XIX: Cahier. Pp
PHYSIQUE = 2 arc ( tang = -y) ;
et, quelle que soit la grandeur de <h, cette intégrale sera simplement égale à 7r, lorsqu’on fera g—o ; d’où il résulte
Par la nature de notre analyse , on ne doit prendre pour f que les racines réelles et positives de l’équation f{j> j/—1) —o, puisque, dans l’intégration relative à et, cette variable ne devait recevoir que de semblables valeurs , et que les racines de cette équation ne sont ici que de certaines valeurs particulières de et. O11 est donc dispensé d’examiner si cette équation admet des racines imaginaires, ce qui est un avantage de la méthode que nous suivons; avantage d’autant plus important, qu'il n’y a pas de moyens, en général, de s’assurer de la réalité de toutes les racines d’une équation transcendante, et particulièrement de l’équation dont il s’agit. Pour la racine /“ o, on ne prendra que la moitié du terme correspondant de la somme S ; car , pour cette valeur de f , l’intégrale relative à a/ ne doit être prise que depuis a! irzo jusqu’à a,'=-h fi , afin que les valeurs de cl soient toujours positives : circonstance qui réduit à moitié, ou à ~ 7 C , la valeur de cette intégrale.
[26.] Comme on a = et F h =~ [Fh—F(-r> Æ)] ,
il sera aisé de faire disparaître les imaginaires dans l’équation f(f Y-^T) — o , et dans les quantités Y^\ et Y^î F [f Y^\)-
Cette équation devient alors
[(b l-i~n)cos[ f I cos ci ))—f /cosasin (y?/cos o^sin 1 "*' code*— o ;
et l'on aura en même temps
f (fY —1 ) = )/— 1 [ ( à/-t- // -f- 1 ) s in (// cos où)
-h f/coscù cos ( f l cos o»)] sin * ** 1 ou cos où du ,
F(fV~)=-^-J'J[f o l ((£/-+-«) sin [(/— y) f coswj
H- //cosw cos [(/—y) /COS 6 >]) 4 / (>' cos w Wk] s ‘ naB ’ + 'ucosudu, où l’on a fait, pour abréger,
<ty -+■ <f {—y) = 4 *y-
Si Ton substitue ces valeurs dans le second membre de l’équation (12), et que l’on y mette aussi pour P ce que devient cette quantité [n.° 23] quand on y fait et”/, on aura
v z=. r n * +M X e~ a S cos (r/cos«) sin** +l u du J ;
le coefficient N ayant pour expression
[ y^ / [(^/-l-n)sin((/—j>cosa)-» r ^cos6)COs((/- : y)jK:osœ)]| (ycos^j sin a -« «c<W«
/(j»/cosû>)h- j>/cos«cos(j>/cos û>) «cosarfa
Cette fonction ^y est encore arbitraire ; seulement, daprès ce qu elle représente, ses valeurs sont égales pour des valeurs de y égalés et de signes contraires. II suffirait quelles fussent données depuis y = o jusqu’à / = /, pour que le coefficient N, et par suite les valeurs de v , lussent entièrement connues ; or, si ion fait tzno dans 1 expression de v du n.° 21 , et que l’on représente par v = Fr la valeur initiale de cette quantité, on aura
Fr — j/V r”*' <}> (rcos u) sin xn+ ‘ u du ;
ou bien , à cause que <p (r cos.w) -+- <f> (— r cos cos &>) =: %|/(rcos «) , cette valeur de Fr est la même chose que
Frzzz ±\/' 7 C r 8 * 1 fj (rcosa) sin 1,+ ' u du ;
et c’est cette équation qui devrait servir à déterminer la fonction •]/
Pp 2
d après la fonction F; ce qui se ferait assez simplement pour les valeurs les plus simples de n, telles que // = o, n — \ , &c. Mais sans s’arrêter à cette détermination , on peut obtenir , comme on va le voir, une autre valeur de N qui ne renfermera pas la fonction ^ » et sera exprimée directement au moyen de la fonction F dont les valeurs sont censées données depuis r=o jusqu’à r — /
[27.] Il est nécessaire, auparavant, de vérifier que la valeur précédente de v en série d’exponentielles, satisfait aux équations (5) et (7) du n.° 20 ; ce qui doit avoir lieu séparément pour chacun de ses termes. Or, si l’on fait
rn * l Jl cos (rf cosa>) sin 4 **' a> dcù = R ,
et que l’on substitue dans l’équation (5) le terme quelconque v = N R e~ a%J>x *,
il faudra qu’on ait
fR
équation à laquelle la valeur de R satisfait effectivement, quelles que soient les constantes f et n, pourvu seulement que la seconde soit positive. C’est ce qu’on reconnaît, en observant qu’on a
dl R O r>
cos (r f cos cù ) sin afl ' + ' ,
Cù COS* Cù d Cù
— 2 ( n + i) fl* ùn[r f cos&>)sin 2 ” + ' u> cos u du ; d’ailleurs, l’inlégration par partie donne
2 (n-hi) f r" JJûn ( rfcosa) sin*"' 1 '' ucosu do
— r "*'cos [r j, cos ui) sin a d(>
d où Jl résulte
MATHÉMATIQUE. ' 30 i
--- R=z—y r” +, y^ 7r cos (r f cos o>) sin 18+I u>du =—f 'R ;
ce qui coïncide avec l’équation (14)-
Tous les termes de la valeur de v s’évanouissent en même temps que v, ce qui vérifie la seconde équation (7). Quant à la première, pour qu un terme quelconque de la valeur de v y satisfasse, il faut qu’on ait
pour la valeur particulière r—/ ; or, c’est en effet ce qui a lieu , en vertu de l’équation (13), dont f est une racine.
