SI
f . Un corps ou système de corps S est rapporlé à un système de comparaison mobile OXYZ. Le mouvement de ce système OXYZ se compose d'une translation égale à celle de l'origine el d'une rotation autour d'un axe inslanlané OS passant par ce point. Si S désigne l'accélération absolue de l'origine 0, nous ne ebangerons rien au mouvement relatif du corps S en attribuant à l'ensemble de ce corps et du système OXYZ, à chaque instant, une accélération égale et opposée à J, ce qui revient, d'après le principe de l'indépendance des mouvements, à appliquer à chaque point une force accélératrice égale et opposée ii J. Si donc X, Y, Z sont les composantes parallèles à OX, OY, OZ de la forée motrice qui agît sur le point m dont les coordonnées relatives sont x, y, z ; J„ J^, i, celles de l'accélération J, en remplaçant X, Y, Z parX — «iJ„ Y — niJ„,Z — mj^nous pourrons supposer l'origine fixe et le système OXYZ animé seulement de la rotation OS. Si les forces motrices admettent un potentiel U, et si nous désignons par N Pexpresston
(1) N = — 2m{a:J,-i-yJ, H-aJ.),
'étend è tous les points du système
- mJ,) dy ■*-(Z — tnJ.) dz]
- Sm (J.tli + S,dy ■*■ J.dz)
produisent le mouvement abiolu tions nouviilles où nous sommes du mouvement de translation du donc U -^ N.
dynamiques de Lagrange (*) sont louvement absolu, en sorte que si conque des variables réduites au définissent la position du corps S ; par T, la demi-force vive absolue nédiatement
I du mémoire de Bour. Prenant le des variables qui définissent la rera de (3) tontes les équations relatif de ce système. Mais il faut s commode des quantités N et T,.
nt la niasse totale du corps et X|, Ecntre de gravité G par rapport à
J^mz = H (x,J. -H y,l, + z,J.) ■
1 iér'viét loUle pir rapport
• !■!. .»« - I. / -f-jx im, t^ i, ■:• i.T*
y ri
Appelons p le rayon vecteur mené du point au centre de gravité G, et désignons par la notation a * 6 le produit géométrique ab cos ab de deux segments a et 6 de grandeurs et de jII^'^
directions déterminées; nous aurons • iii
(3) N=— Mj*o. nj
11 suit de là que N sera toujours nul 1"* si Torigine O est fixe i
ou n'a qu'un mouvement rectiligne et uniforme, puisque J sera 1
nul; S"" si Ion choisit pour Torigine le centre de*gravité du corps (p = 0) ; 5** si Taccélération J du point a une direction -r
constamment normale à la droite qui joint ce point au centre de gravité du corps.
Pour évaluer Tj» appelons &> la vitesse angulaire du système OXYZ autour de son axe instantané de rotation OS (*); p, 9, r les composantes de OS suivant OX, OY, OZ et v., t?^, v, celles de la vitesse relative d'un point quelconque m. On sait que les composantes de la vitesse totale du point m (abstraction faite, toujours, de la translation commune) sont
V, -^ qz — ry, v^ -^ rx — pz, v, -i- py — qx^
d'où l'on tire
T, = i Im [i^r, -^ qz —ryY -4-. {v^ ^ rx — pzf -^ {v, -^py-- qxY], ou (4) ïj = T H- G -♦- V,
en posant
T^i Zin(t;î-i- vî-4-i?;),
G == i im [(qz — ry)* h- (rx - pz)« -h {py — çx)*],
V = im \v^(qz — ry) h- v^(rx — pz) -t- v,(py — qx)].
{*) La droite OS est pro|ortionnelle à w et la rotation a lieu de gauche à droite pour l'observateur ayant les pieds en et la tète en S.
