I .|B J 6 ta
TÏ8 m ‘ f sm -8 v ■
Mais ce terme donnerait des quantités du sixième ordre, et notre approximation a été bornée aux quantités du cinquième ordre dans le coefficient de l'équation séculaire du mouvement tlu nœud de la Lnne ( Vovcz la page 195 tlu 3 .*"' Volume de ma Théorie de la Lune).
Il y a un tenue semblable dans l’expression du mouvement du périgée, tld à la fonction
- . e cos. cv.
qui fait partie du second membre de l'équation (II)' 1 donnée à la page 377 de mon 1." Volume. Car, en posant - — p — ,= 1 et Ç>' = — — m*, il est rlnir que, au lieu de l'équation [ 5 a], l’on aura
iH’.qQ'
— — .eeos.ee.
.J R,dv = ■[^^m‘j”.ecos.c<’ ;
c’est-à-dire un tenne qui donnerait des quantités du sixième ordre , tandis que nous avons borné l’approximaliou à celles tlu ciru/uième tlans le calcul du coefficient tle l'équation séculaire relativement au mouvement tlu périgée ( Voyez l a page 39a du 3 .*“" Volume ).
Avant de terminer ce § j'ajouterai ici l'équation séculaire de l’anomalie , et celle tle l’argument tle latitude de la Lune. La première est
composée par la somme algébrique j'çdv dv , et la seconde par
la somme
MÉMOIRE SUR LIQUATION SÉCULAIRE ETC
h+f Sdv. Ainsi, en appliquant l’équation désignée par (k) dans le préambule de ce Mémoire, aux valeurs des intégrales joi/e,
j~ 5 t/t’ posées dans les pages 485 et 486 du premier Volume de mon ouvrage, l'on aura
(k") J" Çdi>-i-J’adv =
ai . 8aD , 6o35i . i8i6a33 .
— m -h —— m‘- 1 — ni*- 1 — m ■
o oa
JS (T*
j Jd>('’*-E'*) ;
1^*1 Odv ss
î m , + r i»' + -= r i* , + iVJ m-
* ^ i-Lll 24^22 m 3 l \ j , /*,(,>•£»*)
Les première tenues — m et -ni de ces équations sont ceux trouvés par Lapi.ace en 1787 (*). Plus tard (en 1802) il a reconnu
(') Voyez la page 957 du Volume de l'Académie de> Sciences de Paris ponr l'année 17HI*.
PAR JEAN PLANA
que les quantités du 3.'*“' et du 4- 1 *”' ordre augmentaient considérablement l'équation séculaire du périgée , sans reconnaître, en même temps , que les quantités du même ordre modifient aussi, sensiblement, l'équation séculaire du moyen mouvement (Lisez la page 337 du 3.““' Volume de la Mécanique Céleste).
/ Il
Çdv (fans les équations [a5] et [ 46 ] ] , née des termes périodiques de tu et int multipliés par , est étrangère à l’équation séculaire du moyen mouvement de la Lune.
Pour démontrer cette proposition , il est indispensable de remonter
Çdv , afin de faire concevoir, que les
expressions, soit de Su, soit de Snt , obtenues jusqu’aux quantités d’un ordre déterminé, ne doivent pas être substituées dans les intégrales de la forme
A fdv . S u .t' 1 sin. (kv-+- (i — gr') ;
A'Jdv.Snt.t' , cos.(kv -*-$ — gr’) ,
qui entrent dans les équations différentielles mêmes qui ont été intégrées. Pour avoir égard dans l’intégration, non seulement à la variabilité séculaire, inhérente aux élémens c’ et r' de l’orbite de la Terre, mais aussi aux termes périodiques multipliés par les coefficicns différentiels de ces mêmes élémens, on doit faire Su= o, Snt = o dans les fonctions qu’on sait ne pouvoir donner que des quantités de l’ordre subséquent.
Transportons nous au commencement de ce Mémoire , et examinons de plus près la valeur de x déterminée par l’équation
(A) x=Bf'dv.t'>sm.(kv- i .p—gz') ,
{a MÉMOIRE SUR (.'ÉQUATION SÉCULAIRE ETC.
lorsqu’on y fait ,
î''cos.£r' = Afcos. (pv-i-q)-t- Af'cos. (p' v-t-q')-t-clc. ;
e' f sin.gr' = M s\n.(pv-+-q)-t- M' sin. (p'u-f-q')-*- etc. ,
après avoir calculé séparément , à l'aide de nos trois formules [5] , [y] , et (a) la partie séculaire née des termes multipliés par A v , que l’on voit dans l'équation [a].
