MÉTHODE DE BOUR

1 04. D'après ce que nous avons vu (n° 1 01 ), les intégrales « 1} a 4 , ... a 2 „j doivent satisfaire à l'équation

£\dq i dp i dpidq-l

laquelle sera aussi vérifié par Ç = H; mais, si Ton y fait

Ç = G, on aura

Cherchons d'abord à intégrer cette équation (171), et montrons comment chaque intégrale connue permet d'abaisser de deux unités le nombre des variables. C'est en cela que consiste la Méthode de Bour (*), que nous allons actuellement développer.

105. Premier cas. — Si l'on ne connaît que l'intégrale des forces vives H = h, elle nous servira à exprimer p n en fonction de q { , ... q n , p { , ... p„, , H , et nous aurons

\dqj d({i

<k dp n

dç\ ___ dç

dpj dpi dp n dpi

<ft d Pn dp n dq {

{") Sur l'intégration des équations de la Mécanique , Mémoires des

SAVANTS ÉTRANGERS, t. XIV.

(**) Nous employons les parenthèses pour désigner les dérivées prises dans la nouvelle hypothèse, p n étant une fonction de p lf ...p n -i,q t , ... q nt H; les dérivées sans parenthèses sont prises dans l'ancienne hypothèse.

Mats si nous remplaçons p„ par sa valeur dans H = /i, nous aurons une identité : par conséquent,

dtt effl dp n dH dH dp n

dp { dp n dpi~~ ' dq t dp n dq {

d'où

dU dU

rfp, W/v cfy> n dH ' dq { xdqj dp n dH '

ces valeurs , ^substituées dans l'équation (171), donnent

Y(*=*fc.*U*. , (.73)

«J* \ dq { dpt dpi dqj dq n

équation qi|i a deux termes de moins que (171).

106. L'intégrale dès forces vives nous a permis de réduire l'équation (171) à une autre d'un ordre moindre de deux unités : ce qui distingue l'équation (173) de (171), c'est que (173) n'admet plus pour intégrale l'équation des forces vives.

Si nous faisons subir la même transformation à l'équation

(H,G)-I, nous obtiendrons

£ \ dq { dpi dpt dqj dq n dtt

107. Second cas. — Supposons que l'on connaisse deux intégrales du problème : celle des forces vives, et une autre :

U = h, ai==*? 1 (9n...?„,p 1 ,...p„); l'équation

4* \dq { dpi dpt dqj

admet pour intégrales H, G, « â , * 8 , ... « 2ll ,, mais non pas * 2 , laquelle nous donne

(*ii «0 = 1.

Si maintenant, nous déduisons p n , en fonction de q { , . . . q n , Pi , . . . /Vj , H , au moyen de l'équation H = h , nous pourrons transformer l'équation (175) en une autre

i (doL i dç da t d% \ dpi dqj

pour Ç = «i , a,, ... a« n s , tandis que pour Ç = G, il viendra

^(^fà faj&\ ssst fel 9 (i77)

<=^ \d<y, dp, dpi dqj dH

et pour Ç = «j, l'équation (a,, <**) = 1 devient

^tpp__pp\ im {i78)

iJ? \dq { dpi dp t dqj

L'équation (176) a pour intégrales ai,*», ....*«„»: elle renferme deux variables de moins que l'équation (175); quant à l'intégrale G, elle a disparu.

108. Si l'on désigne par a 3 une de ses intégrales, on pourra, au moyen de a,, exprimer p„i en fonction de Qi >«•• q n9 Pi ... p«-2, H, «j, et transformer l'équation (176) en la suivante :

x '=!£*( d<x. z dl doi Z dx i \

,JT \dq t dpi dpidqil

cette équation aura deux variables de moins et admettra . pour intégrales * 5 , *$ ... **,*, tandis que (* 3 , « 4 ) = 1. • L'intégrale ai aura disparu , et en même temps « 2 .

On peut, comme on le voit, au moyen de chaque inté-" grale connue, diminuer de deux unités le nombre des variables et le nombre des termes. Cette diminution pro-

vienl de ce que chaque intégrale connue permet d éliminer sa conjuguée (*), qui est alors étrangère à I équation réduite. On pourra ainsi, par des réductions successives, obtenir ics intégrales conjuguées deux à deux

«i, cf|, ... a w ,

• W|» "»> ••• fr«»

telles que

1 09. Si Ton connaît une intégrale (3j , on posera « f =(3 f , et Ton écrira 1 équation (177), dont on calculera les coefficients au moyen de <x 1 = (3 1 , comme nous Pavons indiqué, et l'intégrale a 2 sera éliminée.