ûblemenl la demi-force vive du corps S dam non relatif par rapport au tyttème OXYZ; elle s'eiimédialemenL en fonciion des variables q et de leurs
ente la demi-force vive de S, due k h rotation d'cnautour de l'axe instantané OS. D'après un théorème
I, elle a pour expression le demi-produit du moment du corps S, à l'instant considéré, par rapport à l'nxe
DS, par le carré de la vitesse angulaire u, soit
G = iH«'.
rivons l'expression de V sous la Tonne
'" (y» — ï"») + ql.m(zo, — xu,) + rzm {xv, — f/ii,);
qui multiplient p, q, r sont les sommes des moments es de mouvement relatives du corps S par rapport obiles ; donc, si OQ représente l'axe dn couple résul- (|u8ntîtés de mouvement pour le. point 0, ou l'axe relatif du système S, nous aurons
V«pQ,-H9Q,-.-.-Q..
ie produit géométrique de l'axe imlanlané de rotation éme de comparaison par l'axe d'impulsion relatif du
avantage de ces interpréiaijons géoméiriques données lés N, T, G, V, qui figurent dans l'équaiion (2), ce que, dans chaque problème particulier, elles lireclement les expressions de ces quanliiés en fonc- 'iables les plus commodes pour le problème proposé, Dit besoin de passer par ces longues et fastidieuses
transformations de coordonnées qui alourdissent la marche du calcul.
Nous appliquerons d'abord cette tnéihode à un problème très simple, mais doiU la solution nous servira comme de type pour y ramener celle d'autres problèmes infiniment plus compliqués.
a. PnoBiÉME I. — Un anneau D est mobile autour d'un axe horizontal XX' pattant par ion centre de gravité ; l'axe XX' tourne lui-même, avec une vitesse angulaire constante <o, autour d'un axe vertical 2,011 , En un point M de la droite AOA' perpendiculaire à XOX' est fixée une masse additionnelle m. Déterminer i' l'inclinaison de l'anneau pour laquelle l'équilibre relatif aurait lieu ; 2* son mouvement dans ''' ' des conditions initiales données.
On suppose que XX',AA' et OC sont les axes principaux d'inertie de l'anneau relatifs à son centre de gravité et que A, B, C désignent les moments correspondants (Bg. 1) (*).
Prenons pour système de comparaison le système rectangulaire OXVZ tournant autour de OZ avec la vitesse u. Appelons^ ta distance OM, Ç l'angle Z'OA', compté positivement de OZ' vers OY, négniivement en sens contraire ; cet angle Ç suffisant pour
O Ce problème e
CDl87:i,etdaiil[ioi maUquti, 2* série,
lune génâraliution de eelui qui a éU posé an concouri d'igrégatiaD| s lions douDé deai autres aolutions (Nouvtlia Anttalei de malhé- ,SVI, 19IG, p. ism. Hioui ■ Irailé lussi cette quesUon.
[)neat),sera la variabteqi de l'équail est une rotalioi), avec la vitesse K. Nous avons donc immédiate-
C sint), V = oAï' cos XZ = 0,
-mJ'sin'ï, V = 0;
(C -t- mJ* — B) sint ■*■ \ a'B.
lul; de plus, le centre de gravité motrice se réduit au poids mg de
igâ oos !^.
le problème actuel.
du second ordre détermine ^ en t de considérer un cas particulier asse de l'anneau négligeable : la \
question devient celle du mouvement d'un point pesant M sur un cercle qui tourne autour de son diamètre vertical avec une vitesse angulaire constante^ ou du mouvement d'un pendule simple dont le plan d'oscillation A'OZ' tourne uniformément autour de la verticale de son point de suspension 0. Remplaçons, dans cette hypothèse, (ù par a>' et d par r; Téquation (7) se réduira à
(8) -—=«'' sin Ç ces i; sin Ç.
dt r
* Or, on voit tout de suite que Tégalité (7) rentre dans (8), si Ton pose
d'où l'on tire
^ V A -♦. w^* mr
valeurs toujours admissibles si C 4- m^^^B. Delà ce théorème: Les oscillations du plan de l'anneau qui passe par XX' et par le point M suivent exactement la même loi que celles d'un pendule simple, dont le plan d'oscillation tournerait autour de la verticale de suspension avec une vitesse constante^ la longueur r du pendule et la vitesse &>' du plan tournant étant données par les relations (9).
