Mémoire sur l'integration des equations lineaires aux differences partielles;
Jai lu à l’Académie, il y a environ deux ans, un Mémoire sur le même sujet (*), où j’ai donné les intégrales des équations relatives à différens problèmes de physique ou de mécanique ; mais, dans toutes ces équations, les coefficiens des différences partielles étaient des quantités constantes : je vais maintenant considérer d autres équations dans lesquelles ces coefficiens seront variables , et qui se rapporteront aussi à des questions qui ont déjà été résolues, ou que je me propose de traiter dans le Mémoire qui suivra celui-ci.
[ I.] Nous nous occuperons d’abord de cette équation :
dans laquelle a, À et /a sont des quantités constantes. Euler en a donné, il y a long-temps , l’intégrale complète, soit en série infinie , soit sous forme finie, quand cette forme est possible ; et c est à son occasion qu’il a fait la remarque importante et nouvelle alors, que 1 inté-
(*) Nouveaux Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1818,
--2lA ANALYSE.
grafé dune équation aux différences partielles doit, le plus souvent, contenir, non-seulement des fonctions arbitraires, mais aussi leurs coefficiens différentiels. Lagrange avait déjà considéré des cas particuliers de cette même équation, dans ses recherches sur fa Théorie du son et sur fes Cordes vibrantes ; et enfin elle est comprise parmi celles que M. Laplace a traitées dans un de ses premiers Mémoires, et ensuite, sous un autre point de vue, dans sa Théorie des fonctions génératrices (*). Mais, malgré tous les travaux dont elfe a été l’objet, on va voir que la matière est loin d’être épuisée, et que l’intégration de cette équation peut encore donner lieu à des remarques nouvelles qui ne seront pas sans utilité.
Sans en diminuer la généralité, on peut supprimer le second terme de son second membre ; car on fera toujours disparaître ce terme , en -î A
faisant u — £X . Ainsi nous considérerons, pour plus de simplicité , l’équation
dans laquelle m est encore une quantité constante , qui pourra être positive ou négative.
[2,] Soit x -t- at=. x ', et concevons que l’on remplace les deux variables indépendantes x et t par. x et x . Quelle que soit la valeur de 1 qui satisfera à l’équation précédente, on peut la supposer développée en série ascendante ou descendante à volonté, suivant les puissances de l’une de ces variables x et x', de x par exemple ; et si l’on donne à cette variable des coefficiens et des exposans indéterminés , on sera certain d’avoir la valeur de 1 la plus générale qui puisse satisfaire à cette équation , et, par conséquent, son intégrale complète. Or, si l’on représente la valeur de 1 par une série ascendante selon les puissances de x, et que l’on
(*) Relativement à ces diverses citations, voyez les tomes II et III des anciens Mémoire» de Turin j les Mémoires de Paris, pour les années 1773 ct 1 779 » et l’ouvrage de M. Lacroix.
ANALYSE
détermine les coefficiens et les exposans au moyen de l’équation (i), on trouvera, sans difficulté:
Z~ x*<px'-+-A,x*~
dx
dx '
étant une fonction arbitraire, A un exposant détermine par l’équation
et A,, A xt A yt Scc », désignant des coefficiens constans, dont les valeurs seront données par cette suite d'équations :
2 ( k —j— 1 ) A, —H [ ( k -H 2 ) (A —J— 1 ) — tu ] A x —~ o , 2 ( A —H 2 ) A a -H [ ( A -H 3 ) ( ^ ^ ) — w ] A 3 irz o ,
£n y mettant A (A—1 ) à la place de m , et désignant par n un nombre entier et positif quelconque, la forme générale de ces équations sera
II faudra supposer A 0 ~ z 1 ; on aura ensuite A x =— 1 , excepté dans le cas de k — o, où le coefficient / 4 , restera indéterminé : cette valeur de A étant exclue, on aura généralement
* 2L2A4- i.i/tn-2. zh-\-n — 1 1.2.3 . n *
et dans le cas particulier de A = o, on aura de même >• 2-3 .»
