I -f* LL W

— — - pour la masse de Jupiter;

! pour la masse de f 'e'nus ;

4 oi 83 g '

36803 3" I K>ur * a masse 8e Mars; les équations posées clans les pages 596 et 597 donneront cj ( é '— E'‘)ndt =

cJ(^-E'>)nit = -( T ^)‘c'.o'',6 q9 5 = -( T Lj‘ 0 '' )0 3 l 58 3 ;

d’où l’on tire

f< Jv -

— ( 7^) j « « ", 5 1 1 57 1", 7028 . p ,'— 2*, 1 237 . fi* -s- 9", 488 . p r

En calculant les anciennes éclipses de Lune ou de Soleil, à l’aide de la formule (k') t on obtient un accord fort satisfaisant entre la théorie et l’observation. L’éclipse de Lune observée à Babylone le 19 mars de l’année 720 avant notre ère est représentée avec une différence moindre de deux minutes L’éclipse de Soleil observée par Théon à

Alexandrie le 16 juin de l’année 364 a'ant notre ère est représentée avec une différence d’une minute et a 5 secondes. Les deux éclipses de Soleil

( a ) Voyez la Noie à ta in de ce Mémoire , ou j’ai doDoé l'équation séculaire pour on temps indéfini en termes périodique».

J MEMOIRE .Sun l.’ÉQUATIOK SÉCULAIRE ETC.

observées près du ('aire lu 12 décembre de l’année 977 et le 8 juin de l'année 9-8 , après notre ère , sont représentées avec une différence moindre de \ ’ ( 3 ’. 4 °")-

Ces éclipses étant arrivées fort près des apsides de la Lune , il serait facile de diminuer cette différence en faisant varier l'anomalie île la Lune d’environ /\ 11 Mais nous n’insistons pas sur les comparaisons de ce genre, pareeque la théorie a maintenant une telle certitude qu'il devient inutile d’établir des comparaisons avec des observations qui ne sont jais à l’abri de Inulc objection sur le degré de leur exactitude.

Sur le coefficient 1 i ,f , 5 ii 5 j que je trouve ici après des calculs théoriques dont l’exécution est très-difficile , je dois faire une remarque propre à justifier une telle difficulté ; autrement on pourrait objecter que le coefficient 1 1", i 35 , publié par La place le 19 novembre de l’année 1787, en est fort approchant quoique trouvé d’après un calcul sans comparaison plus simple. Mais en examinant de près la question on verra , que La place n'a jamais calculé le seront! terme de l’équation séculaire du moyen mouvement de la Lune, ni en 1787, ni en 1802, époque de la publication du 3 .*“' Volume île la Mécanique Céleste. Il avait borné la

recherche au premier terme

rfe(r M — E'‘) de celle éipiation.

Sans une. altération qu'il faisait subir par son calcul au second facteur, il aurait trouvé un coefficient inférieur à 10 ", 3 , comme à la page 273 du l.iim- Volume de la Mécanique Céleste. Le contraste entre les quantités positives et les quantités négatives au de-là du premier terme est la cause radicale qui augmente la difficulté de ce développement.

Lagrasc.e en 1792 a aussi borné l’approximation au seul premier terme (Voyez la page 296 du Volume de l’Académie de Berlin pour les années 1 792-93 ).

Il y a un autre résultat sur lequel je dois fixer d’avance l'attention du Lecteur de ce Mémoire. En considérant , séparément , la partie de l’équation séculaire du moyen mouvement de la Lune, «pii, par une combinaison particulière , naît , en vertu des intégrations , des termes périodiques multipliés par le coefficient différentiel de la variation sriu-

lairc de l’excentricité de l'orbite «le la Terre, on obtiendrait une «pianlilé, qui, par sa forme, paraît devoir être une partir intégrante de cette même éipiation. Mais, en examinant «le plus près l’origine «le cette partie,

PAR JEAN PI.ANA

j'ai reconnu, que son addition avec la partie primitive est inadmissible. On verra, que les termes du 4- 11 "' et du 5.'*"* ordre dérivés de celte source sont;

. i JP * » ^9 i » 7-> , .

I 36q63 . aaàq3 , , acide . , G7Ô , , U

/ 3Ç- m s - mV + — m’y ■+■ -4-r '» b' \

6< 138 11a ' tij

et en calculant les suivons, on réduirait le coefficient de . l’équation séculaire à un tel degré de petitesse qu’il serait incompatible avec les observations , soit anciennes, soit modernes. Toutefois, indéiiendamnient de (•cite considération indirecte , on peut démontrer , que 1a suppression complète de cette partie est exigée par la méthode même des approximations successives sur laquelle est fondée toute la théorie (pii fournit li s cocfliciens des inégalités lunaires.

L’équation séculaire de l’anomalie, et l’équation séculaire de l’argument de la latitude de la Lune sont étroitement lices avec celle du moyen mouvement déterminée par l'équation (A). J’ai rapporté les deux premières en finissant le 4- <m ’ § 1 alin de présenter réunies dans ce Mémoire l'expression analytique des trois équations séculaires qui affectent le mouvement du centre de gravité du globe de la Lune et relui des (démens de son orbite.