Il suffit donc de développer la solution du problème du pendule simple à plan tournant, ou d'intégrer Téquation (8). Mais avant cela, il est utile cTobserver que si la direction de la gravité venait à être renversée (OZ au lieu de OZ'), l'équation (8) ne subirait évidemment d'autre modification que le changement de signe de son dernier terme, ce qui revient à remplacer r par — r dans l'équation. Donc, dans la suite, nous serons autorisés à interprêter les valeurs négatives de r comme correspondant à un renversement dans la direction de la pesanteur.
A H- iii<î* " ' A -♦- nicf r' ^ '
(8) la coiidilioii d'équilibre relatif du point pesant M. Pour que C reste conslant, il faut et il suffit, ;' élartt supposé nul pour t<— 0, que -jf le soil aussi, ou que l'on nit à cet instant
nïco»!: — -sinï = 0.
Si donc E désigne l'angle que Fait le pendule OM en équilibre
de deux manières (fig 3) : 1* ou )ù E = ou 71, le pendule reste ien, en posant
lOJid'ons d'équilibre, symétriquei si la condition
■Vî .
re, l'équation (10) est impossible.
la théorie connue du régulateur
e le moyen de discerner les posiitres, mais cette disiinclion résul- «ion des formules du mouvement lous-occuper.
6« L^équation (8), multipliée par icHi et intégrée, donne» la valeur initiale de 2;' étant supposée nulle et celle de C désignée
par Ço»
Ç" ^ — «-* (COS'Ç — 008%,) -♦. ^ (COS Ç — COS Ço),
ou
(H). • ^««'«(COSÇ — COSÇo) (— ;5 — COSCt — COSÇl.
Posons, pour abréger.
/^=-^— COSÇo,
il viendra
dK'
(iV) . . . j^==«"{C08Ç — COSÇo)(/'— COSÇ).
dt
Il faut évidemment que cos ( — cos ^ et /" — cos Ç soient toujours de même signe, et comme le second facteur est d'abord égal à Z*-^ cos 2^0» il suit de là que cos ( — cos ^ -aura le signe de cette quantité au début du mouvement. De là, trois cas à discuter :
f — cosî:o>0, /■— cosÇo = 0, f — cosÇo<0, ou , eu égard à la valeur d^ f, «
cosÇ?<-;^. Il) cosÇo^ ^, ni) cosÇo>;£-.
rûî 9*tù Tfa) ▼
Lorsque Ton a
'■^Vï-
la première condition est toujours vérifiéie. Au contraire, si Ton a '
II) et III) reviennent, eu égard à l'équation
cos E, cos ç, — cos E, cos i:« > cos E.
- cos !;„ étant ici d'abord positif, le pendule se adirale OZ', dC : dt est négatif, donc
: oV (cos V — cos ç,} (f— cos ï).
ne peut changer que si C s'annule, ou si le s'évanouit, ce qui implique une nouvelle conlà, trois sous-liypolhèses à examiner, <i, 1,6) /•=!, I,c) f>i.
<Vl
uccessivemenl.
- uV(eos ç — cos ïo) (cos K, — cos K)
1 facile montre que l'angle ^ variera depuis Cg, qui est en même temps une limite supélimiié inférieure ; puis, depuis Ç| jusqu'à ^O' ^^ déâniment, i; restant toujours compris entre lie oscillera donc, en restant toujours du même e, de part et d'autre de la position d'équilibre
définie par l'équation (10), car on a, d'après l'expression de eos (i,
ces Ço -*- C08 Ç| C08 E =3
Le cosinus de Pécari qui répond à la position d'équilibre est donc la moyenne des cosinus des écarts qui répondant aux positions extrémesy de sorte que Tamplitude de rosciliatîon n'est pas la même de part et d'autre de cette position d'équilibre.
1, 6). /*= i. On a, dans ce cas»
--«--w'l/(cosÇ---cosÇo)(1— cosÇ)« — « sîn--i^2(co8Ç— cosÇo); dt 2
une intégration facile donne t en fonction de | et montre que / devient infini pour i; = 0. Le point mobile se rapproche indéfiniment de la verticale OZ' sans jamais l'atteindre.
