Démonstration. — 1° L'expression

Pidq t -+- ptdq t -+- ... -h p n dq n — (H) dt,

e§l une différentielle exacte, (H) désignant la valeur de la fonction H, lorsque Ton remplace p i9 p i9 .../>„, par leurs valeurs.

D'après ce qui a été dit (n° 13), la condition (<p <p A ) = 0, n'est autre chose que la condition d'intégrabilité

dpi dp k

dq k dq { ' de l'expression

p t dqt -h ... + p n dq„;

(?) Ce théorème a élé communiqué en 1853 par M. Liouville au bureau des longitudes Journal de Liouville, t. XX, p. 137. — Connaissance des temps, 1853.

il nous .reste à prouver que Ton a la condition

\dt) d qi Kh

On a, par définition,

d(H) __ dil dH dp { cffl dp n

dq { dq { dp { dq { dp n dq {

mais, si nous tenons compte des équations (26), et des conditions d'intégrabilité (32), il vient

d(H) dpf dq { dp { dq H dp {

dq t dt dt dq { dt dq n

or, le -^ qui figure dans cette formule est une dérivée totale, et comme, en vertu des équations (29), p t est une fonction de t , q { , ... q H ,

dpi fdpi] dpt dq t dp t dq n

\dt)

dt \dt I dq, dt ' dq n dt

par suite,

d (H) td Pi \ .

dq, \dtr h

par conséquent, il sera possible de trouver la fonction

V Œ ./W?i -*- - + Pndq n — (H) dt) -+- y, (33)

y étant une constante arbitraire.