TOUPIE DE FOUCAULT
80. On trouve, dans le Recueil des travaux scientifiques de L. Foucault (p. 410), une note concernant des expériences que ce savant aurait tentées, sur Tinfluence que la rotation terrestre exerce sur la position d'équilibre apparent d'une toupie, tournant sur sa pointe avec une grande vitesse. Nous avons essayé d'ap^ pliquer nos formules à ce problème, qui n'avait pas été étudié à notre connaissance, et nous avons été conduit à quelques résultats intéressants que nous allons exposer.
Problème XIII. — Un solide de révolution homogène (toupie), fixé par un point de son axe de figure à la surface d'une planète en rotation uniforme, a reçu une rotation initiale autour de cet axe, maintenu immobile relativement à ta planète. Vaxe étant rendu libre, déterminer son mouvement et ses positions d'équilibre apparent.
étant le point fixe (fig. 27), soit OXYZ le système de comparaison rectangulaire, lié à la planète et auquel nous rapportons
le mouvement de la toupie. Soit ON la ligne boréale, OX sa projection sur le plan XY; OP la zéntihaledu point 0; u l'angle aigu ZOP qu'elle forme avec OZ ; v l'angle QOX compris entre le plan XZ et le plan ZOP, compté positivement de OX vers OY jusqu'à 560*; X l'inclinaison NOX de la ligne boréale sur le plan XY; L»^— PON la latitude dti point O; OÇ l'axe de figure de la toupie ; / ^ OG la distance de son centre de gravité au poiiit fixe; 6, ^ et <p les angles d'Euler qui définissent la position du corps par rapport au système OXYZ, comme dans le problème VIII; enfin, C et A les moments d'inertie axial et équatortal de la toupie relatifs au point 0.
On a d'abord, entre les élé-
Fi|. 17. > 1 ■
ments constants, la relation
. sin L = Gos u sin A -4- sip u cor A cos v
Nous devons encore faire usage de l'équation (93), et nous trouvons, par une simple répédtion du calcul du n" 36,
T + V = i [A (e" ■«- t" sin' fl) -h C (5.' + ^.' cos »)']
— «f4»'cosî'-i-A^'sinecosy,-*-C(f'-»-f'cosS)cOByt)],
équation dans laquelle les angles y, y^ et 7, sont toujours donnés par les relations
l cos y = cos X cos I , (3S) . . .î cosri = 8in Asinfl — cos Aousisiii \ C09 r,= sin A cos ^ -f- cos 1 sin fl sin
D'autre part, on a évidemment ici
p = /, cos fj = — cos ÇOP,
is « -I- «in u sin s sin (f — v).
) divers résullals dans réquation (93) int 9 ■=> 7 1 9 >= <J', 9 ^ 9) mais il est ite substituiion qu'après avoir, défini
III tel qu'il est posé, l'axe de la toupie étant entièremeni libre autour de 1» pointe 0, on peut choisir arbitrairement le système de comparaison OXYZ, et il sera commode de diriger l'axe OZ suivant la ligne boréale OIS (fig. 38).
On aura donc
cosA = 0,
sur le plan XY ayant une direction suivant la projection de OP sur ce . On aura, par suite,
', «s-sin s, cos^i^^cose, .cost+ cos L sin ï sin ^ ,
■ a)' sin* s -t- C [f ' 4- {il-' — u) GOS * )* (
' — b) sin' t H Ui/t cos L sir
A — C)sÎDdGI
le, par rinU
mie dont la I initiale de I
noyen de la in aura eofi)
— w) sin'fl -I- {171)1 , rfs'
\ =3 M^/ (sin L sin s
Ces deux équations dîfférentii â et ^ en ronction du temps réussir & les intégrer, sauf unf rèœe des forces vives. Nous ment d'en déduire les lois du relativement à la position d'éq Cherchons, pour cela, les ci
sterit invariables, 4^ ei 4i étant d*aiileurt supposés nuls. Il icilc de voir qu'il suffit pour cela que l'on ait
a premièredes équations (171) nous donne
/rf+'\ Mgt cos 1 COS ■^a \dllt Asiod. '
nous laissons de cAté l'hypothèse cos L =3 0, qui ne se réa- [{u'au pôle, nous ne pouvons vérifier la deuxième condition équilibre de l'axe qu'en supposant cos tJ<o nul, ce qui nous
, l'axe 0}^ doit être dam le plan du méridien NOP. La ide équation (171) devient alors, pour e^e,, et iJ/ = i(iq, I ayant égard k la relation (170),
\ 1 — ] =:ConàDtt-i-Mgt{s\n LbIuSs — cosLcos A>siD fo).
