IOOf4-2. IOOf.4-f-'' l6(lOo)* — 8. lOOf

4('oo)* ~" 4('oo)*

La proportion devient

elle donne

d'où l'on tire

4" 4(»oo) 9^ -"-4»—'

Cette valeur de t est celle que nous avons trouvée, dans le second exemple, en nous servant des simples formules linéaires; elle mène, par conséquent, à conclure que le point de rencontre des lignes nodales

situées de part et d'autre de l'angle 4 est en effet placé à o", o3o -h -^

des côtés auxquels elles se terminent.

Il est évident que ce résultat suppose la parfaite régularité de la pièce; car, si l'épaisseur moyenne de la petite surface carrée dont le

côté est t se trouvait plus ou moins grande que la quantité - -~ > les

s. 56 SOPHIE GBBMAIfr.

figures nodales cesseraient de se rencontrer dans le point que nous venons de fixer, et il y aurait distorsion dans la figure nodale.

En général, si rimperfection de la plaque se trouve dans le voisinage des points (|tii devraient npprirtenir aux lignes de repos, il ne peut manquer dVxisttT de Tirrégidarité dans la figurt^ nodale; si le défaut correspond à un point assez éloigné pour que ce défaut puisse être coni|>ensé par un autre égal dans un point placé en sens inverse par rap|K>rt à la ligne nodale, le défaut supposé ne nuira |)as toujours à la régularité de la figure.

Cette remarque explique comment il a pu arriver que des pièces où de certaines figures étaient à peu près régidières ont pourtant montré, dans d'autres cas de vibration, de fortes distorsions; pourquoi Tirrégularité n'existait pas sur toutes les plaques dans les figures analogues; et comment les distorsions se sont multipliées en raison de l'augmentation du nombre des lignes de repos.

I^ figure qui est l'objet de notre troisième exemple n*a été régulière sur aucune des dix pièces; mais la plaque W a montré des distorsions moins grandes que celles qui ont été observées sur plusieurs des plaques d'épaisseur constante.

Ijcs lignes qui devaient se croiser dans le voisinage de l'angle t s'écartaient au contraire l'une de l'autre; mais elles se terminaient, conune la théorie l'exige, à o^yOao de part et d autre du même angle. Les cotés des deux parallélogrammes situés aux deux angles a devaient

être de o",o3o -h -^ et de o^^oao; ib se sont trouvés l'un de ©■'lOag

et de o",o3o« Tautre de o"*,oa8 et de o"',oai.

Enfin le côté du carré voisin de l'angle 4 devait être de o", o3o -h - ^•

Vers le point où devait exister l'angle commun au carré dont nous parlons et au parallélogramme intérieur, la figure a montré une distorsion considérable : le parallélogramme s'est terminé par un angle arrondi; au delà de cet angle les points de repos ont dis|)aru, et l(*s lignes qui devaient se» terminer de part et d*autn* de l'angle 49 aux côtés 4» a, ont été remplacés par une ligne courbe, qui a atteint les mêmes côtés à o"*,oa8 de Pangle 4*

I-a même figure, ob«*n'ée sur une autre pièce qui devait être semblable à la plaque W, était tellement contournée, qu'il était dilBcile de

la reconnaître. Les plaques d'épaisseur constante m'ont fourni l'occasion d'observer des changements entièrement analogues : Tune d'entre elles a montré la singulière distorsion dont je viens de parler avec les seules différences que la théorie aurait pu prévoir.

J'ai constamment remarqué que, lorsqu'une simple ligne courbe remplaçait les deux lignes nodales qui devaient se terminer de part et d'autre d'un des angles de la surface , l'intervalle entre les extrémités de la ligne courbe et l'angle dont il s'agit était plus petit que lorsque la figure était régulière. Ainsi, dans le cas de vibration qui nous occupe, quand sur les plaques d'épaisseur constante on a observé une semblable irrégularité, la ligne courbe était terminée à o'",022, tandis que les lignes droites montraient l'intervalle de o™,oa5 exigé par la théorie. Or la différence

de o"',oaa à o™,o25 est égale à celle de o™,oa8 à o",o3o H que

nous avons notée par rapport à la plaque W.

Les exemples qui ont été choisis appartiennent tous au cas où Tépaisseur varie à la fois suivant deux directions; chacun d'eux renferme donc une épreuve double.

A l'égard des expériences faites sur les surfaces où l'épaisseur varie suivant une seule direction, des faits analogues ayant été mentionnés par rapport au cas linéaire, je me contenterai d'ajouter que les observations faites en dernier lieu ont été également favorables à la théorie.