L’équation (2) donnera deux valeurs pour A, que l'on pourra employer successivement; et à cause de la forme linéaire de l’équation (1), XIX' Cahier. Ee
ANALYSE
on y satisfera encore en prenant pour z somme des deux séries correspondantes à ces valeurs de k. Désignant donc par k et k' les dettx racines de l’équation (2), et par A , , A ,, A } , &c., ce que deviennent les coefficiens Â\ % A zt A if &c. , lorsqu’on y met k' à la place de k, on aura, pour l’intégrale complète de l’équation (1),
Z— zx^x'-t-A ,x A ' hl - d J*' — hA z x À ’ 1 "
A +3 di< f ,x
r^x' étant une seconde fonction arbitraire, indépendante de q>x'.
[3.] Nous aurions pu faire x— at—x, et substituer aux deux variables * et t, les deux variables a* et a"; en suivant la même marche que dans le n.° précédent, nous aurions été conduits à une autre expression de z> qui aurait aussi été l’intégrale complète de l’équation (1) ,
savoir :
dx
- 4 - x k 'Arx-+-A\ x 1 '*'
—|— A\ x Ar *
d 2 $ x u dx" 2 ~
<Î>A W et désignant, dans ce cas , les deux fonctions arbitraires. Cette intégrale devra donc coïncider avec la précédente : c’est ce que nous vérifierons par la suite, et, en attendant, on peut s’en assurer dans des cas particuliers, en donnant k k et k' les valeurs les plus simples.
Soit, par exemple, mz=zo\ les deux racines de 1 équation (2) seront alors kz=i 0 et k '1 : pour cette valeur de k', on aura
et l'équation ( 4 ) deviendra
[ d ç x‘ (2*)* d 1 ç x f (2*)* di y x'
d\x' {lxY
AN i 1 X S B. ^ 1 9
Les sommes des deux séries qui composent cette valeur de 1’ soutien- 1 d'n x
nent par le théorème de Taylor ; £ t si lop.fait 4r; v — d^* on aUra
Z = ( « 4 - 4 - A q'f .V' - aè A , W-z X) (V - - TI £
Mais, à cause de x Lg & L*" x — 2 .y — “ * “fo < 1 1, on a
,)<?*'- j.'tjt x‘ =f {x ->t- at) ,
-LA, < j >(. y ' — 2 *) -f--i-7r(x— 2 *) —F{*~ at) ;
f et F indiquant: {fea -fonctions arbitraires- et indépendantes 1 une de l’autre : on auta donc
Z=fix-+-nt)-+ Fix — ^t)-,
ce qui est effectivement l’intégrale complète, sous forme finie, e equa
tion (1), qui se réduit à
-f ■ - Ü t .)lY\z- - - (W> - -
dans le cas de m = o. On parviendra évidemment au meme résultat en partant de la seconde forme de f intégrale en série, laquelle ne diffère de la première que par le signe de a.
Observons encore, relativement à ce cas particulier, que Ion obtiendrait aussi l'intégrale complète de [équation (1), en pienant pour Z la somme des premières séries dans çhacune des deux formes dinté grales, mais qu’on n’aurait qu’une Intégrale particulière, en prenant poui Z la somme des secondes séries. En effet, en ramenant les séiies à la forme finie, il viendrait, dans le premier cas,
z = ( , Th-~A,) q> (x -+- at) —-J A, q» (— * H- «0
-+- ( i -+- 2- /(.) $ (x — at ) - j-A. $ ( v at } ’
Ee 2
résultat de la forme
ANALYSE
Z =fonct. (x^-at) -f- Fond. (* — at),
où les deux fonctions arbitraires sont indépendantes entre elles. Au contraire, en faisant
d ir x'
on aurait, dans le second cas,
Z=~^(— x-+-at) — - 7 T\x~+-at)
H—— IT (— x — at) -— n (x — r- at) ;
et posant, en outre,
— 7r (x -H at) -~ n (- x — at) —f{x -f- at),
il en résulterait
~ -7T (—x at) - - n (x — at) —/(—x ^ at) ,
et, par conséquent,
Z —f ( — x-h a t) — f(x •+- at) ;
expression qui ne renferme qu’une seule fonction arbitraire, et n’est qu’une intégrale particulière de l’équation (i).