( pouvons poser sin (Jifl ^ 1 , car la supposi^on '^o =• t ^® one à une position de 0£ de l'autre c6té de OZ par rapport *, et nous ramènerons ce cas au premier en prenant ^o °=f tribuant à % une valeur négative. La première condition lilibre nous donne alors l'équation
Cun sin i^ — Vigl cos (L + ^) 'm .0.
' mieux analyser les positions correspondantes de l'axe, ;nons par E l'angle que fait l'axe OÇ en équilibre, dans te du méridien, avec la zénithale OP, angle compté positive- , de OP vers le nord et négativement vers le sud. Nous s alors, en général,
li transforme l'équation d'équilibre comme il suit : Can cos (L + E) — Mgt sin E = 0,
d*où l'on lire
tgE«
— ISS —
C^n cos L Mgl + Con sin L
Cette équation définit deux directions opposées, dont Tune seulement appartient au problème, puisque Tautre, dirigée suivant son prolongenient, placerait le centre de gravité G au-dessous du point fixe, ce que nous ne supposons pas ici. Il y a donc une seule position d'équilibre apparent, et elle ne coïncide pas avec la verticale, à moins que Ton n'ait u = ou n = 0.
En nous bornant à considérer le cas du globe terrestre, dans lequel tt> a une valeur très petite, le terme Cxm sin L sera nécessairement très petit vis-à-vis de Mgl (à moins que / ne soit luimême très petit, ce qui n*est pas le cas dans lexpérience tentée par Foucault). L'angle E aura donc lui-même une très petite valeur, et la formule (172) pourra être remplacée, avec une approximation suffisante, par celle-ci :
Can cos L Mgl
On voit que Ë sera positif ou négatif suivant que n sera > ou < 0, et que, pour assurer à l'angle E une valeur aussi grande que possible, de façon qu'il devienne observable, on devra donner à la toupie une forme telle que n ait la plus grande valeur et lui imprimer une rotation n aussi rapide qu'on le pourra. Lç résultat de cette analyse est donc le suivant :
Lorsqu'une toupie tourne rapidement sur sa pointe, supposée fixe à la surface de la terre, son axe ne peut garder une direc* tion invariable par rapport à celle-ci que si cette direction est dans le plan du méridien, faisant un très petit angle avec la ' zénithale, vers le nord si la rotation de la toupie est de gauche a droite vue du dessus, et vers le sud si elle est de droite à gauche. V équation (173) détermine ce petit angle.
C'est bien là le résultat obtenu par Foucault, sauf peut-être pour le sens de l'inclinaison de l'axe qui, dans la note rappelée ci-dessus, est énoncé en termes assez ambigus. Il ne parait pas, au reste, que l'expérience ait été menée jusqu'au bout par
l'illustre physicien, car Foucault a laissé en blanc les chiffres que l'eipérience lui avait fournis (*).
SS. La position d'équilibre indiquée par l'équation (173) est une position d'équilibre itable, dans le sens où ce terme s'applique à une toupie libre, c'esl-i- dire que si la vitesse n a une valeur très grande et que l'axe soit très peu écarté de cette position d'équilibre, il ne s'en écartera jamais que très peu par un mouvement de précession et de niitalion. Mais ce résultat noua parait difficile h établir d'une manière rigoureuse sans effectuer riniégraiÎDn des équations ((71), laquelle sembl^ impraticable. Le seul résultat que nous ayons obtenu est l'intégrale.