La distinction entre le centre de gravité et le centre de figure de la Lune devient maintenant nécessaire : car l’on a motif de croire le premier plus éloigné du centre de la Terre d’environ les 35 millièmes du rayon du globe de la Lune (Voyea la page 3i du Tome XXIV que vient de publier la Société Astronomique de Londres ).

En réfléchissant sur l’analyse qui nous a donné’ ce lésultal capital, relativement aux équations séculaires, on sentira qu'il serait impossible de l'obtenir sans avoir les cocfliciens de toutes les inégalités lunaires soils une forme littérale et explicite.

La loi des variations de l'équation séculaire , sous forme finie, que j'ai placée dans une Note qui termine ce Mémoire , complète cette théorie d’une manière nouvelle.

Je vais exposer l’analyse qui m’a fourni les résultats que je viens d’énoncer.

MÉMOIRE SUR l’ÉQUATIOH SÉCULAIRE ETC.

Considérations sur les formules exposées dans les pages 60 et 61 du 1." Volume de ma Théorie du Mouvement de la Lune.

Il y a dans la dernière ligne de. la page 61 du i.*' Volume de ma Théorie de la Lune un résultat exact , mais précédé d’une singulière faute typographique , dont j’ai reconnu l’existence (peu de jours avant la moitié du mois d’avril de cette année) en relisant la Note que j’avais présentée à l’Académie des Sciences de Turin le 17 décembre 1 85 . (. Voici la correction qui doit être faite dans celte page , et les nouveaux éclaircissemens , que cette circonstance exige de ma part, pour établir la véritable forme des termes dépendons des coefliciens différentiels îles élémens de l’orbite du Soleil, et discuter leur influence sur l’équation séculaire du moyen mouvement de la Lune.

La valeur de x qui termine la |>age 61 est équivalente à la somme de ces trois tenues ; savoir

[1]... x— — je "cos. (A-o-t -/3 — nt) — -jr ■ -j- s' c°$. { k v -t- fi — ht')

Bm . dt' . , , .

" , 'T~ £ dï sm ( kl "*-r— "• ) :

et c’est effectivement ainsi que je l’nvais obtenue par le calcul exposé. D’ailleurs, la phrase « C on peut réunir ces trois termes en un seul » indique , assez clairement , que les Unis termes existaient dans le manuscrit: mais, dans l’avant-dernière expression de x, le troisième terme a été omis , et celte faute typographique m’est complètement échappée. De là il est arrivé, que, en composant la Note du 17 décembre i 854 , je n’ai pas fait attention à l’omission du terme

Bm . , de' . , , .

, ^sin.(Ar-t-j3 — ht')

qui devait faire partie de la valeur de x qui précède immédiatement la

PAR JEAN PLANA

dernière. En conséquence de cette omission je voyais seulement le terme multiplié par s’” -J- , et je croyais à la destruction de celui multiplie

par . C’est à cette circonstance qu’il faut attribuer ma ma-

nière de voir alors lit non existence des termes périodiques multipliés par dans les expressions de Un et tnt. Maintenant que j'ai rétabli,

en refaisant le calcul de la page 61 , le véritable trinôme à la place du inonome égal à lu valeur de jr , je reconnais que l'intégration introduirait des termes séculaires dans l'intégrale des produits de la forme

ir.Z?'.«'"\sin.(£t>-t-j3 — nx').dv :

car il y aurait le terme

BJl'm

f BJVm

-J jr-

’ .sin.*(£i>-t- (5 — nr')dv

si effectivement on devait exécuter des intégrations de ce genre pour développer les fonctions qui donnent les termes successivement ajoutés aux équations différentielles. Cela prouve que l’existence des termes de la forme

-jj. sin. (Arc ■+■ {3 — m')

dans l’expression de du est incontestable. Mais cela ne prouve pas en même temps qu’on doive traiter cette partie de à u comme si elle constituait une approximation subséquente d’un ordre déterminé. Leur forme est semblable à celle du terme Çsin. (ie-t-^ ) , dont Lapi.ace a signalé l’existence à la page ai 4 du S. 1 *”* Volume de la Mécanique Céleste.

Le (acteur est très-petit ; mais on ne saurait lui attribuer un ordre de petitesse déterminé, comme on le fait à l’égard île t', i", e'*, etc. Ces termes multipliés par sont le résultat d’un développement opéré sur les coefficiens et sur les argumens des fonctions périodiques. D’après

8 MÉMOIRE SUR I.V.QUATION SÉCULAIRE ETC

cela on doit employer ces fonctions avec des circonspections analogues à celles que l’on observe pour éviter le développement de l’art: dans l’intégration des équations différentielles du mouvement des planètes. Nous ferons remarquer, dès ce moment, que, en intégrant l'équation

^^ = ï:.tft''sin.(*c-4-j3 — s'r’) ,

on aura des termes périodiques dans les pression de int, multipliés

de' f

par , lesquels en produisent dans la partie I SR’dv de l’intégrale car, en ayant égard aux termes tels que

3 f J[(a'it , ) , stn.(3f— au')]

on les voit naître dans la valeur de $ IV posée à la page 2-3 de mon i Volume.

