XIX. e Cahier, Qq
3 o 6 PHYSIQUE
et effectuant l’intégration relative à r, il en résultera une autre fonction également connue de 0 ' et Pour abréger, nous ferons
( 2 n+i)fff Rr f[r, 0 , 40 sin 0 </r</ 8 ^ 4 > z=z <?( 0 ', 4 -') ;
les intégrales étant étendues à la sphère entière, ou prises depuis r=z o, 0 —o , 4,-0, jusqu’à r=l, 0 —vr , \ = 27 C\ et la valeur de v deviendra enfin
- ^ ^ - e~ a ^ ' f* cosfr pcosm) r n+t sin 2a ' , ' , a doo |
(2"-t-i)/ o dr |
En mettant, dans cette expression, 0 et ^ à la place de 0 ' et 4/» on aura la valeur de la quantité V„ qui entre dans la formule (8) du n.° 20, laquelle nous donnera ensuite la valeur de u en fonction de r, 0, 4^ et t » savoir :
u — J££ ( — e " a * ' T* cos (r p cosa>) r” sin î7I+ ‘ co dœ
( fjR'dr J °
Cette expression de u renferme la solution complète du problème que nous nous proposions de résoudre , puisqu’elle fait connaître la température en un point quelconque de la sphère et à tel instant qu’on voudra, et qu’elle ne contient que des quantités qui sont censées données , ou calculables d’après des quantités données , dans chaque cas particulier. Les deux sommes successives indiquées par des S, se rapportent , la première à toutes les valeurs réelles et positives de f , tirées de l’équation (13), lesquelles seront des fonctions de n, et la seconde à toutes les valeurs entières et positives de 11, depuis n=n o jusqu’à « — 00. Cet exposant n étant un nombre entier et positif, l’intégrale relative à cù qui est indiquée explicitement dans la valeur de u, pourra s’obtenir sous forme finie , par les règles ordinaires , et il en sera de
même à l’égard de l’intégrale^y^ R 1 dr; par conséquent il ne restera, pour former un terme quelconque de la valeur de u , qu a effectuer
l’intégrale triple d’où dépend la fonction Cf), intégrale qui dépend ellemême de la forme de la fonction f, ou de l’état initial de la sphère.
Comme l’expression que nous trouvons pour u convient à toutes les valeurs de t, elle doit aussi représenter la valeur initiale et donnée de cette quantité, quand on y fait tzzzo. Ainsi, ion doit avoir
quelle que soit la fonction f; mais dans les usages que l’on pourra faire de cette formule, il ne faudra pas oublier quelle n’a lieu , comme toutes les formules de la même nature, que pour une étendue limitée des valeurs des variables : elle ne subsiste que pour les valeurs de r , 0 et 4-> comprises depuis r=:o, 0 = o, ^ = 0, jusqu’à r=l, 0=7r, 4,=2TT ; et elle suppose, i.° que les variables 0 et 4- disparaissent de /(r, 0,^)» quand on y fait r= o ; 2 0 que cette fonction devient indépendante de 4-» aux deux limites 0 = o et 0 = vr ; 3. 0 que ses valeurs correspondantes à 4-— o et 4'— 27 T , sont égales entre-elles (*). Elle n’a pas lieu à la limite même r —/, à moins que la fonction y ne satisfasse à la condition relative à fa surface, cest-à-dire, a moins quelle
ne soit telle qu’on ait -\-bf~ o pour r=l : quand cette condition n’est pas remplie, l’équation relative à la surface n’a pas lieu dès le premier instant que le corps commence à rayonner ; elle s’établit après un très-court intervalle de temps [n. # 4] î et ce nest q ua partir de cette époque que la valeur de u, donnée par l’équation ( ip), peut s'appliquer à la surface de la sphère en y faisant r=-l.
[32.] Lorsque la fonction f(r, 0 , 4 /) , ou la valeur initiale de u , sera indépendante des angles 0 et 4- » la valeur de u à un instant quelconque , devra l’être aussi, et elle devra coïncider avec celle que nous
^ ^ ■ /* T cos (r p cos w)r w sin 18 " f ' , cùdu
fjR'dr J ' f
(*) N.° 4 de l ’Addition au premier Mémoire.
avons donnée dans le premier Mémoire , pour le cas d une sphere homogène, dont tous ies points également éloignés du centre sont egalement échauffés; Cest, en effet, ce qu’il est aisé de vérifier.