Si Ton connaît une seconde intégrale p 2 , on formera

(PoPs):

Si (Pi , (3,) = 0, on posera a 3 = (3 2 , et Ton pourra former

I équation (179).

Si (Pi> Pi)— 1 > a ' ors Pa sera«j et Ton ne pourra former I équation (179), puisque p 9 , qui est la conjuguée de a, , est . éliminée de I équation (177).

Si (Pi, p2) = P3> est une fonction de q i9 ...q Hf p i9 ...p n9 on formera (Pi, P 3 ) = p 4 , etc., jusqu'à ce que Ton obtienne

une fonction

(3*==/(H,(3 I ,p*,... ft i),

et alors on aura l'équation linéaire

drs drs dts

dont les A: — 3 intégrales sont des solutions du problème. On en prendra une pour l'intégrale a 3 , et les autres serviront à abaisser Tordre de l'équation (177).

'(•) Deux intégrales <x, |3 sont conjuguées lorsque Ton a («x, /3) = i.

de là mécanique. 103

110. Lorsque Ton est parvenu à diminuer le plus possible le nombre des variables de l'équation aux dérivées partielles, on doit continuer les opérations d'une autre manière.

Si T ;n ne connaît que les intégrales a { et A, on exprimera p„i en fonction des autres variables, et on l'éliminera des équations (176), (177) et (178), ce qui donnera

tff \ dq { dp t dp* dqj dq n ^

fc \T 1 ( d P»-t d ** dPn-i dxA dx* dp n %

£ \ dq { dp { dp t dqj dq H t d* t

,= y~ a ( d P*-J dG __ d P-i dG \ dG d P»-i d ** (i oa\ ,>T \ dq t dpt dp { dqj dq n { d<x. { dH

Mais si l'on remplace daris

P--l~ A?" ?» " 9n> Pi* Pn-i , «i, H) ,

«, par sa valeur, on aura une identité ; donc

dp^-j dp H j doL X

dH "*" d* 4 dH~" '

et l'équation (182) devient

^I dp^ dG dp n . t dG\ dÇ = d Pn- L ] tir 1 \ dq t d Pi d Pi dqj dq n i dH

111. Si nous transformons de la même manière les équations (173) et (174), en remplaçant p n et />„, par leurs valeurs, nous obtiendrons les trois équations

%~* l d P n d *> d Pn dt \ dï> & \dq t dpt dpi dqj dq n

'v'V^— -^ l — ) -4-— = ~ ^- 5 (184) ,ir \dqt dpi dp { dqj dq n dx {

•y Idv» dG dfc. d»\ + rfG dp.

,ii \dq k dp, dpt dqj dq n dH

Or, les équations (180) et (183) ont pour intégrales celles du problème, * { ,a 3 , ... ^„^ : mais il n'en résulte pas que toute intégrale de Tune de ces équations soit une intégrale du problème.

En effet, q n = const. est une intégrale de (180), tandis que q n l = const. est une intégrale de (183), et ces deux intégrales ne sont pas communes aux équations (180) et (183). Si Ton prend

cette intégrale de 1 équation (180) ne sera pas une solution du problème. Les solutions du problème sont les seules

intégrales communes aux équations (180) et (183).

Si donc Ton connait h et a { , on devra former les équations (180) et (183), dont il faudra trouver les solutions communes.

112. A cet effet, il est facile de démontrer que toute intégrale d'une équation , substituée dans le premier membre de l'autre, fournit «ne intégrale de la première (*). Si Çj = const. est une intégrale de (180), et si Ton remplace Ç par Ç| clans le premier membre de (183), le résultat égalé à une constante sera une nouvelle intégrale de (180). Si ce résultat était nul, alors Ç, serait une intégrale commune, et, par suite, une intégrale du problème.

Supposons que le résultat soit Ç 2 ; £2= const. sera une nouvelle intégrale de (180), et Ton appliquera de nouveau le théorème , jusqu'à ce que Ton trouve :

1° Ou bien un résultat nul, et alors la fonction qui a donné cette valeur par sa substitution dans l'équation (183) sera une solution du problème;

O Bour, Sur l'intégration , etc., Mémoires des savants étrangers, t. XIV, p. 803.

2° Ou bien un résultat fonction des intégrales précédentes , £i , (2 , • • • > et a ' ors on déterminera la solution commune par une équation aux dérivées partielles linéaire facile à intégrer.

113. On obtiendra, de cette manière, un certain nombre d'intégrales communes que Ton pourra considérer comme formant un système canonique :

dlydi, ... a k ,

"ij Oj, ... b k y tel que Ton ait

(a„ b t ) = 1 , (a„ b v ) = 0, (a i5 a v ) = 0, (6<, b v ) = 0, pour

* <f * » et £ "< h — 2.