Pour avoir les termes de même espèce , mais d’origine différente, contenus dans le coefficient que j’ai désigné par II à la page a63 du r." Volume, il faut avoir, séparément, ceux multipliés par t'\ qui se

trouvent dans l’expression de l’intégrale m’J'ü'dv; c'est-à-dire dans le

coefficient de cos. or qui fait partie du second membre de l'équation

d.tSnl

< du-

dv-4-etc-

Et à cet effet voici comment on doit exécuter le calcul de ces termes , en reprenant les premières formules posées dans la page 6o. Considérons un terme de la forme

x = B j't' , sin.(ki’-h[3 — g'r').dv ,

l’on a d’abord;

x = B Jd v . sin. ( kv ■+■ (3 ). t’* cos.^'t 1 — B J" dv. cos.(Av-t-|3) . t' , ùn.g'r' . Or, en posant

t'*cos.g-V = E-Af cos. (pn'i-^-q) = T- M cos. (pm.nt q) ,

PAH JEAN PLANA

il faudra remplacer nt par e -t- 3 e , et regarder 3 e comme le représentant de la totalité des termes périodiques qui entrent dans l’expression de la longitude moyenne de la Lune en fonction de la longitude vraie, désignée par v. Alors l’on a

t '‘cos.g'e ' = Z" M cos. (pmv-t-q-^-pmiv) .

Donc, en développant suivant les puissances de 3e, et retenant seulement la première, nous aurons

t'*cos.£V = E- M cos.(/me-t-ÿ)-t- 3e.

d . 7. M eos. (pmv -t- q) dv

Pour plus de simplicité j’écris

i. ê i r i. , ,, v «/. ri'*COS.jf , r'l

e *cos.£ , T , =[t’*cos.g , 'r'] -t-de. — - — — - >

où la fonction, renfermée entre les paranthèses carrées, est censée représenter la totalité des termes absolument séculaires , ayant les argumens

pm .v-+-q , affectés des coefliciens pm, formés du produit de m =

|>ar les très-petits coefliciens p dépendans des masses des planètes, qui sont les seuls dont j’entendais parler dans les pages 6o et 6i. D’après cette notation, la valeur précédente de x deviendra

[a]... x= |'</osin. (Are-t-p) j IV'eos.g-VJ-t-do. ~ '^ £ — |

— lij dv cos. (X- o -H p ) | [V «sin. gV]-t-3c. — 1 ^ | -

Cela posé' , si l'on considère le terme périodique de 3c, dépendant du même argument Are -+- p — ^’r’, l’on aura une expression de cette forme ;

[3] ... 3c = ^sin.(Â-c-4-p).[i' , cos.g’ , r'] — y^cos. ( À- 1> -4- p ).[£'* sin.g-V] .

Donc, en substituant celte valeur dans celle de x et retenant seulement les leixnes séculaires multipliés par AB, l’on aura

:c= -j rf o[s'.cos. g 'r'].-i — ^ — l AB f , r , . , .. rf.[i'‘sin.e , 'r'l

■+•— J ^[ ! SI °^ r l - J v :

fO MÉMOIRE SUR INÉQUATION SÉCULAIRE ETC-

c’est-à-dire en exécutant l’intégration

ri] x ~^t î[*'' t ' os -«'' T, ]* + [ , ' , ® in -^' T '] , { •

Celte formule, lorsque g'=g, et lorsque g' s=o, donne

Mais si au lieu de l’equation [3] l’on avait

[6 J d e = A sin. ( À' t> -+- jS ) ,

l'équation [a] donnerait le seul terme

r, AB Ç j </.[{'» co».#V] JR , ,

[7] * = —J dv dv — ■ = — •‘ •coa.yV .

Il y a un troisième cas; c’est celui 011 , au lieu de l’équation [3], l'on aurait

3i’z=At n sin. (Xe-t-jS — g'*') ;

e’est-i-dire

4 e = // - ,l ~ * J sin. (te - 4 - (3) [j'*cos. ^Vj — ros. ( k e |3 ) |e’' cos.^'r'j [ ; alors la \aleur de X est

♦gj a,.e-.|e.^e| ‘ , -ICLy d .

En intégrant par parties, il viendra

•'•= ^l n -«{[«''cos.tfV| , M-|l'*sin.*V]*{

d’où l’on tire

on voit par là que ce produit est nul , lorsque g = o .

PAR JEAN PLANA

Les formules [5] , [ 7 ] et (a) donnent les termes séculaires nés de

l'intégrale

dv sans la considération îles Irrmcs périodiques

... dé ... . d.iv ,

multiplies par -j- , que Ion aurait en intégrant l expression ue — — .dv .

Leur existence lient à rélimination de la longitude moyenne n' t — m .nt du Soleil en fonction de la longitude v de la Lune.