XIII
(^Suité). DÉTERMINATION DES ANGLES 4' ET 9 EN FONCTION DU TEMPS.
56* Pour exprimer Tangle ^ en fonction du temps, on part de réquation (98), qui se réduit, lorsqu'on néglige les masses des anneaux, à
^ li — C/| ces /j — C/|X '
^ """""" Asin*0 ""A(i— x^
d'où, par décomposition,
dt 2A 1 -♦- X 2A 1 — X
Intégrant, et désignant par ^q la valeur initiale de ^, on a
U -^ C/, r' dt U — C/, /^' dt 2A ./ i-+.x 2A ./ 1— X
Il suffit de poser dans celle formule, pour la première des deux intégrales,
et pour la seconde,
ksna,=
On obtiendra ainsi l'équation
I I, + Cl, F
'[ Up F -.-g'*" 2Ap FG,— GF, Ift'fal
Ci,
HAp it (F -^ G)* en a dn Q I » (u) 1 rs(«a) 1 -t- t sn (a -f K) sn (u + RH j *" 2 ■ [8(tt-i-o)' i -fcsn(o + K)sn(u+ K)J j l^-Clj FG,-GF. ja-C.)
2Ap A {F — G)' en «, dn a, f 9 («,) '^
+ 1 , [ «("-"■) 1 -.-AsnK + K)sn(«H-K) -| 1 "^â "[fliw+o,)!— /tsn(a, + K)sn(u + K)Ji*
Mais cette équation admet des réductions considérables.
.*9> Occupons-nous d'abord des arguments a et a^. Il suit évidemment des équations (113) et de la condition xg > x^ que et w' sont compris entre zéro et l'unité. De plus, on a
FF, = o' — o"
[X, — Xi) (Xt — X,) -
- 1.) (% — ar.)
ko-
■ I.) (Xa H- X, — JCi — X,)
)nCH2),
apprend que id est plus grand que tr'> là que
et inférieure à funicé.
F,*G,W1* F-.-GJ II-
, à cause des relations
.F,4-G,= 2o(l +1,), -F, — Gi = 2o'(1 + X,),
el w'* par leurs valeurs et substituant,
■(t.-x.)'(I +i.)M +x.) ;)' (i — on')' (x« — a-,) (x, — a;,)
t positifs, ô l'exception de 1 ■+- x^ qui est
cd'o < 0,
sn'a > i.
llDt de celui que l'on a trouvé plus liaul, compris entre 1 et -j; l'argument a est
donc de la forme <7i + K (*), a étant une constante réelle con) prise entre zéro et K et déterminée par la relation
doù
sn ((rt -+- K) = -7- = -r
dn (d, k') = A — r — :
a (1 -♦- Xo) — a (1 -♦- Xi)
Tirant ensuite la valeur de en a de Téquation (118) et détenu rainant le signe de en a par la relation connue
. k'isnja.k')
en (o-t -+- K) = : • — »
^ ^ dn ((7, k')
on obtiendra
2t (Xq — Xi) l/ — cro' (\ -^ X,) (1 -4- X»)
en a = zz=i=z=zz==: *
(F -♦- G) (1 — W) V/(xo — X,) (X5 — x.)
Enfin, on a
ou
dn o = 2l/acT'(1 -4-Xo)(i -+-X,) ^
le signe étant positif à cause de Téquation
Il vient donc
4t(Xo — X|)oo' l^ — (i "►-Xo)(l -t-X|)(l. -♦-X<)(l-t-X3)
cnadna= — -— — — -. •
(F-h G)*(l -ao ) |/(-r^ a,^j (^^^ ^^j
fil
n z désigne dans tout ce qui suit le symbole V--i.
avec les modiGoaliuns suivantes : l'équa
nous monlre que sn a, est positif ou né{
Les deux cas étant possibles, dous i linctioD. On a ensuite
(Fjcn'o, = 1 — sn'o, ■=% — -—-
iua-[xt--~x,y[i—x,
d'oà il suit que sn a, est compris, e 1 et -j, et qu'il faudra poser
suivant que F| — G, sera > ou < 0, entre zéro et K. On trouve ensuite
k'i sn h,, en a, = en {a,t ± K) = ^—j—, — j
an'ai = t — rsn'a, =• —
■^j^mi"^
)ositir il cause de la relation
îrvaot que l'on a, par ['expression de X,
éduclions Taites,
:/. FG|— GF. .|.*i
ft(F — G}'cn«,dna,~ 2»"'
rapportant au cas où l'on a F| — G, > 0, u cas de F, — Gj < 0, et *i désignant que li — C/i est positif ou négatiT.
lintenant & l'équation (117), et remarquons
; "^ 2Ap F — G Ap (F* — G*) '
. sci(pr
-snfl.
sn(a
= — 911 ai
= q^Sllff|t
(pi -
^e(pt -f
-wnsiT'-
Moyennant ces substitutions et eu égard aux équations (119) et (120), il viendra enfin
é ss= dfQ '^ al -^ ■ t
fl21) I ^ i ^8 (^0 l^j p (pt — gt) 1 -^ AsnfftsnpC i
J 2t I 65 (crt) 2 * Le (p« -^ <Ti) 1 — A sn ai sn /jf J
. xi ( Oi(<''iO 1 p (p^ — <^i*) 1 db A sn «r^t sn ptl
ZJ2 — { ût-^ 1. • -^— r I
2i ( B^((Ti%) 2 \J {pt ■+■ (r,t j i rp « sn jji sn /?< J
On peut aussi éliminer les fonctions sn par la relation
i e,(z) sn xb »
et Ton trouve, sous une autre forme,
M22) ) li?L(!!l ( + ii r^li!iZ-!i) gHgU0-^giMg|(p0 1)
^ 2i ( ô, ((7t) '^ "*" 2 * L^(|ot 4- (71 ) ' 5 ((7i) ô (f)/) — ô, (ff i) eMj \
On se souviendra que le signe supérieur se rapporte à Fi| — G| > 0, le signe inférieur à F| — G| < 0, et que l'on a
X = 4- i ou — i suivant que /j -♦- C/i est o 0, xi = -♦- 1 ou — 1 suivant que 1% — C/| est o 0.
eo. La détermination de 9 en fonction du temps résulte de réquation
(96) î»' -t- (./— .m)cos0 = /,,
d'où l'on tîre, par l'expression de ^' — w donnée au n** 56, df /g -4- C/| X If — Cil X
dt 2A 1 -♦- X 2A 1 — X