[ 4 -] Généralement on satisfera à cette équation, en prenant pour z fune des deux séries qui forment le second membre de 1 équation (4), et y ajoutant une autre série de la même forme , qui ne diffère de celle-là que par le signe de a et par la fonction arbitraire, c’est-à-dire, en faisant
Z — x A (cp x'-H $*")-f- A, -f-
Sec .,
~Hr~)
ANALYSE
et prenant pour k telle racine qu’on voudra de l'équation (2). Mais, le plus souvent, les deux séries qu’on aura ajoutées pour former cette valeur de £, rentreront l’une dans l’autre, et l’on n’aura de cette manière qu’une intégrale particulière de l’équation (1), comme on vient d’en voir un exemple dans le n.° précédent.
Les cas où cette dernière formule exprimera certainement l’intégrale complète de l’équation (1), sont ceux où la série des coefficiens A lt A xt A } , &c., ne comprendra qu’un nombre fini de termes ; et, d’après la forme de leur terme général A n , ces cas auront lieu lorque la racine k sera un nombre entier et négatif, ce qui arrivera quand on aura
i étant un nombre entier et positif quelconque. Les deux racines de l’équation (2) seront alors —i et / + 1 : prenant donc k = — i, le coefficient A t '+, et tous les suivans seront nuis; et en substituant les valeurs des autres coefficiens dans l’équation (5), elle deviendra
( dtp x’
(r — d’px'
2 i — 1 \ d jc *
son second membre ne comprendra qu’un nombre i-f-i de termes, et le coefficient numérique du («-f-i) OTr terme, ou de la puissance x~[ +M , sera
Cette intégrale complète ne diffère de celle qu } Euler a donnée pour les mêmes cas , que par l’ordre dans lequel les termes de la valeur de £ sont écrits (*). Dans ces sortes de cas, l’équation( 4 ) ne donnerait immé-
(*) Tome III des anciens Mémoires de Turin.
ANALYSE
diatement qu’une partie de .cette valeur sous forme finie ; nous verrons bientôt comment on ramènerait à cette forme la valeur entière de [ j.] Si l’on désigne par h, l et l', trois quantités constantes, réelles ou imaginaires; que l’on représente, à l’ordinaire, par e la base des logarithmes népériens, et qu’on fasse
q>x' = le "', Sx" = l'e- ka " , la valeur précédente de £ prendra la forme :
Z — * kat y:
y étant une fonction de la seule variable x, savoir :
— [Je hx -^ïr hx ) [x-*- —h\le kx ^l r e- ht )[x^
ai-i *
En substituant cette valeur de 1 dans l’équation (1), et supprimant le facteur e hat , commun à tous ses termes, il vient
dx y
la valeur de ^ devra donc satisfaire à cette équation différentielle du second ordre, et elle en sera l’intégrale complète sous forme finie, / et l' étant les. deux constantes arbitraires. M. Legendre avait déjà remarqué que cette équation s’intégre sous forme finie, toutes les fois que i est un nombre entier; son intégrale est, comme on voit, comprise comme cas particulier dans celle de l’équation (1).
[6.] Maintenant nous allons chercher à mettre sous forme finie, par le moyen des intégrales définies , les différentes séries que nous venons de considérer.
Pour y parvenir, faisons d’abord
l’équation (3) deviendra
2 (A —t— n — i ) B„^. l —f— ( ik —t —n — 1 ) B n — o ; et nous satisferons à cette équation aux différences finies , en prenant B n = f'Pp’dp;
P étant une fonction de p, indépendante de n, que nous déterminerons convenablement, ainsi que les limites de cette intégrale définie. Substituant cette valeur de B„ dans l’équation précédente, il vient
ik J P -\-p) p n ~' dp -±- f P[ip-+-p z ) d.p n ~ x =0 ;
mais, en intégrant par parties, on a
J P ( 2 p -(-/>*) d =P(ip-i-p ± )p n - —jp n ~ ' d [ P ( ip -+-p') ] ;
si donc les limites de l’intégtale peuvent être telles que l’on ait P [ip p x ) ~ o à chacune d’elles, nous aurons simplement,
/ j ih[l-+-p)Pdp— d[P^p-*-p')]\p ,, -‘ = o.