Mettons fr à la place de f[r, 0 , ^), dans la valeur de q> (G', ^ ) ; elle deviendra
<p( 0 ', 4/) = [ff P n sin 9 </ô d\)fj Rfr.rdr;
mais par la nature des coefficiens dont P n est le terme général [n.° 20], l’intégrale double relative à ô et est nulle P our toutes Ies valeurs de n, excepté n= o; et dans ce cas, on a
P 0 = 1, f'fsmbdbd\z=.J'\ïnbdüf'* d^ = 4 'pr,
on a en même temps
P —J * cos (r f cos«) r sin où du = ~ sin r f ;
la fonction cp sera donc aussi nulle pour toutes les valeurs de n, ex 3 cepté pour // zizo, cas dans lequel on aura
L‘ s ' n r r-f r - rdr -
II suit de là que la valeur de u, donnée par l’équation (19), se réduira à la partie qui répond à n — o, laquelle sera, en effectuant l’intégration relative à co qui y est indiquée , et mettant pour R sa valeur ,
r’ sin Tf.fr. rdr •
-- s — * sin r / \ •
/ 1 sin! r fdr
la somme S s’étendant à toutes les racines réelles et positives de l’équation (13)» où l’ on aura w = °> ce qui la réduit à
[A/cos (//cos Où) — fl cosw sin (//cosco)] sin a> z=z o ; +
équation qui devient, en effectuant l’intégration indiquée, et multipliant
tous les termes par { fl,
(bl — i)sin / -f- fl cos fl — o.
On en déduit
, o / , I — bl
sin P1 = ^ - , cos pl — — ■ •
J yW-M*' — i)* 1 — i)* ’
d’où il résulte
f o 1 sin'r f dr = -i. (/ /- sin / / cos / /) = -f /. .
et par conséquent
rg = -T S [yrJ'Æ/^ ) .‘) {fJ^rf-fr.rdr)e-“ ' 'sin r/] ;
formule qui coïncide avec celle du premier Mémoire (*).
Quel que soit l’état initial de la sphère, la température qui répond à son centre, doit toujours être indépendante de 0 et ^ , puisque ces angles ont leur sommet en ce point; et, en effet, dans le cas de r=o, il ne reste dans le second membre de l'équation (ip) , que les termes qui répondent à //=o, lesquels ne contiennent pas les variables 0 et La valeur de a relative à ce point, pourra se déduire de la formule précédente , pourvu que l’on y remplace fr par ----- J'J'f [r, 0, sin0*/0<AJ, f
ou, ce qui est la même chose, en y regardant fr comme exprimant la moyenne des températures initiales à la distance quelconque r du centre : dans le cas de r~ :o, cette formule donne , pour la température relative au centre de la sphère,
r 2 j> x r + [bl—iy (fl . r ■ \ -j
^ — -+-*/(*/-,) [J o sin Tf.fr.rdrjfe J.
[ 33 *] Si aucune des racines de l’équation (13) n’est égale à zéro, tous les termes de la valeur générale de a décroîtront indéfiniment à
(*) Page 113 de ce volume.
3 io PHYSIQUE
mesure que le temps augmentera ; et après un temps plus ou moins considérable, la valeur entière de u sera sensiblement nulle, et tous les points de la sphère auront pris la température zéro quon a supposée être celle du milieu extérieur. Mais parmi tous les termes de la double série qui exprime la valeur de u , celui qui répond à la plus petite des racines de l’équation (13)» décroîtra moins rapidement que tous les autres, de telle sorte qu’au bout d’un certain temps il aura encore des valeurs sensibles, tous les autres étant déjà sensiblement nuis. A partir de cette époque, on pourra réduire la valeur de « à un seul terme; d’où il résultera que le temps continuant à croître par degrés égaux , les températures des points de la sphère décroîtront suivant une progression géométrique, dont le rapport sera le même pour tous , et ne dépendra que de la matière du corps et de la nature de sa surface , et nullement de là distribution initiale de la chaleur.
Lorsque zéro sera une des racines de l’équation (13), le terme correspondant de la valeur de u sera constant par rapport à t , et sa valeur entière tendra de plus en plus à se réduire à ce seul terme. Or , la racine ^none peut appartenir à lequation (13), à moins qu’on n’ait bl-\- n — o ; ce qui suppose n=z o et b = o, puisque b et n sont des quantités qui ne peuvent être négatives : cette circonstance n aura donc lieu que dans le cas où le rayonnement extérieur sera suppose nul ; cas dans lequel il est évident que tous les points de la sphère doivent tendre vers une température constante et égale à la moyenne de leurs températures initiales.
