La fonction V n'est autre que l'intégrale définie
fa
cette dernière fonction quHamilton a nommée fonction principale jouit des mêmes propriétés que la précédente. À cet effet, reprenons l'équation aux dérivées partielles (37), que nous écrirons
En observant que V est fonction de t 9 q lf ... q n , nous aurons
dV\ d\ dq { dV dq n
df — \df
I dqi dt dq n dt
or, en vertu des équations (35) et # (36) du n° 29,
dV dt
= ( -jj -*- Piq'i -*- - -*- p n q'n> (*&)
ou bien, à cause de la relation (S**)*
dV /dV\ dé
(*) Nous désignerons ici, pour éviter la confusion, la dérivée totale de V, par rapport à t, par ïï sans parenthèses , et la dérivée partielle par (37)*
et, par suite,
~^ = — H -+- 2T = — T -4- U + 2T = U -4- T; (46) dt
par conséquent; d'où
dV = (U + T)dt 9 V=f'(V + T)dt,
ce qui démontre la proposition.
34. Cela posé , si nous prenons la variation de cette intégrale, nous trouvons, puisque U ne renferme pas tf\,. ..#'„,
*V« / dt
dU dq {
ôq { -+- ..
dU <lq n
ty> +
dT
■j-tyi dqr,
dT ,
dT
dT
en inlégranl par parties les derniers termes, on a
/'dT , , /dT „ V
d'où
JV
/dT . dT V
dU dU dT
d^ dgf n dç, *
dT
dT dt
~iq, — ...
dT dt
Hn
DE LA MÉGANIQUE. 33.
Or, le dernier terme est nul, à cause des équations (4),
et il reste
/ dT dT V
"-ta* + -- + ^H ! (47)
ou bien, en indiquant par un indice le résultat de la substitution de t à la place de t f
' dT dT
Si Ton se donne le temps et les positions extrêmes des points du système, le second membre de celte dernière ( équation est nul, et Ton a
par conséquent, la fonction V est un maximum ou un minimum.
35. Si Ton se donne seulement le temps, et pas les positions extrêmes, les termes en dehors du signe f dans dV ne sont pas nuls; mais cette expression (47 ,<fr ) de SV n'est pas la variation complète de V ; car, /*(U -h T) dl renferme
la variable U Pour avoir la variation complète, nous devrons ajouter (—] $t, et il viendra
„ dT dT / dT \ n / dT \ . n \
valeur que nous pouvons écrire ainsi :
/dV^
ou, à cause de (44),
* V = pjq, -*-...-♦- pjq n — j>\*q\ - ... - p°Jq° n - Hfl. (49)