# on satisfera à cette équation , quel que soit n , en posant 2 k (1 -+-p) P dp — d[P{zp-+~p'-)] =z o; d’où l’on tire, en intégrant,
Piip-hp 1 ) = b[ip-+-p') k ,
b étant la constante arbitraire. Nous supposerons que l’exposant k soit positif(*) : on remplira, dans ce cas, la condition relative aux limites de l’intégrale donnée, en prenant pour ces limites p zz: o et p~— 2 ; on aura donc alors
B„ = b f~' ( ip ) * p" dp ,
(*) On comprend dans cette supposition, le cas où cet exposant aurait une valeur imaginaire, dont la partie réelle serait positive. .
ANALYSE
et par suite ,
tt-/. z ( 2 p -i-p' y~' p n d p-
Nous mettrons cette valeur de A t sous une forme qui nous sera plus commode, en faisant
p = cos où — 1 , dp nz — sin « ;
ce qui donne
A n •=. ^ 1 3 * ^ C n ‘ o (1—cos«)” sin xk ~ l udoù\
c étant toujours un coefficient indépendant de n. On le déterminera, si Ion veut, au moyen d’une valeur particulière de A n ; par exemple, au moyen de A a — 1 • faisant donc —o dans cette formule, on aura
A o = c J*™ sin a/ *“' u du \
et en égalant ces deux valeurs de A a , on en conclura celle de la constante c.
[7.] Au moyen de cette expression de A u , si fon n’a égard qu’à la première des deux séries contenues dans l’équation (4), et que i’011 comprenne la constante c dans la fonction arbitraire, on aura
Z = J* * £ x — x ( 1 — COS Où )
x 2 ( I — cos a ) 2 d 2 <p x
' x’ ( I - COS O) ) *
Où d Où.
La somme de la série comprise entre les parenthèses, s’obtient par le théorème de Taylor ; et si l’on remet x-\-at à la place de x, on aura
(x coscù -I- at ). x k sin* k ' où du.
Mais, avant d’aller plus loin, il est bon de vérifier que cette valeur de z satisfait effectivement à lequation (2). Or, en faisant, pour un
d <p x ^, d 2 <px „
moment, —J - * - = <p x, • d ' xl ~— x > on a
ÀNALYSEA 225
—j~~ — aX f Q ^"(a’cosw at).x k sin 2 *-’ u du ,
— J~ o ^P" ( x cos c*> -H at). x k sin xk ~^ u cos 1 u d u 2 ^ J* CJ> ; (a- cos u -h at) . x k ~' sin *' 4 '” 1 u cos u du -+- k (k — 1 (a 1 cos u -h at).x k ~ x sin*'*"' u du ;
substituant ces valeurs dans l'équation (1), observant que k[k — 1 )z=zm, et réduisant, il faudra qu’on ait
f o <p"(x cos u ~h at) .x k sin lk ' 1 '' u du z=zJ~* ty'[xços u at) x k ~ l </.sin 2 / 4 o> ; et, en effet, en intégrant par parties, on a
/ Cf>'(A , cosa> + < 7 f).x*'" , </.sm 2 * u zz= <}>'(A-cos^-h-rf/j.** -1 sin 2 * cù jf ab .. ,. , • ioim< 1 -
*- 4 - <J>" (a- cos u -q- at) . a* sin 2 ***' u du :
les deux intégrales définies qui précèdent sont donc identiques, puisque, à raison du facteur sin 1/4 u , le terme compris hors du signe f s’évanouit aux deux limites u=o et u='?r, l’exposant k étant, comme on le suppose, une quantité positive.
Si la seconde racine k' de iéquation (2) est aussi positive, la même transformation s’appliquera à la série qui la contient, et l’on aura, dans ce cas ,
1 zz: x k ^ (J> (a cos cù -f- at ). sin 4/{ ~ 1 cù du
-f- * h ^ (a > cos u H- cit) . sin 2 *'” 'u du ,
pour l’intégrale complète de l’équation (1) sous forme finie.
Sous cette forme, on voit clairement que cette intégrale ne changera réellement pas [n,® 3 ] , si l’on y change le signe de a; car, en y mettant en même temps 7T —u à la place de on aura XIX/ Cahier.