Pour le vérifier, observons qu’on ne doit prendre que la moitié du terme, qui répond à f — o [n.° 25]; mais, d’un autre côté, dans le cas de bl-\-n = o, cette valeur de j> est une racine double de l’équation (13) ; H faudra donc répéter deux fois ce demi-terme. D’ailleurs, en faisant // — o et f = o, on aura
R—ir, f l R 1 dr == ,
q> (0', ^') ~ 2 J'J~J~f{ T > 40 r*sinô dr db d\ ;
MATHÉMATIQUE. 5 1 r
et le terme correspondant de u, ou la valeur finale de cette température, sera
« = -jïjt fff’f(r, fl, 4) r' sin fl dr d 9 d\ ;
ce qui est bien, en effet, la moyenne des températures initiales de tous les points de la sphère.
Si le produit bl est très-petit, soit à raison du facteur b, soit à cause du rayon / de ia sphère, la plus petite valeur de fl , tirée de i’équation (13), sera aussi très-petite; elle répondra à n — o, et Ion trouvera pour sa valeur approchée
f 1 = VJbl , OU f — j/ii.
Dans le terme correspondant de a, le coefficient de l'exponentielle sera à très-peu près le même que si le produit fl était tout-à-fait nul ; sa valeur sera donc, comme dans le cas précédent, la moyenne de toutes les températures initiales; et en désignant, pour abréger, cette moyenne par A , la valeur finale de u exprimée par ce terme sera
ce qui s’accorde avec la formule donnée dans le n.° 75 du premier Mémoire , et applicable à tous les corps de petites dimensions. Dans le cas où c est, en effet, le rayon / qui est très-petit, toutes les autres valeurs de / sont en raison inverse de l, et la valeur de u se réduit très-promptement à la précédente.
[ 3 4-j résolution de l’équation (13) étant un des points principaux du calcul de la valeur a en série, il est bon d’entrer ici dans quelques détails sur sa forme et sur le calcul de ses racines.
Eti faisant ctrro, Fx ~ s i n * , et mettant n à la place de i dans l’équation (12) du Mémoire précédent (*), on a
(*) Page 246 de ce volume.
cos (x-cosc^sin 48 * 1
/ -, sin x j a ^ s * n *
adct^ikx-^-'ysinx-hA^-j^ — \rA x x - 77 ^
. d n sin x \
k désignant une constante dont la valeur ne dépend que de n, et . > A,, A,, 8 c c., étant une série de coefficiens dont le terme général, correspondant à l’indice quelconque i, est
Ai' == - 2 n.2n—i.2n—2.2n-—l -+ 1.2.3...i
Cette formule différenciée par rapport à *, et multipliée ensuite par
— x, donne
J'J sin (*cos») sin‘*' < " ucosutdu — kx~ l% *[(2/M-i) s*n*
t- [znA,-l)x ^- + [( 2 »-.)^-^,]^ 44
t d* sin x
r " + 1 sin x “j
Si l’on fait x= fl dans ces deux formules, on aura, sous forme finie, les valeurs des deux parties de l’intégrale définie qui forme le premier membre de l’équation (i 3) : au moyen de ces valeurs, cette équation ,
multipliée par -L( f I )”* 1 , deviendra
— [A,-h(6l— n-h^)A 6 ]/1 6 -+- .l sin W
-H [i-*-{bl-n)A > ]-[A i +{ll-nA-i)A i }f'l'
.j flcosfl—o. (20)
Elle a alors l’avantage d’être écrite sous forme finie, sans le secours des intégrales définies ; et l’on peut aisément vérifier que, sous cette forme,
elle coïncide avec celle que M. Laplace a donnée (*) , en résolvant d’une autre manière le problème qui fait l’objet de ce §.
Dans le cas de tizzzo', tous les coefficiens A x , A lt A if &c. , sont nuis, et cette équation se réduit à
( bl — 1 ) sm fl fie os fl= o.
Dans le cas de //= 1 , on a A l z=z — 1 ; tous les autres coefficiens sont nuis, et elle devient
(bl — 2 -H f x /*) sin fl — (bl — 2) fl cos fl = o.
