X - cos cos

z ' - cos' cos ' »

onap= ijÇ = ^i par conséquent, la figure nodale est composée d'une seule ligne parallèle à deux des côtés de la plaque et de deux autres lignes perpendiculaires à la première.

Sur la plaque d'épaisseur constante, la distance des lignes parallèles entre elles devant être double de celle qui sépare de l'extrémité voisine chacune de ces lignes, elles se forment à o^^^osS des mêmes extrémités, c'est-à-dire à o"',o25 et 0^,075 de celle des extrémités qui a été prise pour origine.

Les proportions

5 3 4(^,ioo-^H^,^

' aoo

d'où l'on tire 35= - J^ ' » ^ ^ ^ ^ o™,o3o -4- || d'une part et s 40 — '^ ^ ^ __ 40 o^yOSo de Tautre, nous apprennent que, sur la plaque W, les deux lignes nodales parallèles entre elles doivent se former aux distances de o™,o3o h — 5 et de o",020 des côtés voisins.

La position de la ligne perpendiculaire à celles-ci est la même que dans le premier cas de vibration; par conséquent, elle doit être placée,

sur la plaque W, à o",o57 -h - et o"',o43 des côtés 4^2 et

2,1 de la même plaque.

Par un hasard heureux, cette figure, qui a présenté des distorsions considérables sur presque toutes mes plaques, a été moins irrégulicre sur la plaque W. La ligne du milieu était fort peu oblique ; la distance entre elle et le côté 4> 2 s'est trouvée de o™,o58 à l'extrémité et de o™,o57dans les points intérieurs. La ligne perpendiculaire à celle-ci et

voisine du côté 4>2 n'était qu'à o™,oa8, au lieu de o™,o3o -h -5-, mais

la distance entre la seconde ligne et le côté 2, i était très exactement de o'",o2o.

L'inspection d'un grand nombre de figures nodales m'a porté à croire que, dans toutes les pièces fabriquées de la même manière, l'épaisseur ou l'élasticité naturelle était proportionnellement trop forte

s. 34 SOPHIR GERMAIlf.

vers les points du milieu. Pour expliquer cette dernière cause d'irrégularité, il suffirait de supposer que la main de l'ouvrier ait pesé plus fortement au centre que dans le voisinage des angles; au reste, sur les trois lignes dont se compose notre figure, une seule s'est écartée de la |>osition que les formules lui assignent, et je puis assurer que, dans le nombre de mes plaques, plusieurs dont l'épaisseur était constante ont présenté des figures nodales moins conformes à la théorie.

Le troisième cas de vibration contenu dans les formules qui ont fourni les deux premiers exemples a lieu lorsqu'on prend à la fois y9 = a, 9 = a. I^ figure nodale correspondante est composée de quatre lignes nodales dont deux sont parallèles à chacun des côtés de la surface.

Sur la plaque d'épaisseur constante, ces lignes se coupent à o"'yOa5 de chacun des angles, et leurs parties intérieures, en deçà des points d'intersection, forment les côtés d'un espace carré égal en étendue aux quatre espaces pareillement carrés situés aux angles de la plaque.

la disposition des mêmes lignes sur la plaque W est déterminée d'avance par les formules relatives au second cas de vibration que nous venons dVxaminer. En effet, la seule différence qui ait lieu entre les figures nodales correspondant aux valeurs/» =: i^q = 2 dp - - a, 9 :i^ a est que la ligne perpendiculaire, dans le premier cas de vibration, aux

lignes parallèles entre elles, situées aux distances de o'^yoSo + -- et de

o"',oao des côtés voisins de chacune des mêmes lignes, est remplacée, dans le second cas, par deux autres lignes semblables aux premières et

également distantes des côtés voisins de o"',o'îo 4- , et de c)'",oao .

Ija figure se trouve ainsi composée de deux espaces carrés situés aux

angles 4 ^^ s <*t dont les côtés sont de o'^joSo -«- - etdeo*",oao:

tandis que deux parallélogrammes do o"',o3o 4- ^- sur o"*,oao oc*

cupi'nt, sur la même surface, les espaces compris entre les deux angles a et le point d'intersection des deux lignes nodales qui se terminent de part et d'autre des mêmes angles.

Afin de donner un exemple de l'emploi des formules qui appartiennent spécialement aux surfaces, nous allons chercher directement la |K>sition, sur la plaque W, du |>oint d*interM'ction des deux lignes nodales situét^s de |Kirt et d'autre de l'angle 4*

La première des formules (B) donne l'épaisseur moyenne de l'espace carré qui a un de ses angles commun avec l'angle m de la surface. Quelles que soient les valeurs particulières des épaisseurs m, w, m', iv et e, on parviendra donc à connaître la valeur t du côté de la petite surface carrée, et par conséquent aussi la position de celui des angles de cette surface qui est opposé à l'angle m, en faisant usage de la proportion suivante :