Ff
ANALYSE
1 zz: x k J~ $ (—a- cos « — a t) . sin ' a d g*
H- x k J * ’Ÿ (— x cos u> —- a t ). sin zX '~ ' u d u ;
$ et ‘'L indiquant les deux fonctions arbitraires : or, si Ton suppose 4 >.vzzz<J)( — x ), —.y), cette valeur de £ coïncide identique¬
ment avec la précédente.
[8.] La supposition que nous venons de faire relativement aux racines k et k' de i’équation (2), ne peut avoir lieu que quand chacune d’elles, ou sa partie réelle, est < 1 ; car, d’après cette équation , on doit toujours avoir A-h k'=. 1. Ce cas comprend celui où l’équation (2) a
ses racines égales, ce qui arrive lorsqu’on a —r On a alors
k z=. k' :; et il semble d’abord que l’équation (6) ne soit plus qu’une intégrale particulière de l’équation (1). Cependant on en déduira encore l’intégrale complète, en posant
et ne faisant S^zzzo qu’après avoir préparé convenablement le second membre de cette équation (6).
En effet, en réduisant en série suivant les puissances de ch, nous jurons
* x sin iX “' a> “tfï^i-t-ch.Iog^Ysin 1 . log*(A*sin 2 a)4-&c.J,
** , sin** , ~' a> — a- t ^i— ch.log(x sin* . log 2 (x-sin 2 «) — &c.J ;
au moyen de quoi i’équation (6) deviendra
fl sh si 6 lqmo 3 9 lmj 3 *jîni i iuoo
<}>(.*• cos at) -+-4" (* cos " -H d*)] du
-4- ^ [^( vcos Cà ^~ at )—^ (* cos I°g («vsin 2 o))du
-H 8cç. ; nvAtO LAVA.
ANALYSÉ
îïf
et si l’on fait
il en résultera
1 = X ï J" f [ x COS O) —H ût) d Ci
-f- x ï F(x cos a -+- /) log (.v sin 1 «) « -H /? ;
/? étant une série ordonnée suivant les puissances entières .et positives de JV Or, cette valeur de £ satisfera à l’équation (i), quelle que soit la valeur de et en y regardant f et F comme des fonctions arbitraires, indépendantes l une de l’autre et de cette quantité; faisant donc à présent J^zzzo, nous aurons
Z — xïJ~ f (x cos où -H a /) d a
-t-xïJ'J F [x cos a--h at) Iog(*sin‘«) du ,
pour l’intégrale complète de l’équation (i), dans le cas de mzzz ^ > c’est-à-dire, de l’équation
[9.] Si l’on y fait z = u V x > e ^ e se c ^ an S e en ce ^ e c ^ :
et son intégrale devient
u zzzj * f(x cos u a t) d u
^fo F [x cos u -4— at) log (a: sin 1 u) du.
Cette dernière équation aux différences partielles est celle qui renferme les lois de la propagation du son dans un plan , lorsque les
Ff 2
228 ANALYSE
ondes sonores ont la même intensité dans tous les sens autour de leur point de départ. Son intégrale sous forme finie, déduite de i’intégrale generale que j’ai donnée dans ie Mémoire cité au commencement de celui-ci, serait exprimée au moyen d’intégrales définies doubles, et, pour cette raison , sous une forme moins simple que la précédente.
Les lois des petites oscillations d’une chaîne pesante , suspendue verticalement par une de ses extrémités, homogène et par-tout de ia meme épaisseur, dépendent de deux équations de la forme de celle-ci :
g et / étant deux constantes qui représentent ia gravité et la longueur de la chaîne. En y faisant Y/—y z=:.v, elle devient
d 2 U g ! d 2 li i d u \
elle prend donc la même forme que la précédente , et par conséquent on aura, pour son intégrale complète,
cos a>-+-± t Y g) dcù
+f 0 F [Y l—jf cosa-t-j/ Y g) log (]//—y sin a a) dœ.