Si l’on fait encore // = 2 , on aura A l =. — 1 , A x =-ÿ- ; les coefficiens suivans seront nuis, et l’équation sera
p/—3- y(bl —4) / a /*Jsin fl — [bl —3-f--^- f' l'~^ fl cos fl — o ;
et ainsi de suite.
Lorsque le produit bl sera donné numériquement, on trouvera par des essais les valeurs approchées des racines de ces diverses équations, en commençant par les plus petites ; et quand elles seront devenues très - grandes , on aura ces valeurs plus simplement de cette autre manière.
Supposons que fl soit une très-grande quantité; et si 11 est aussi un très-grand nombre, supposons que la valeur de fl soit très-grande par rapport à 11: quoique les coefficiens A lt A lt A } , &c., forment une suite décroissante , et qu’ils soient très-petits quand ils répondent à un indice très-élevé, néanmoins le terme qui contient la plus haute puissance de fl dans i équation (20), sera très - grand par rapport à tous les autres, en sorte qu’on pourra le conserver seul dans une première approximation ; alors si n est pair, cette équation se réduira à (fl) x 1 , s\nflzzzo, et s’il est impair, à (//) lB+1 cos//=° î 0,1 au ra
donc flz=zn 7r dans le premier cas, et ^>/ =-4"(i 2,; "+ I ) 7r dans le
H Additions à la Connaissants des temps pour l’année 1823 , page 251.
XIX/ Cahier. Rr
3 i4 physique
second ; n étant un très-grand nombre entier , afin que ia valeur de fl soit aussi très-grande. En faisant ensuite //=«'tt-+- et, ou //= i ( 7r-f-ct, substituant dans l’équation (20) et négligeant les
puissances de cl supérieures à la première, on en tirera sans peine la valeur de ce; et ainsi de suite, par la méthode connue dès approximations successives.
[35.] On peut aussi mettre l’équation (13) sous une autre forme, qui ne suppose pas, comme la précédente, que n soit un nombre entier. Pour ce l'a soit fl—x, et faisons généralement
sin 1 ”~ h ‘ cos ir o) J œ — Bir
i étant un nombre entier et positif. En développant le premier membre de l’équation (13) suivant les puissances de x, on aura
B 0 {bl-hn) — — i-B^bl-t-n-h 4 ) 77^4 &c - — °-
D’ailleurs, en intégrant par parties , il vient
B, = î£kl B -' — B à ’
ou*, ce qui est la meme chose ,
d’où l’on conclut
Soit donc généralement
notre équation deviendra
C 7 0 —7 C, -H y 1 C x — y } h- &c. — o , où l’on a fait, pour abréger, —2 y. Quoique de cette manière , elle
ne soit pas sous forme finie , sa forme sera cependant plus commode que celle du n.° précédent, pour la détermination approchée des racines qui ne sont pas très-grandes ; et a cause que les coelficiens Co>
C x , C ]t &c., forment une série qui décroît avec une grande rapidité, on n’aura jamais besoin d’avoir egard qua un petit nombre des piemîers termes de cette équation.
[36.] Parmi les racines de l’équation (13), la plus petite est celle qu’il importe le plus de connaître, puisque c’est d’elle que dépend la loi de température qui précède le refroidissement total de la sphère , or, quand le produit bl est très-grand , on peut démontrer que cette racine est très-peu différente de 7 r, et quelle répond à // = o.
En effet, dans ce cas, l’équation (13) se réduit, à très-peu près, à
J~* cos (fl cos «) sin 1B + ' « :
les élémens de cette intégrale qui répondent à u et tt <*>, étant égaux et de même signe, on pourra se borner à la prendre, depuis o
jusqu’à o) = — vr ; et si l’on fait, en outre, // — x et x cos w Z* on aura
fy m cos Z j z = °-
Si l’on supposait x< 4~7T, tous les élémens de cette intégrale seraient positifs, et l’intégrale ne serait pas nulle ; si la valeur de x- était comprise entre et tt, ces élémens seraient positifs depuis z = ° jusqu’à , et négatifs depuis ç — jusqu’à z~x; mais *
étant une quantité positive et <x- tc , l’élément négatif qui répond
à serait plus petit que l’élément positif qui répond à
ç — — x , à cause du facteur ^1-; donc une valeur de x
comprise dans le second quart de la circonférence , ne saurait non plus rendre nulle l’intégrale précédente; et si l’exposant n n est pas nul, il en sera de même à l’égard de la valeur particulière a—tt. Dans
Rr 2
le cas de «~o, cette intégrale a pour valeur sin*; elle est donc nulle pour x = vr ; donc le produit bl élant très-grand, la plus petite racine de l’équation (13) répond à // = o , et sa valeur approchée est fl ~ 7 T.
