f[x^at)-^f{-x^-nt) = P
et que l’on égale cette expression finie de AT à la série infinie citée plus haut, on en conclura
f . A d*">f(x+at) A d*-' + *f(x+at)
Jx | J 4 x %i+i ^ 2 d x *‘+>
A-A 3 x’ -ÏÏ*J 4
XIX/ Cahier . G g
2 34 analyse.
transformation dune série infinie en une série finie , qu’il serait peutêtre difficile d’effectuer sans l’intermédiaire de l’intégrale définie qui en exprime la valeur.
[ I 2.] II existe des valeurs de k pour lesquelles la série contenue dans le second membre de l’équation (7) semble devoir être rejetée , ce qui réduirait cette équation à ne plus exprimer qu’une intégrale particulière de l’équation (1); je veux parler des cas dans lesquels les coefficiens A\ , A\ , A \, &c., des termes de cette série, deviennent tous infinis à partir d’un certain terme ; circonstance qui aura lieu , d’après
l’expression du terme général A' n , lorsque l’on aura k = i H- -j- y
i étant un nombre entier et positif quelconque. Mais on va voir qu’alors on peut supprimer les termes de cette série qui deviendraient infinis , et exprimer le reste sous forme finie, ce qui ramènera à cette forme la valeur entière de £.
Observons d’abord que A z i sera le premier de ces coefficiens qui deviendra infini ; en sorte qu’en supposant n < 2 / , la valeur de A * sera une quantité finie : son expression , déduite de celle du n.° lo ,
en y faisant kzzzi H—j- , sera
et la valeur de 1 pourra s’écrire ainsi :
£ — J* <t> (* cos où A- at) sin 1 ' où doù -hx~ i ^[^x'-i-A' l x^--¥-A', x-^-
en désignant par R une série qui se prolonge à l’infini, savoir :
R zr: x -t-A ,; +l x —- hA ,
rf* 4.' »'
ANALYSE
où l’on fait, pour abréger,
Tous les coefficiens A\i, A a ; +l > A &c., des termes de cette
série seront infinis, à cause du facteur ik 2/ 1 qui se tiou\e
au dénominateur de chacun d’eux. Pour savoir ce que deviendra la série R , désignons par «b une indéterminée, que nous ferons nulle à fin du calcul ; et faisons A — /H ——La valeur du terme général
A' xi + n de cette suite de coefficiens pourra se développer en une sérié ascendante suivant les puissances de ^, qui aura évidemment cette forme :
C n , C\, C"„, &c., étant des quantités indépendantes de que ion déterminera sans peine pour chaque valeur particulière de i indice «. Soit, par exemple, « —o : on aura
— a^. + il)(aW)(î+a^.(ai— i-h**)
et en développant suivant les puissances de J '', on en conclura
Ç'. = —*c.(i h ^ __h T h T. -, "Tr=rr)>
Mais si l’on veut connaître les valeurs de £»» C & c -» en onction de «, il faudra recourir à l’équation (8),. dans laquelle on mettra zi-\-n à la place de //; en y substituant aussi pour k et A »*•+•« leurs valeurs, et égalant ensuite, dans les deux membres, les coefficiens des termes semblables par rapport à on formera une suite déquations aux différences finies, d’où dépendront les valeurs demandées. Il nous
Gg 2
suffira de déterminer celles de C„ et C'„ ; et Ion trouvera de cette manière que ces quantités dépendent des deux équations :
La première coïncide avec celle que nous avons précédemment intégrée [n.° 6], quand on fait dans celle-ci k = / -4- ; d’après cela,
nous aurons
C n = ^ (i — cos où) n SÎI1* # où d où ;
c étant la constante arbitraire. En faisant « = o, on aura C 0 = c sin a< où d où \
ce qui servira à déterminer cette constante , au moyen de la valeur précédente de C 0 .
Pour intégrer la seconde de ces deux équations, soit
Substituant cette valeur et celles de C n et C n -i dans cette équation, et réduisant, il vient
(2/M-2 ï- 1 ) , -+-(«4-2 i)B' n ——zc(~ ( i -cos cos w sin*' où dœ
( — 0 * f*[ l — cosa>)*sin l, a> du.
Quel que soit le nombre entier i, on peut obtenir sous forme iïnie l’intégrale J~ sin 11 » du ; je la supposerai prise de manière qu’elle s’évanouisse quand où-tt, et j’en désignerai la valeur par q ; alors en intégrant par parties , on aura
— >cosu) n s\n l u dod — —(i —cosw)’'”' q sin« du ;
2fic”t;lDnoD
et I équation précédente deviendra
— lc X (i— cos 1 (cosw-h liqsincà) du.
On y satisfera en faisant
B'„ — — 2t(—0 "J- t ( t — cos QV'fV
<2 étant une fonction de « indépendante de //, qui devra être telle que Ion ait
— ( 1 —cos«)” -, (i -i-cos u)Q du (1 — cosû>)*'“ , (i — 2/cos«) Qdu
—(l ^-COSu) n ~ l (cos Ce)-P- 2/^silWi)) duï .
Or, l’intégration par parties donne .
—("“O/o" ( 1 — cos1 ( 1 c °sc«>) Qdu=z —Qsinu d(i — cos »)*” 1
=/ o (1 — cosce))'* - ' ^(2 cosc»)-|-sin c*)-^-S-^« ; au moyen de quoi l’équation qui précède devient
J~ * (1 — cos » J** 1 sine*) — 2/ <2 cos a> j
, noijr/igâp wl etio? founoînoo ?oi\.a 29!
(1—cosctf)””" 1 (cos « H- 2/^ sin«) du ;
d’où l’on conclut
~ d sin u — 2 / <2 cos w = cos « -4- 2/ </ sm û> ;
et, en intégrant,
Q = [q -f- c') sin 1 * u - :
c est la constante arbitraire, et l’on a fdit, pour abréger;
>“biV dicid.j,: ..
Zi f —r~i - dM = q‘, L
J sxnV u “** v