L’intégrale que M. Brisson a donnée pour cette même équation (*) , ne comprend que le premier des deux termes de notre valeur de u, pris avec les deux signes de Y g; elle n’est donc qu’une intégrale particulière, et jusqu’ici l’intégrale sous forme finie n’a pas été. donnée en s astreignant à n’employer que des intégrales définies simples.
[ I O.] Lorsque l’une des deux racines de l’équation\(2) séronégative, la transformation du n.° 6 ne conviendra plus à la série qui renferme cette racine, et l’on ne pourra plus obtenir, par l’analyse précédente,
(*) XIV. c Cahier de ce Journal, page 253.
ANALYSE. 229
I intégrale complète, sous forme finie, de l’équation (1). Supposons que k soit la racine négative ; comme on a k' = 1 — A, il faudra que k soit positive et surpasse l’unité : la première série contenue dans le second membre de l’équation (4), continuera donc de s’exprimer sous forme finie ; mettant de plus 1— k à la place de k' dans la seconde, cette équation deviendra
Z — * k f* 9 (* cos cù -f- at) sin ' cù du
x'- A ^x'-hA f t x -j-A\x z -f- &c. ) ,
et elle sera toujours l’intégrale complète de l’équation (1). Substituant aussi A „ et 1 —A à la place de A„ et A dans l’équation (3) , on aura en même temps
et l’expression générale de A'„ sera
2/i — 2.2k — 3.2k —4 . ik—n— 1 * 1.2.3...n *
Si A est un nombre entier quelconque , la série précédente n’aura qu’un nombre fini de termes; mais on a vu dans le n.° 4 q Ue la valeur entière de z devra , dans ce cas, s’exprimer sous forme finie sans le secours des intégrales définies ; il faudra donc que le signe / disparaisse de la première partie de cette valeur ; et c’est, en effet, ce qu’il est aisé de reconnaître d’après la forme de l’intégrale définie qui la compose.
Soit, par exemple, k = z. Mettons à la place de la fonction q> x , le coefficient différentiel du troisième ordre d’une autre fonction arbitraire fx ; et faisons, pour plus de commodité,
df
et ensuite
X — f'" (x cos où -h at) . x 1 sin 3 u du.
analyse.
En intégrant par parties , et observant que le facteur sin « sevanouit aux deux limites, il vient
X 2 f " (* cos u *+* at ) • x s * n u cosc * > d u \
intégrant de même une seconde fois, on aura X=z f'{-x-t-at)-*-2f'(x-*-at) — 2 fjf (.vcos«-^a/)sin« du ; et enfin *
X =2 f (— x-i-dt) -H 2/' (.y-H2 /) - [*-+-“ 0 i
ce qu’il s’agissait de vérifier.
Pour cette valeur de k, l’équation (7) deviendra
2 df[ — X )
II/ \ d\ (* -+• at ) .
ou bien , en faisant
= zf( — x) = Fx,
on aura simplement
1 r t / \ . rrf s\l d[-i [x->t-at)-\- F (x — at)]
valeur de £ qui coïncide avec celle du n.° 4 » pour le cas de k! =z 1, correspondant kk~z.
[il.] On voit ici un exemple remarquable de l’usage des intégrales définies pour la transformation des séries : la première des deux séries contenues dans l’équation (4) se prolonge à l’infini, lorsque k est un nombre entier et positif; or, par l’intermédiaire de l’intégrale définie qui en exprime la valeur, on transforme cette série , quel que soit ce nombre et quelle que soit ia fonction fx, en une série d’un nombre
analyse . 231
fini de termes. Comme cette transformation nous sera utile par la suite, il est bon de l’effectuer d’une manière générale et complète.
Soit donc i un nombre entier et positif quelconque, et supposons quon ait k — Soit aussi
nous indiquerons, comme dans le n.° précédent, par f x, f" x, f u 'x, &c. les coefficiens différentiels successifs de /*, en sorte que j (n) x soit celui de 1 ordre quelconque n ; et enfin nous appellerons X l’intégrale définie q u il s agit de considérer, savoir:
X = - J~ o + [x cos où -4- at) . x** 1 sin' où d où.