Pour en avoir, dans le même cas, une valeur plus approchée, nous ferons //= 7rH—substituant cette valeur dans l’équation (1 3), faisant 11=0 , et négligeant les termes qui ont bl pour diviseur, on aura
( cl -f- tc ) J "* sin ( 7r cos ce) cos o) dcè = o ; d’où l’on tire et = — vr , et par conséquent
[37.] Si nous réduisons la partie de ru qui répond à «= o [n.° 32], au seul terme correspondant à cette plus petite racine, le facteur sin fr qui varie avec r, deviendra
t r t r vr r
sin f r sin —j - yjr cos —•
A la surface où l’on a rzzzl, le premier terme de cette valeur s’évanouit , et c’est pour cette raison qu’il est nécessaire de conserver le second terme ; mais dans le coefficient de sin j> r , on pourra se contenter de faire fl=vr; observant de plus que quand bl est très-grand, on a sensiblement
on aura, pour le terme demandé,
— a x Tt x t
formule dans laquelle fr représente la moyenne des températures initiales à la distance r du centre de la sphère.
Supposons que, dans le produit bl, ce soit le facteur î qui soit trèsgrand, et considérons particulièrement les points de ia sphère dont la distance à ia surface est très - petite par rapport au rayon /. Soit x cette distance pour un de ces points; en faisant r=/— a-, nous aurons, à très-peu près ,
a % ir 1 t
u J .rdr)c ‘‘ (l-+- 4 *);
et si, par exemple, fr est une constante c, cette valeur de u deviendra
La température finale qui a fieu au centre de la sphère, ou qui répond à r=o, aura pour valeur
n fr.rdr)e~ r ■
elle sera très-grande par rapport à ia température correspondante de la surface : en comparant leurs valeurs, on voit que lune est à l’autre comme bl est à l’unité.
II est bien entendu que ces diverses formules ne représenteront l’état de la sphère , que quand le temps sera devenu , non-seulement trèsgrand en lui-même, mais tel que a't surpasse V et en contienne plusieurs fois la valeur ; or, le rayon l étant supposé très-grand , étant, par exemple, égal à celui de la terre, ce ne sera qu’après un temps immense que la sphère parviendra à cet état final : jusque-là on ne pourra pas réduire ia formule (ip) à un seul terme; au contraire, cette double série sera très-peu convergente, tant que a\/t ne sera pas comparable à /; et l’on sera obligé d’en calculer un grand nombre de termes, pour en déduire la valeur approchée de //. Mais si l’on se borne à considérer les points de la sphère dont les distances à la surface sont très-petites par rapport au rayon, il est évident que leurs tem-
3 i8 physique
pératures devront être sensiblement les mêmes que si le rayon était tout-à-fait infini; en sorte qu'on pourra les déterminer en transformant la formule (19) en ce quelle devient à cette limite; ce qui rendra plus facile le calcul de leurs valeurs. Cela revient à remplacer la sphère par un corps terminé par un plan, et qui s’étend à l’infini dans tous les sens , d’un côté de ce plan. Nous avons donné pour un tel corps, dans le n.° 65 du premier Mémoire , l’expression des températures a un instant quelconque, lorsque les températures initiales 11e dépendent que de la distance à sa surface ; il est facile d’étendre cette expression au cas où les températures varient aussi d’une manière quelconque, parallèlement à la surface; et c’est ce que ïious ferons'dans le 1V. C 5. de ce Mémoire.
[38.] Jusqu’ici nous avons supposé la sphère placée dans un milieu dont la température est constante et prise pour le zéro de l’échelle thermométrique ; nous allons maintenant examiner le cas où cette température est variable. Par un moyen semblable à celui que nous avons employé dans le 1V. C S- du premier Mémoire, on ramènera facilement ce cas à celui que nous venons de traiter, soit que la température extérieure varie d’un point a un autre de la surface sphérique, soit quelle varie en outre avec le temps d’une manière quelconque.