Sous une forme concise, nous écrirons
l t' 1 cos.gr' Afcos. (pv -*-o) ,
f e't sin. gr' = I.- Msin.(pv-hq ) ; ■ ce qui transforme la valeur précédente en x en celle-ci;
x = sj'tiv.ï. M sin. ( A: v — |— j3 — pv — q) ,
et doime , en exécutant l’intégration indiquée ;
(A") ar = — B-2- — -eos .(kv-t-fl — pv — q) .
Cette formule exige, en général, la connaissance des eoefficiens M, M', M", etc.; p, p\ p" , etc. Mais, dans le cas particulier, où tous les rocfliciens p , p', p", etc. sont très-petits en comparaison du coefficient désigné par k , on peut remplacer
par
Ml
TV
-etc.) i
et alors la valeur précédente de x peut, d'abord , être écrite ainsi ;
— ^ jcos. (Ae-*-(3)- ï- Afcos- (/»e-t-^)-t-sm. (te Afsin. (pv-*-q)[
fl
— ^ jcos. (Are - 4 - p )T p A/cos. (y>e-+-q)-t- sin. (Ae-t-j3)-E^ A/sin.(/>e- 4 -q)j
— p jcos. (A: e -+- |3 ) • 1p‘M cos. (pv -t-q) sin. (Are -t-/3) • 2-p‘M sin. (pv -+- q ) [
— etc.
PAR JEAN PLANA .{'1
Or, il est clair, que la première ligne du second membre de cettr équation est équivalente au terme
— £.{'*cos.(*e-H(3 — gr') :
donc, en négligeant les termes multipliés par p , p‘, etc. qui sont, en réalité , très-petits comparativement au premier terme , on peut réduire la valeur de .r à
( A '") x= — j.t''coa.(kv-t-^ — gx’) ;
c'est-à-dire à la valeur que l’on obtient immédiatement, en intégrant le second membre de l’équation (A) , comme si les élémens i ' et r' étaient des quantités tout-à-fait constantes. De sorte que, pour avoir égard à leur variabilité séculaire , il suffit de calculer les termes périodiques avec les valeurs variables de ces memes élémens. C’est sur ce principe, qui facilite singulièrement les intégrations , qu’est fondé le développement de tous les coefficiens qui affectent les termes périodiques appartenans aux trois perturbations 3s, 3«, 3 nt des coordonnées elliptiques de la Lune. Mais , si on demande en outre , que les intégrations soient conduites de manière à pouvoir tenir compte des coefficiens différentiels des élémens s’ et r’, il suffira d’observer, que la série précédente revient à dire que l’on a ;
(A”) jc — — j «'«cos.(Av>-t-|S — gx')
B \ — • «v (/.[«'* sin.g-T'] ^ d .[ t ‘« c os.gr'] (
dv
rf'.IV'cos.gr'f — 1 — j — 1 -+• sir a v
B\ ,, O, rf'.rt'»cos.^r'] . .. d*.[t'«sin.gT']f
-f-p |cos. (*»-<- J3).- l - g^ . « - J -t-sm.(*u^-p).
■ etc. ;
dv'
ce qui offre le moyen d’exprimer indéfiniment la valeur de x par les
. • . d,' d'd dx ' d'd
coefficiens différentiels -y- , -r-r , etc. : -j — , — p- r , etcdv dv d v> dv
44 MÉMOIRE SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE ETC
L'uquation différentielle du second ordre qui détermine Su, peut être intégrée d’une manière analogue, après l avoir préparée de manière que les fonctions inconnues, de la forme
J'dc.Su. F(v) , J'dv Sri/ ,f(v) ,
ne puissent produire aucun terme de l’ordre auquel on veut que l'approximation soit poussée. Alors, la question est réduite à intégrer une équation de la forme ;
■i‘.Su =
ff.t' , cos.(kv-+-lï—gT') — Bj'dt’.t' t sin.(kv-t-p — gr') , pour chaque terme périodique <juc l’on veut considérer.
Ici, i’=i— -/n‘, et le terme que je laisse affecté du signe intégral, est celui né du développement de la fonction - 11 » j* ,dv .
En vertu des deux équations (A'), cette équation est équivalente à celle-ci ;