Malgré les irrégularités et les distorsions dont j'ai fait mention, nous conclurons que la dernière des conditions relatives à la vérification de la théorie n'est pas moins remplie que les précédentes, c'est-à-dire que les différences entre les figures nodales observées comparativement sur les plaques d'épaisseur constante et sur les plaques d'épaisseur variable peuvent servir à faire reconnaître l'égale compensation qui s'établit, pendant le mouvement, entre les épaisseurs moyennes des différentes parties de la plaque d'épaisseur variable et l'étendue des mêmes parties.

Le choix du coefficient, déjà justifié par les faits relatifs aux surfaces d'épaisseur constante, se trouve donc encore appuyé par l'existence même des phénomènes qui appartiennent aux surfaces planes d'épaisseur variable; et l'observation des circonstances qui accompagnent les mêmes phénomènes prouve l'exactitude deâ mesures qu'en donne la théorie.

s. ^8 SOPHIi: r.ERMAlV.

La doclrine que je soumets au jugement de T Académie semble devoir se prêter à plusieurs applications importantes. En expliquant Tinfluence propre de l'épaisseur sur les faits des surfaces élastiques, elle permet d*apprécier séparément les changements dus, et aux diflerences relatives à cette dimension^ et aux diflerences qui appartiennent spécialement à I élasticité naturelle. Sous ce rapport elle ne sera peut-être pas moins utile a Fart des constructions qu'à celui de la fabrication des instruments.

1^ détermination des circonstances du mouvement des plaques d*épaiss<nir variable, assimilées aux plaques fictives d'épaisseur con» Mante, monti*e cpie les valeurs de l'ordonnée s, et par conséquent aussi celle de la flèche dans les plans élastiques, dépend des épaisseurn movennrs des parties comprises entre les points d'appui et celui qu*on veut considérer. Sans vouloir entrer dans une théorie qui n'est pas de mon ressort, je ferai ce|)endant observer qu'une conséquence des eflf'ts produits par les épaisseurs moyennes serait la possibilité, en établissant un surcn>lt d'épaisseur dans une partie seulement d'un plan élastique, d'augmenter, par rapport à tous b*s points qui coinposent ce plan, la résisUince dont il est susceptible. Ix^ formules feraient connaitn^ alors, pour tous les |K>ints qui appartiennent k ce plan, la quantité de cette augmentation. Le savant auteur qui a consacré si*s rechen hes aux questions de ce genre appréciera, mieux que je ne pourrais le faire, la justesse plus ou moins grande de cette obsen'ation.

Dans remploi des lames et des plaques élastiques envisagées comme corps sonores, on sera désormais en état de prévoir les difl'en^nces que devront amener les changements d'épaisM^ur.

Deux surfaces élastiques où la longueur des côtés et les épaisseurs sont proportionnelles donnent, il est vnii, les mêmes tons ; mais la qualité du son pi^ut y être fort diflcVente. Toutes conditions égales d'ailleurs, les sons seront d'autant plus beaux que les pièces auront à la fois plus d'étendue et plus d*êpaisseur. Si on se rappelle qu'il existe néc4vss;iirement des lignes de limite sur tous ces corps sonores, on conce%r;i la |K>ssibilité d'obtenir de la lame d'épaisseur variable un son plus plein c|ue lorstjue ré|Kiisseur de cette lame est constante. I^i qualité du son Siérait alors dt terminée par la partie de la lame prise du côté ou re|Misseur moyenne se* montrerait la plus grande; cette partie se trou-

THÉORIE DES SURFACES ÉLASTIQUES. S. Sg

verait comprise entre l'extrémité et la ligne de limite la plus voisine. Le son, beaucoup plus faible, de la partie restante ne pourrait avoir d'autre effet que de renforcer le premier.

La doctrine des épaisseurs moyennes explique au moins comment il est possible d'obtenir des sons purs dans les cas où les figures nodales accusent des inégalités d'épaisseur entre les différents points du corps sonore.

A la vérité, toute cette théorie n'est démontrée que par rapport aux suppositions qui servent de fondement à nos formules ; mais néanmoins la similitude des sons, qui ne cesse pas de se manifester malgré le défaut des pièces, donne lieu de penser que les compensations que nous avons établies sont indépendantes de la loi de distribution qui nous a servi à les reconnaître.

s. 60 SOPHIE GCRMAIIf .