Un système de 2w équations différentielles de la
forme
dp { dR
dt dq {
dt dpi
dans lesquelles
a été appelé, par Jacobi, Système canonique; il est facile de oir qu'il comprend, comme cas particulier, les équations (7). Nous allons démontrer que l'intégration de ce système dépend de la recherche d'une solution complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, non linéaire, àn + 1 variables indépendantes, de la forme
rfv „l d\ dV\ ^
Dans cette équation, comme on le voit, la fonction inconnue V n'entre que par ses dérivées partielles : elle a donc précisément la forme à laquelle il faut ramener toute équation aux dérivées partielles pour pouvoir lui appliquer les méthodes d'intégration connues (*).
23. Considérons le système canonique (26) : une intégrale de ce système est une équation
dans laquelle a est une constante, et U une fonction de t t qi, q$, ... 9n>Pi>P2> — Pn 9 telle que sa dérivée totale, par rapport à t, soit nulle en vertu des équations (26).
( ¥ ) Jacobi , Nova melhodus œquationes différentielles primi ordinis inlegrandi, Journal de Crelle, LX.
Si nous voulons trouver la condition à laquelle U doit satisfaire pour être une intégrale, nous aurons d'abord
/dU\ dU d\J dq l dU dq n dU dp t dU dp n
\dtl dl dq i dt dq n di dp v di rfp n dt
et, par conséquent, on devra avoir identiquement
. dU dU^dO.dU^dH dU^dR dU dH -
dt dq { dp t dptdqi dq n dp n dp n dq n
condition que Ton peut écrire (n° 11)
dU
dt
Toute fonction U satisfaisant à cette condition (28) donnera, en l'égalant à une constante, une intégrale du système (26).
24. Remarque. — 11 est facile de voir que 1 équation H = const. sera une intégrale , si la fonction H est indépendante du temps.
En effet, si Ton remplace U par H, il vient
dH ,„ -.(H,H, = 0;
et, comme (H, H) est identiquement nul (*),
dH
par suite, H ne doit pas renfermer t explicitement. Nous en concluons que, dans le cas où Ton considère H comme une fonction du temps, l'équation H = consL n'est pas une intégrale,
O Cela résulte de la formule (9).
n SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS
25. Théorème. — Si, par un moyen quelconque , on peut déterminer n intégrales
du système (26), satisfaisant à la condition
pour foute* /es valeurs de i et de k égales à 1,2, ... w , on pourra trouver les n au/res intégrales de la manière suivante (*) : on déduira 9 des n équations (29), /es valeurs de Pi, p 2 , ... p n , gue Ton substituera dans l'expression
dV=p l dq l -*- p 2 rty t -f- ... -4- p n fiqr„ — (H) dt, (51)
laquelle sera une différentielle exacte; puis on intégrera cette expression, ce qui donnera la fonction V : les n autres intégrales s'obtiendront en égalant à des constantes les dérivées de la fonction V, prises par rapport aux constantes
