Si nous prenons maintenant la seconde équation
et si nous exprimons qu'elle est une intégrale, nous trouvons l'équation
db dp aw dp
du dv u \ dw
que nous intégrerons, en posant
dp du dv dw
— 1 2w S/xw & '
nous en concluons
du -i
dp = — — j v — 2/uu * =.c 4 , wr — uv = (*„ , 2ti?
d'où
— du
2 yct -t- u (c, -4- 2/*i* * )
c/ 2p c f -4- f f tt -4- 2ptt*
par suite, l'intégrale générale est
/• du -i
— — - -»-F(p— 2ftM *,««— «?*). (194)
En égalant à zéro la fonction arbitraire F, et remplaçant u par r 2 , on trouve l'équation
H Ci
que nous avons déjà obtenue (n° 70).
122. Si nous cherchons à reconnaître si le problème admet des intégrales de la forme
y (3 = arc tg- -4- F, (m , t?, w),
la condition -£ = 0, nous conduit à l'équation
h dw L i/ï J
dF, dF t foo , rfFT ptl Vw-tf 2—— tu — 2— -h 1 r r 1-4- = 0.
du dv u \ dw I «/i I w
La fonction F { sera déterminée par l'intégration du système
du dv dw d? i
%W~ ^fxW~ fi \/ uv __ ...* '
on en déduit
V — 2/KU~ * = Ci , Î4V — W 1 . = fj,
du «rfF|
ou
2m; l/ wv — ,<,*
duVcl dF 4 = —
enfin,
2t/ |/c 4 tt -+- 2a*m« — c 4
ô=arctg- — / ' -+-F,(i;— 2pu ï,tir.— w*);
y/ci du
ÇuyCiU -+• 2f*w* — Cs
d'où, en égalant à zéro la fonction arbitraire F { et remplaçant u par r a ,
= arctg- — / - . (196)
r r* ce qui est l'équation trouvée au n° 70. *
(*) Une légère erreur s'est glissée dans le mémoire de M. Bertrand {Journal de Liouville, t. XVII, p. 408). Il a employé la consume c, avec le même sigue au numérateur et au dénominateur.