Supposons d’abord que la quantité q du n.° 20 contienne un terme A e~ mt / dans lequel A et m sont des constantes par rapport au temps, qui peuvent dépendre l’une et fautre du nombre //. Nous représenterons par Qe~ ml lê terme correspondant de la valeur de v, le coefficient Q étant une fonction de r assujettie à devenir nulle, quand r^o; substituant ce terme à la place de v , dans l’équation (5), on aur3
et dans l’équation { 6 ), relative à la surface, il viendra
équations dont la première aura lieu pour toutes les vai'eurs de r, et la seconde seulement pour rin/. La valeur de Q se déduira évidemment
de celle de R du n.° 27, en y faisant f , et la multipliant par
une constante qui se déterminera au moyen de la dernière équation. De cette manière, on trouve, pour le terme de v que nous considérons,
v = \ n -, • e ~ mt cos (”T“ cos ") a , ( 2 0
où l’on a fait, pour abréger,
/"[( 5 ^;;)cosf 4 - cos cos a> sin^—— cosc^J sin 1,M ' , «
Chaque terme de la forme A e~ mt qui entrera dans la valeur de q , en produira un semblable au précédent dans la valeur de v ; or , si l’on donne à m des valeurs imaginaires, c’est-à-dire, si Ion change l’exponentielle en sinus et cosinus d’arcs réels, on pourra toujours représenter la valeur de q en fonction de t, par une somme de termes de cette nature, en composant cette somme d’un nombre infini d élémens infiniment petits [11. 0 35 du premier Mémoire] ; donc, quelle que soit cette fonction, 011 pourra former la valeur correspondante de y; d’où l’on conclura ensuite immédiatement la valeur de u [n. 20], ou du moins la portion de cette valeur qui répond aux variations de la température extérieure. Cette partie du problème peut donc se résoudre dans toute sa généralité, sans autre difficulté que la complication des formules que l’on aurait à écrire : nous nous bornerons, dans les n.°* suivans, à donner un exemple du cas où la température extérieure varie avec le temps, et à traiter, d’une manière complète, le cas particulier où elle est constante pour chaque point de la surface, et ne varie qu’en passant d’un point à un autre.
[39.] Prenons pour exemple le cas où la température extérieure est exprimée par
Ç = ( h -d- g cos 1 ô ) sin ( <t / -1- * ) >
h, g, et et e étant des constantes données et indépendantes de G et •[. Par les propriétés connues des coefficiens dont P„ est le terme geneial, on aura
q — fj Ç P n sin 0 d G d = 0 »
excepté pour les deux valeurs particulières «r:o et «= 2, Pour ces deux cas, on a
P o — i , P x — \ [cosG cosG'-f- sin G sinG' cos^ — V)]' r »
et en effectuant les intégrations dont les limites sont 0 = o et G = '7T, = et ^=2 vr , on trouve q = 4 TT (h -4- -y g) sin , quand n = o;
^ = i^£(3 COS 1 G' — i) sin (ce r-f- 0 * quand n = 2.
On aura en meme temps
/ T cos ( 4 =- COS «) sin « </* = Sin (-^--) ,
-t / r/ffl \ . 1 j ( a% r ^ m a r ^ m
/. cos (4- cos «) «n» »</« = ^ U? s,n —- 77 » cos ~
-f sin th-) J" T sin s a d a ;
appelant Af 0 et Af* les valeurs de M qui répondent à n — o et n — 2, on aura aussi
IVm l Vm
cos-
- ( (*■ 7 ~3) -f) ^ cos nr]. L ' sin ’“ d ' " :
et en faisant successivement dans ces formules , m = et )/—i et
m —, nous aurons tous les élémens nécessaires pour former
les valeurs de v, correspondantes à //mo et //~2 : changeant, dans
ces valeurs, G' en G, elles deviendront les valeurs de V. et K a , que ion substituera dans la formule (8) du n.° 20, pour avoir 1 expression de u quil s’agit d’obtenir, savoir :
Cette expression sera encore très-compliquée ; elle n’aura d application utile que dans le cas où le rayon / sera très-grand, et où Ion ne considérera que des points qui ne soient pas très - éloignés de la surface, en sorte que leur distance au centre soit aussi très-grande ; nous nous contenterons donc de former la valeur de u dans cette hypothèse, qui est d’ailleurs très-propre à la simplifier.
D’abord, à raison de la grandeur de r et /, nous aurons, à très-peu près,
r Vm
Mo
Mi
( rVm \ . ,