114. Cela posé, si nous remplaçons dans (183) Ç par a,, b { ... 9 a k9 b k9 nous obtiendrons des résultats fonctions de ces mêmes quantités; sans cela, ces équations seraient de nouvelles intégrales de (180), en vertu de ce que nous avons vu ci-dessus. Si donc nous désignons ces expressions par A|, Bj, ..., et si nous remplaçons dans (183) Ç par

f(a l9 b li ...fl k yb k9 q H )j

nous aurons, en égalant le résultat à zéro, l'équation différentielle partielle :

da { db { da k db k dq H

laquelle admet 2A; intégrales.

Or, il est facile de voir que Ton peut poser (*)

__dL dl

dbi * dcii

O Bolr, Mémoires des savants étrangers, t. XIV, p. 806 et 807.

L étant une fonction de a i9 ... a k , b î9 ... b k , que Ton déterminera par une quadrature.

Par suite, l'équation (186) deviendra

â \dbi dtti da { dbj dq u

équation d'un ordre généralement inférieur, ou tout au plus égal à Tordre des équations (180) et (183).

115. Remarque» — Si Ton ne connaît pas l'intégrale b k , par exemple, on aura

alors

dk k

dk k ' -ÏT- = 0ï

dcii db{

et A k sera une fonction de a k et de q n ; l'équation (187) devieqt

'l*- 1 fdl d^ dl dç \ dï de

jjf \dbi da da 4 dbj dq k dq n

dont on déterminera une intégrale en posant

<ft rfç A A — -*--—= 0.

«7* dq n

116. Lorsque, par le procédé que nous venons d'exposer, on sera parvenu à trouver la moitié des intégrales du problème, la question sera résolue. Ces intégrales satisfaisant à la condition donnée par M. Liouville ,

(a, (3) = 0, pour toutes les combinaisons deux à deux des intégrales

nous pourrons terminer la solution, comme nous l'avons indiqué précédemment (n° 17).

H 7. Remarque. — II est facile d étendre les calculs précédents au cas où H serait une fonction du temps.

En effet, la condition nécessaire et suffisante pour que a soit une intégrale des équations canoniques est (n° 23)

d% ^Slda dU da dH\ dt -â \dq t dpi dp { dqj

équation de la même forme que toutes les précédentes.

'118. D'ailleurs , M. Liouville (*) a fait remarquer que ce

cas général où

H= <?(t,q { ,. ..q n pi,»Pn)y

peut se ramener au cas particulier traité par Bour, pourvu que Ton augmente de deux unités le nombre des équations canoniques et le nombre des variables.

1J 9. Application. — Comme application de la méthode de M. Bertrand, reprenons le problème déjà traité (n° 67) du mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe, en raison inverse du carré de la distance.

Les équations du mouvement étant

dx dx'

dt dt r*

dt J ' dt r 3

le principe des aires nous donne l'intégrale

^ t= xy' — x'y = const. = a.

Cherchons une seconde intégrale

(*) Liouvillp, Journal de Mathématiques, t. XX, p. 30|,

120, Actuellement, H nous reste à déterminer quelles

sont celles de ces équations qui représentent les intégrales

du problème; et, pour cela, nous devons exprimer que

leurs dérivées totales par rapport à / sont nulles, en vertu

des équations du mouvement.

Or, la première

£=F(M,t>,ir), doit nous donner

d?d^dx dpdy dpdx' dp dy'

dt ~~ îîx dt "*" dy ~di "*" dx' ~dt dy' dt ~~

Mais on a

dp __ dp du dp dv dp dw dp dp ,

dx du dx dv dx dw dx du dtc

de même,

dp dp dp ,

dy du dw

dx' dv dw

dp dp dp

dy' dv y dw y *

de sorte que l'équation ^ = , nous donne

du dv r* divt r*J

et, en remplaçant r en fonction de u,

du dv u \ dw I u i\

Or, on sait que l'intégration de cette équation se ramène à celle du système

du dv dw dp

2tt? 2fxw fx

dont on déduit

(/(3==0, pti *dw-i-dt; = 0, 2wdw = rdu -h wdt? ;

par suite, l'intégrale générale est

|3 = F (v — 2f*t*~*, ut? — u?*),

ou bien

Cette intégrale n'est donc autre chose qu'une combinaison de l'intégrale des forces vives et de l'intégrale des aires : par conséquent, elle ne peut former une uouvelle solution du problème.