A{6'*-^j."s\n't)-*-Ctiemt(il, + aeùst) + iMglcoiKOP = k,
h étant une constante à déterminer par tes données initiales.
S*. PROBLtoB XIV. — Nous supposerons maintenant que, par un procédé quelconque, m anujeltiue taxe O^de ta toupie à relier dans un plan déterminé par rapport à la planète, sans frottement, et qu'aprét lui avoir intr primé une rotation initiale autour de cet axe immobile, on fabimdonne à elle-même. Quel sera ton mouvement?
L'analogie de ce problème avec d'autres déji traités nous permettra d'abréger.
Il conviendra ici de prendre
''■'■ " pour plan XY (fig. 29) le plan
directeur, t'axe OZ faisant un angle aigu u avec la zénithale OP.
(') En analisant des erreurs consUDlca qui le produiuieal duns l'emploi du gyroiatpe colUmaleuT ds M. le commandant Fleuriais, M. Baule a touptonod rïDfluencB de la roulioD de la (erre snr cette toupie de Foucault, et, IrailaDt le problème par une mitbode nonvetle, a reirouid les rormoles ci-desiui. La correction qu'il en a déduite ui des ploa satisfaisantes. (Voir les Aanala de ta Sociétt iciaillfique de Bruxetlet, Vf' année, p. 177.)
ces ïOP ^ sin « sin (j. — p).
6) se réduisant &
t (A.f'* -+- Cp") — a (A*' sin 1 -I- Cf' ( lation (93) les deux équatioDS dif
f' — u coB A sin ^ c= /, , 1 (/i -«- u cos 1 sin -f) cos if = — tigt
lu lieu de iJj, l'angle ^ = ^i — \ ioni deviendront
f ' = /, -4- (U cos A cos ^ , Cu cos Ji (^, -4- mcos icosÇ)sinÇ + M(
reste en équilibre relatif, C étant suffit que Co ^oit une des valeurs de £ déterminé
{m) . . . tgE^
Can cos X + Mgl sin utosv
Ces valeurs sont au nombre de deux, correspont lions opposées. Pour trouver celle qui donne 1' on procède comme au n* 80, e'est4-dire que l'oi
i Mg/8in«siou = — FsinE,
' \ Cunco&x*»gtsinucosv = ~¥c
équations qui, F étant supposé positif, définiroi l'angle E. La dernière équation (174) s'inlégrei
A55= — C»*co8*A(co8S — cosW' + 2F[cos{i;— 1
t l'on verra immédiatement que l'on aura toujours
cos (ï — E) — ces (f, - E) > 0;
l'où il suit que Vangle E qui répond à l'équilibre stable est préisétnent celui que définissent les équations (176). Donc 1* si 'on a
Catt cos A + ligl sin u sin v <C 0,
e qui ne pourra avoir lieu, si v est plus petit que ^ , que pour les valeurs négatives et très considérables de n, on aura
cos E > 0,
a droite OE qui répond à l'équilibre stable Tera donc un angle igu avec OX, projection de la ligne boréale ON sur le plan Irrecleur. De plus, sin £ et sin v étant de signes contraires, )E sera de l'autre côté de OX par rapport à la projection le OP sur XY.
2° Si l'on a
Cart cos A -t- Kgl sin u cos v k> ,
!os E sera nul, la position d'équilibre stable OE sera normale au >lan ZON; elle sera du ciné OY ou du côté opposé, suivant que 'on aura
sin II < ou > 0.
3* Enfin, si Cwn cos > + Mgl sin m cos v est < 0, cos E est légatif, la direction d'équilibre stable Tait un angle obtus avec )K. En résumé,
La position d'équilibre st(^le de faxe de la toupie fait un ingle aigu ou obtus avec la projection de la ligne boréale sur le flan directeur, suivant que Cexpression
Can cos 1 ■*■ Jigl sin u cos v
si négative ou positive; et elle est toujours, par rapport à cette wojection, du coté opposé à celui où tombe la projection de la ■.énitkale OP sut* le plan directeur.