Daprès ce quon a vu dans le n. - y , la série infinie qu’elle représente, sera
X — h V"" (xA-at)-hA, xf^> (x-\-at)~\-A x x % /<**+*> [x+at)
- 4 - A i xîf Cli *-* ; (x 4- at) -f- &c. ] ;
b étant un coefficient constant dont la valeur est J"* sin où doù , et la suite des autres coefficiens A tt A it A 3 , &c., ayant pour terme général
Or, par des intégrations par parties suffisamment répétées, et telles que celles dont nous venons de donner un exemple dans le n.° précédent, on obtiendra, quel que soit i, la valeur de X sous forme finie; et en considérant avec un peu d’attention l’intégrale que X représente, il est aisé de voir que Ton parviendra à un résultat de cette forme :
X — CoX- î f(x-+-at)-\-C l x-'- h, f'(x~{-aT)-+-C i x- i + t f ' 1 (x-±-at)-h. . .
.. . H-Ci/ (ix (x^at)
4 - C '0 x~ i f{ c -x-\-at)—C\ x~ t+i f f (— x -t-at)-hC' t x-'^f" (•—.v4-^/)~...
• • • 4 -(— 0 r £* ij (l) (—. y ;
232 ANALYSE
C., C,, c, , &c., C\, C',, C',, &c., étant des coefficiens dont on obtiendra facilement les valeurs pour chaque valeur donnée de i. Mais on peut aussi parvenir à leur expression générale par la considération suivante.
On satisfait à l’équation (1) en prenant Z = X; ce qui ne peut avoir lieu qu autant qu’on y satisfera en prenant séparément pour £, la partie de la dernière valeur de X qui renferme f{x-\-at ) et ses dérivées, ou celle qui contient /(— x~\~at) : si l’on prend, par exemple, la prepremière partie , on aura
Z z=zC 0 x- i f{xA-at)A-C l (x-*-at) A-C x x^f" (x-f
d’où l’on conclut que les coefficiens C 0 , C t , C x . Ci, devront
suivre la même loi que les coefficiens A 0 » A , , A . Ai, du
n.° précédent, relatifs à k=iA-i , et ne différer de ceux-ci que patun facteur commun à toutes ces quantités; cest-à-dire que Ion doit avoir généralement C„=c A' n , c étant un facteur indépendant de //. On aura de même C' n = c'A'„, le facteur c étant aussi indépendant de l’indice n; par conséquent, la valeur précédente de X deviendra
X zzz cx~ l [f(xA-at) A-A ', x f' (x-t -at) Ar A 4 x 2 f (x -A-at)
... -f- A ' i x { f <l) (x —h at ) ] 1
c' x-i [/"(—. xA-a f ) — À , xf (—x~+- a t)A-A' % x 2 f" ( — xH- at) — ...
... +{—iÿA'iX i fÿ(-xA-ai)]i
et il ne restera plus qu’a déterminer c et c .
Pour cela , j’observerai d’abord que l’intégrale représentée par X s’évanouit avec x; à plus forte raison, on aura donc Xx l ~o , quand x=o; d’où l’on conclut d’abord c-t-c'zzzo. Je fais ensuite fx — x 11 ’*' 1 : cette intégrale deviendra
ANALYSE. 233
en se rappelant quon a
b =. J** sin 1,+ ' cù d cù.
Si Ion met cette même valeur de fx dans la valeur précédente de X, et que ion y fasse c = — c et t -= 0, il vient
X— 2 c x 1 *" [ r-t-(2/-b 1 )A\ 1 ). z/.A'z-htii-h 1 ). 2/.(2/'— 1 )A',+-...
égalant donc ces deux valeurs particulières de X > qui ont lieu en même temps, on en déduira
en faisant, pour abréger ,
1 —♦—(2./—1— 1 )^ 4 ', —1—(2./—I— I) .21. A ^ 2 -+~... —(ii—I— I)»2/ (2/— l)(2Η2)...(/-+-2) A ', ^
Nous aurons donc enfin
x = ~j - j /( x^-at) —■/(— x-+-at) -+-A\x[f (x-i-at) -+-/ ' (— x-t-<u) ] -+-A\x 1 [ f" (x-4 -at) —/" ( — . -\-A'iX l [/ ( V (x-\-at)
— (-O'/"'(*H-aO]|;
et si Ton fait, aussi pour abréger,