I, c). Supposons maintenant /* > 1. Comme f — cos Ç ne peut plus devenir nul, il s'ensuit que Ç' ne peut s'annuler et par conséquent ne peut changer de signe, que si l'on a eos 2; == cos Çq- Donc ^ reste négatif, le pendule atteint la verticale OZ', la dépasse, et continue à se mouvoir dans le même sens jusqu'à ce que l'on ait Ç = — Çq- ^^^^^ valeur atteinte, Ç' s'annule, et comme X> ne peut continuer à décroître, sans quoi le radical deviendrait imaginaire, il faut que C' devienne positif. On a donc, à partir de cet instant,
-7- = caV(cos Ç — cos Ço) (f — cos Ç), dt
Ç varie de — Çq * -*- So> où Ç' s'annule de nouveau et change de signe et ainsi de suite. Le pendule oscille donc ici de part et d'autre de la position d'équilibre OZ', par des oscillations d'égale amplitude. •
Le cas que nous venons de discuter se présente nécessairement toutes les fois que l'on a
I') en celle-ci:
— «'•{cosï — cosï,}*,
', évidemmeat, que aï l'on pose
reste en repos relatif daas sa position s l^ montre, en effet, que nous sommes tions d'équilibre définies par l'équa-
sons enfin que l'on ait
<0 UU C09Ço> -^- j
i moindre que ^; il est compris entre [uation (10). D'après la relation (11'), ibord négatir, i; commencera donc par 1 aura
[cos ï — co&Kt){f— cos i;)-
itéra le même jusqu'à ce que ^ s'annule
cos ç == -^ — cos ç, = cos c.
Cl désignant l'angle dont le cosinus est f^ quantité qui est évidemment toujours supérieure à — \. Lorsque Ç aura atteint la valeur Çi, comme il ne peut continuer à croître, sans quoi le radical deviendrait imaginaire, il faudra que C' devienne négatif, le pendule se rapprochera de nouveau de la verticale jusqu'à ce que Ç soit égal à Ç,,» P"is s'en éloignera, et ainsi de suite.
L'angle Ç oscille donc entre sa valeur initiale Ço, limite inférieure, etJii, lif^ite supérieure, et cela périodiquement et indéfiniment en passant chaque fois par la position d'équilibre (10). On a encore la relation
cosE =
cos Ço -*- cos ç,
9. Il résulte encore de la discussion précédente que, lorsque les positions d'équilibrç de Téquation (10) existent, cest-àdire lorsque w' est plus grand que j/^, elles sont des positions d'équilibre stable [cas I, a) et III]. Au contraire, si Ton a
il n'y a que deux positions d'équilibre, Tune stable OZ', l'autre instable OZ (cas I, c).
Il n'est pas nécessaire de discuter l'équation (8) dans Thypothèse, indiquée plus haut, de r < 0. Il sui&t, en effet, de remplacer dans l'équation Ç par n — Ç, c'est-à-dire de compter l'angle Ç à partir de la zénithale OZ, pour ramener de nouveau l'équation (8) à la même forme que si r était positif. On retrouverait donc les mêmes cas que ci-dessus.
L'équation (8) marque aussi les positions du pendule pour lesquelles la vitesse atteint son maximun, car on doit avoir alors
dt:
j de l'équatiun (8),
ons coïncident donc avec celles dans lesquelles le :erait en repos apparent s'il n'avait aucune vitesse
>EllEnT AHALVTIQUE DE LA SOLUTION DU PROBLÉIIE.
a). Nous reprenons l'équation (12) sous la forme l/(cos K — cos ï,) (cos Cl — eos ï)
yi-x' dx
l/(a — 1) (a; + 1) (x — cos ç„) {x — cos ç,)
es du polyn6nie sons le radical sont, rangées par indeur croissante,
— 1 < cos Ço < cos C, < 1.
lire la diflerentielle elliptique à la forme canonique, a méthode de Riclielol (*), c'est-à-dire que nous pose-
■ de Sparre a exposé depuis 11 publicilion de ce mémoire, diDS les •ciiii tcientifiqae, LVIII, ISH, ane méibode beaucoup plus simple p«vr lioD. Mous ï renvoyons le leeieur.
