me X,

;) iX' = — 2A{C — A)m'i(1— X») — A/^-¥-a,(f, — a,i),

t pour x= Xft^^ cos 6q, eu égard aux valeurs de If , /j, l^,

:') X; 2ACno>wn'6,.

Si Xo était une racine double, X^ serait nul, ce qui ne peut mir lieu que pour n^O ou sin Sq := 0, Nous tombons alors ins l'un des cas où l'axe OÇ resie en équilibre relatif (n* 52, 1').

Ainsi les quatre racines de la fonction X sont réelles et iuéiles. Nous les supposerons actuellement connues. De plus, la mction X est positive lorsque x est compris entre Xg et X| , et svient négative lorsque x sort de ces limites ; or, comme x part ! la valeur Xq pour f = 0, que X doit demeurer positif puisque

premier membre de l'équation (104) est un carré, on voit déjà le X restera toujours compris enire Xg et x^ sans pouvoir ipasser ces deux valeurs extrêmes. L'angle 9 oscille donc indélimenl entre % ^' ^t> ^^ f|ui fait prévoir une oscillation périoque de l'axe Oç. Mais il faut délerminer le plus grand de ces

deux angles et, pour cela, recourir à Téquation (102), qui devient ici

A rinstant ^ = 0, 6' est nul; son signe, à partir de cet instant, sera donc celui de^, c'est-à-dire celui de n, puisque C, A, », sin Bq sont positifs. Donc

1° 5t n est positif ou si la rotation initiale du tore est de gauche à droite par rapport à la portion 0^ de son axe, 6' sera d'abord positif, l'angle 6 ira en croissant et cos en décroissant ; on aura donc

e, > 60, cos ô, < cos ôo, X, < Xo",

(105) X = A (C — A) w» (x — Xo) (x — X,) (x — Xj) (x — Xj).

Afltx __ i . / A i/y » V c —

— a?î) {xz —

■Xo)

— X,) (Xo —

Xti

2* Si n est négatif, on aura, au contraire, \

e, < %y cos «I >-cos ^0» ari > Xo.

Nous discuterons successivement ces deux hypothèses. |

54. Premier cas, n > 0. — L'angle varie entre 89, limite inférieure, et 6^, limite supérieure. Les racines de X, rangées par ordre de grandeur, sont

Xj<X, < Xo <X8, J^

et Ton a d'ailleurs

On tire de l'équation (lOi), en déterminant le signe par la '$

considération que, x étant d'abord décroissant, ^ doit être négatif, |

VX «^ ^ — ^V(x-x^)(x-'X^){x—x^)(X'-x^) ^

Posons, suivant la transformation de Richelot,

iifxa\ j.^-*-^ ^ (ars — x,)(Xo — xj j1

l'ii

Mais elle peut être simplifiée. En effet, en vertu de l'équal (105), si X; et XI désignent les valeurs de la dérivée X' p a: = »o et X — X, respectivement, on a

X; -= A (C — A) »' (x, — X,) (x„ — X,) (x, — x.) , X; =. A (C — A) «* {x, — x„} (X, — x.) (X, — X,), d'où

(x, — X)) (xt — X,) ^ x; {x, — X,) (x, — xj) x;'

Or, ta fonction X' est connue par l'équatiop (a), et sa val Xâ pour x = Xq par l'équation (a'); nous aurons donc, sans q soit besoin de connaître x^ et Xj,

M08I . / {^■-^.)fx.-^) i\/3r

^ ^ " ■ V (x, — x,)(x, — X.) 8in», V aACn»

D'ailleurs, on a la formule

eosa, — eos9 "sine, V 2ACm« l/fc8,(^()),|p[) '

équation qui exprime cos 6 en fonction du temps au moyen fonctions de Jacobi.

On peut aussi écrire l'équation (109) sous une autre Ton en partant de la relation connue

1 — snM en'i(K ^ w) 1 -•- sn K ~~ en* i (K — t*)' d'où l'on déduit

c"'(ipO

i -t- z 1 + sn (pi — K) en' (K — i p()

cn'(ip') aî(ipt)a'ap')

cn'{ip(-HK) »\i?t)6\(ipt)'

y / x; r fl,(ipOfl.(ipi) i'

flo *^ 2ACn«Lfl(ipI)*.(ip')J'

jler eoa 6 par des séries très converiplement que la formule connue

r z l'expression

es racines Xj et x, est facilitée par les

it calculé Xf Le terme en Xj manque donc

premier degré

en X se

réduit

scw,

«ion(H2),

2Cy,

A (C ~ A) «• (I, + X,) de trouver x^ et Xj lorsque x, sera

^ Si Ton suppose que la ^ pièce D soit un disque homogène extrêmement aplati, de façon que le carré du rapport de son épaisseur à son diamètre soit négligeable, on sait que Ton a alors, entre les moments d'inertie G et A, la relation

et il suit immédiatement des équations (103) que I2 est nul. L'équation X =» se réduit donc à

«'A' (1 — xy — (/, — C/|X)' == 0, ou

• [«A (i — x') -4- /, — C/,x] I «A (i — X*) — Z, +. CUx] = 0.

Elle se décompose donc en deux équations du second degré et sa résolution devient fort simple.