Les n autres intégrales du problème proposé
sont (*)
dV dV
aa { aa n
Il suffira de prouver que leurs dérivées totales , par rapport à t, sont identiquement nulles, en vertu des équations (26). Or, nous avons
da { ' dai ' da { dq K ' da { dq n
di dt dqi dt dq n dt
ou bien , à cause de la relation
A dV A dV
da { dq
dq da,
dV dV dV . d\
da { dt dqi dq i dq n dq n
dt da t da t dt da { dt
Si Ton tient compte des équations (26) et des équations (34) qui tiennent lieu des relations (29), il vient
' da, d (H) dpr dU dp,, dH
df da, rfa f dpi "" da^ dp n '
{*) Jacobi, Vorlesungen Uber Dynamik. Berlin, 1866.
a ** ■TET *
(**) Dans le premier membre ■ Jt 1 * est une dérivée totale ; dans le second membre, c'est une dérivée partielle.
de plus, on aura
d(H) dH dp, dH dp n
da { dp { da { dp n rfo/
et, par conséquent,
d'où il résulte que
dV
da {
sera une intégrale des équations (26) pour toutes les valeurs de i égales à 1, 2, ... n.
29. Remarque I. — On pourrait résoudre le problème beaucoup plus simplement , même sans connaître les n pre-. mières intégrales, si toutefois Ton parvenait, par un moyen quelconque, à déterminer la fonction V. Les 2/i intégrales seraient données par les 2n équations
dV dV •
d q -r Pi '-dïr p r ( ]
et
dV dV
dont les n premières ne sont autres que les équations (29).
Or, cette fonction V peut être trouvée comme une intégrale complète d'une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre.
En effet, d'après ce que nous avons vu (n° 27), l'équation
rfV ,
doit avoir lieu identiquement entre la fonction V, et la quantité (H), lorsque, dans la fonction
on remplace/) 4 , ... p n9 par leurs valeurs tirées des équations (29), équivalentes aux équations (34) que Ton en déduit. Donc, cette fonction V, renfermant n constantes arbitraires a i9 a 2 , ..; a n9 doit satisfaire identiquement à l'équation
dV dt
( dV d\\
eest-à-dire que V doit être une intégrale complète de cette équation aux dérivées partielles du premier ordre, non linéaire, facile à former : il suffit pour cela de remplacer dans la fonction F, les quaptilés p i9 ...p n9 par les dérivées de la fonction V relatives aux variables indépendantes
30. Remarque IL — Lorsque H ne renferme pas explicitement le temps, l'équation H = A est une solution du système canonique, comme nous l'avons démontré (n° 14), et nous pouvons alors prendre l'équation aux dérivées partielles plus simple
On peut déduire cette dernière équation de la précédente (37) : en effet, prenons pour intégrale de l'équation (37)
V = f\Vi d( li -*" - -*- Pndq n — Hdf);
O Dans la suite, nous emploierons indistinctement la lettre F, ou la lettre H.
comme, dans le cas actuel, H = const. = A, on aura V-4- A (t — f ) —flprfqt -4- ... -f- /vty„) = * (qf t , ... ?„, y ,, ... q\),
en désignant par q° l9 ... ç° n , les valeurs de q i9 ... ç„, correspondant à / .
Par suite ,
V=* — h(t-t ); d'où
— = -A et, en remplaçant -^ par — /* dans l'équation (37), il vient
/ d\ dS\
ce qui démontre la proposition énoncée.
31. Si V est une solution complète de l'équation aux dérivées partielles
c'est-à-dire une solution renfermant, outre la constante arbitraire ajoutée, n constantes arbitraires telles que Ton ne puisse les éliminer entre les n -+- 1 équations obtenues en differentiant V par rapport à q { , ... q H9 t, qu'en faisant usage de toutes ces équations , cette fonction V donnera toutes les intégrales du système canonique.
Supposons cette solution complète V connue, et posons
dq { l'équation (57) devient
dV
En differentiant par rapport à q i9 il vient
d~ ' dt d¥ d¥ dp { d¥ dp n
Fi • ^" = 0; (39)
dq { dq f dp { dq { dp n dq t
mais , on a
* dV J dV
a. — - a. -— dt dq {
dq { dt
dpi dp k
dq k dq { '
par conséquent, l'équation (39) donne
(dp\ dF d¥ dp { d¥ dp t , v
\dt I dq { dp K dq { dp n dq n
En outre, si nous prenons la dérivée totale de p t par rapport à l, nous aurons
d Pi ( d Pi\ d Pi d 9i ^ d Pi d 9n m /jm
dt \dtl dq { dt dq n dt
ajoutant les équations (40) et (41), on a
dp, d¥ dpi (dq { d¥ \ ' dp é (dq n d¥ \
dt dq { dq t \ dt dpj dq n \ dt dpj 9
et les n équations
dqt d¥
dt dp t
donnent les n équations
dpi __ d¥ dt ^ dq {
Or, si nous prenons la dérivée totale de l'équation
dcii par rapport à t, nous trouvons
<PV d*V dq t #V dq,
da t dt da { dq { dt da,idq n dt
de même, en différentiant l'équation (37) par rapport à a,, • on obtient
d*V rfF d*V rfF ci 2 V
rfa f rfi dp, da i dq i dp n da t dq n
De ces deux dernières équations on déduit la relation
(PV (dq t dF\ ddfdq
! \ çfa dpj da,idq n \ dt dpj
laquelle donne n équations analogues.
Or, de ces n équations on conclut les n conditions
dq { dF dt dp {
ou bien le déterminant des n 2 quantités
da t 4q k da { \dq k l
est nul; mais cette dernière condition exprimerait que Ton peut éliminer (*) les n constantes a { , a â , . . . a n , entre les n équations
(*) On trouve une démonstration fort simple de cette propriété dans un travail de M. Imschenetsky, professeur à l'université de Kazan, Sur l'inté* gralion des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
dW
'Jï ==z ?*\9*' ?«>••• 9n1 «l> "«*> t)j
ce qui est impossible, puisque V est une solution complète de l'équation (37).
Par suite, si V est une solution complète, les conditions
doi
sont les mêmes que les relations
dq { dF
dt dpi I
* d Pi d¥ ' v '
dt dq {
32. Si donc Ton parvient à trouver une intégrale complète de l'équation (37), la question sera résolue, et l'on aura les 2n intégrales du problème par de simples différenciations. Nous observerons ici, comme au n° 19, que nous n'avons pas fait une transformation inutile, comme il semblerait à première vue : cela résulte des considérations que nous avons exposées dans ce n° 19. Notre but n'étant pas de donner une théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, nous renverrons pour cette question aux nombreux mémoires de Jacobi, Cauchy, Bour, et à ceux de MM. Liouville, Bertrand et Serret.
DE LA MÉGANIQUE. 34