rons, k étant le module, z une variable comprise entre — 1 et + 1 et variant dans le même sens que ^ et que x,
^ — ^ % /( » -^ ces Ço) (i — ces î;,) tg i Ç,
\^k y (1 — cosÇo){i -^cosÇi) tgiÇo
-^ ces Ç|) i — 2 sin ç, i —
ces Ki—X m /(l — ces Ç|) (1 X — COS?o"" ^ (i — COS Ço) (i
-♦- COS y i H- « sin t^ { -¥■ z
De là on tire, par des transformations faciles,
^ sinl(go — g,) sin i (Ço H- Ç|) '
sin (Çd -♦- ç,) -h s sin (Ç« — ç.)
(sin Ço -+- sin Ç,) -♦- z (sin ^ — sin Ç|)
ou, en posant pour abréger
sin ^
sma
. . p,. sm a cos a -H z sin ^ COS ^
sin a COS p H- z sin p cos a
On sait que, par cette transformation, la valeur de t^'dt prend la forme
»ar= .
1/2 (cos ç, — cos U) 1/(1 — r*) (i — AV) ou, après réduction au moyen de l'équation (U),
û? Sin a . dt =
l/(I 2«)(i— AV)
écriture,
m observant que, d'après la relation donne x — ■ cos ç^ et z = — 1 . It vient
it la notation de Jacobi, l'iniégrale
'(l î")(l AV)
— K) = — 8n(f(-HK),
1 valeur de z dans l'équation (1K) en
»s o — sin ^ cos p sn (pt -V- K)
>s p ^ sin p cos a sn (p ( + K)
I* que pour ^ = 0, qui donne
: -•- K) = sn K = 1 ,
omme cela devait être, tandis que, pour a
(5K) = — 1, cogÇ = cosï,;
lion périodique du temps t, la durée de « l'oscillation complète du pendule dans donnée par l'équation
— IT- OU encore
sin a
9. Uéquation (17) se met sous différentes formes. On a d'abord, à cause de Téquation (14),
CCS a — k ces 6 sn (pt -¥- K)
(19) . . . .co8Ç = — !- — ^^ -{.
ces |3 — A; cos a sn (pf ■+- K)
On a aussi, par Téquation (15),
(cos p — cos a) (sin a — z sîn (3)
sin a cos p + z sin p cos a (cos p -4- cos a) (sin a -♦- z sin p)
sin a cos p + z sin p cos a
donc
1 — cos Ç cos p — cos a 1 — kz
\ ■+- cos ? cos p H- cos a 1 -f- kz
ou, en transformant et mettant pour z sa valeur (1 6),
,^^, • ,Ç Ço , Ç, 1 -4- fc sn (pe -f- K)
(20) . . . ^'l-^^r^r i^ksn(,t^K)
Cette relation, commode pour le calcul numérique de Ç, fait voir en outre qu'à Tinstant où Ton a
ft = K, ou t = — »
P l'angle ^ vérifle Téquation
c'est-à-dire que te tangente de V angle i Ç est une moyenne géométrique entre les tangentes des angles i ÎJo et \Xs\.
n(lS)
n a cûa p
litution de la valeur de z en fooclion
i — sn [ft ■+■ K) cot |3 -- cot a sn (f ( -t- K)
luire les ronclions de Jacobi. D'après
i(fi() — l^ftcosae,(p()
rquer les relations suivantes :
l^^sn'
lée avec la relation ci-dessus
)s î sin £, 1 — z
s ïo ^ sin Çc 1 -•- ^
il les fonctions », H, B,, S„ de
on déduira facilement
(23) cos ç =
sin taB^
Si Ton considère le cas de f^= 1 comme un cas-limite relativement au précédent, on voit immédiatement que f^^^ 1 donne Çf = 0, A: e=s 1, et par suite
dz
/' dz
devient infini, ce qui montre bien que la position OZ' est une position asymptotique pour le pendule OM.