••. L'équatioD (1 7i) qui définit ;, mise sous la forn
Mgfsi
devient identique avee l'équation (77) si l'on pose
u = a cos A Y' — •
Cal, COS A + iigl sia u cos f g^tSAt sin u s'in v cos' \ (Cm(| cos a -1- fttgt sin w cos «)
Donc fe mouvement de l'axe de la roupie dans son pi leur est encore celui d'un pendule simple dont le plan lion tourne autour d'un axe vertical d'un mouvement i les éléments u, t, A de ce pendule (te comparaison étar par les relations (177).
Nous indiquerons encore quelques cas particulier! quables :
I. A la surface de la terre, u étant très petit, on nég l'équation différentielle du mouvement de l'axe Oi^ se
(178) . . .^==^[cos(î-E)-coB(ï„-E)],
et par suite, l'axe 0^ de la toupie oscillera, de part t de sa position d'équilibre stable OE, comme un pendu ayant pour longueur
la valeur de F, déduite des équations (176), est celle-c
(179) F = y [TSgl sin u sin v)' ■*■ (Can e»sX^^■ Mgl sin w CO!
n conserve les teunes de l'ordre de a*, mais que Ton : plan .directeur normal au plan du méridien, on ), « étant positif ou négatif suivant que OP et ON I même côté de OZ, ou non. De plus, u sera égal : les équations (177) se réduiront à
'Vl.
Co^t cos A 4- THgt sin (L — l)
ue l'on retombera dans le mouvement étudié aux 8 II ei m.
on suppose, de plus, que OZ se confonde avec ON, plan directeur soit parallèle au plan de l'équateur de
n différentielle en ^ se réduira à
à l'équation du mouvement d'un pendule simple dont ■serait donnée par la formule
e un théorème facile è énoncer.
tuporte d'observer que nos formules ne peuvent erre au cas où l'on aurait L — |, c'est-à-dire où la I toupie coïnciderait avec le p61e boréal de la planète. . en effet, que la direction et l'intensité de la réaction due à la rotation de l'astre seraient ici essenliellement 'un point à l'autre du solide en mouvement, et l'hyr laquelle est fondée l'équation (93) s'écarterait trop é.
liter le problème avec une rigueur complète dans ce
juelk que toit la vite$te tu, inète attire chaque point "e élail réunie e» un point >, supposition qui sera très :
imposée de couches concei et homogènes. L'axe OZ étt planète, reprenons l'équati
us aurons encore iet
comn:
-«j'sii
point O, situé sur l'axe i ; donc N^-O. Enfin, si i «nque de la toupie au cet facteur constant, on aura, p iction de la planète dévelf
iU — S^''"-
ésignant le potentiel du co ion C. On a donc U =- eW,
d 3T» 3' di dif' 1
l'on tire successivement, pt
^ff' +(♦■—)
-[A(#'-.)siii'«*C(,'
dt
JW
A(^' — ci)'sin4cog(
Mais, è cause de la symétrie dn mobile autour de son axe de figure, et de la symétrie supposée des couches de la planète autour de Taxe de rotation CO» W ne peut dépendre, ni de Fangle 9, ni de Tangle (f , mais seulement de 0. On a donc
et par suite, /« et /^ étant des constantes faciles à déterminer,
f -f- (^' — a) COS 6 = /, ,
A («f»' — «) sin* -+- C/, Gos 6 = /,.
La seconde de ces relations donne
/] — C/| cos B
A sin' ô
Valeur qui, substituée dans la troisième équation (181) avec la valeur de 9 h- ('^' — w) cos 9, conduit à Téqualion
rfe' (/, — C/, cos â)« C/,(/,— C/|Cos4)8in9 DW
A -; --r-7 sinecosa-f. --— = e — -^
dt A sm* e A sitr B d&
dont rintégrale est
rfô' (/, — C/, cos a)*
182) . . . A— + 1^-— i- i=eW+/3.
^ rf«* Asin*a
On arrive donc à une équation du premier ordre, qui s'intégrera par quadrature toutes les fois que Ton connaîtra, en fonction de l'angle 6, l'expression du potentiel W.
Les conséquences mécaniques de cette équation (182) sont, d'ailleurs, faciles à énoncer.