[28.] Ces diverses vérifications étant faites, multiplions l’équation (5) par Rdr, puis intégrons ses deux membres depuis rzzzo jusqu’à r = /; nous aurons
d.J^Rvdr
= a ‘[fo' RJ 7^ lir -< n - ht )f a l ~T~~ ]"
En intégrant par partie, il vient
TT
A la limite r=ro, 011 a Rz=zo et v = o; à l’autre extrémité rnz/.
les valeurs de
dr et -j r •, tirées de la première équation (7) et de
l’équation (1 3), donnent R - v — J* r — o ; les termes compris
hors du signe f dans le second membre de l’équation précédente, disparaissent donc à ces deux limites, et l’on a simplement
-dr
J‘ R , v -T7- dr -
Il en résulte
d . J q 1 Rvdr
dt
ou, ce qui est ia même chose en vertu de 1 équation (t 4 ).
d.fjRvd
dt
— ——a' // ' Rvdr;
d’où l’on tire, en intégrant,
J~jRvdr — Ce a * * ;
£7 étant la constante arbitraire, laquelle se déterminera en observant que l’on a supposé vz —Fr, quand r = o : cela fait, on aura
fj Rvdrz=e~‘‘ S "' fj RFrdr. (t 6)
Cette propriété remarquable de la quantité v se démontre, comme on voit, sans qu’on ait besoin de connaître l’intégrale de l’équation (5) : elle a lieu pour toutes les valeurs de /, tirées de l’équation (15); et elle va nous servir à déterminer le coefficient N, en fonction de f et de n.
[29.] Soit, en effet, /' une racine quelconque réelle et positive de l’équation (13)» laquelle sera, en général, différente de j>. Désignons par R' et N' les valeurs de R et TV qui répondent à cette racine /' ; la valeur de v du n.° 26 pourra s’écrire ainsi :
v = X N' R' e- axJ3,tt ;
la somme £ s’étendant à toutes les valeurs de y compris f 1 = f. Si l’on substitue cette valeur dans l’équation (16), on aura
[fo RR '^ r ) e ~' S ’] = e “ * ' fj RFrdr;
or, cette équation devant être identique, le terme qui renferme l’exponentielle e~ atJ>xt est le seul qui doit rester dans le premier membre; il faut donc quon ait
f l RR' dr — o , (17)
tant que f et f' sont deux racines différentes de l’équation (13)» et le
premier membre de 1 équation précédente étant ainsi réduit à un seul terme, on en conclura
fj RFrd
valeur de N qui ne contient que des quantités connues.
L’équation (17) renferme une propriété de l’intégrale représentée par R. qui subsiste sans que // ait besoin d’être un nombre entier, et qui serait d’autant plus difficile à vérifier d’une manière générale , que , dans le cas de n fractionnaire, cette intégrale R ne peut s’exprimer sous forme finie en fonction de r.
[30.] Avant d’employer cette valeur de N pour former celle de v, observons quelle doit être équivalente à la valeur du même coefficient N, que nous avions d’abord obtenue. Pour comparer entre elles ces deux expressions, nous mettrons dans la précédente, à la place de Fr, sa valeur exprimée au moyen de la fonction ^ » comme dans le n.° 26; égalant ensuite les deux valeurs de N, nous aurons
~WJï \fo' sin [( / — ^)/>cosa]
—H flcoscù cos [(/—y) y cos «^(ycoso)) dy Jsin* n ^ x «cos « du
1 y" | 4(rcos«)sin‘ w+ W«]/?r H +' dr
2 f lR '* r
où l’on a fait, pour abréger,
yr [(*'+•■*• i ) sin [fl cos cù )
-H fl cos« cos [fl cos cà) J sin* 1 a cos u> du> = M.
Cette équation doit être admise comme une conséquence de notre analyse : elle subsistera pour toutes les valeurs de f tirées de i’équa-
304 physique
tion (13) ; et Ion y peut mettre pour telle fonction que ion voudra ; mais on ne voit aucun moyen de vérifier ce résultat dans toute sa généralité. Pour en donner une application, désignons par m une constante quelconque, et prenons J/yzz: cos my; -l’intégrale relative à y , contenue dans le premier membre de cette équation , sobtiendra par les règles ordinaires; et si l’on en simplifie la valeur, en ayant égard à l’équation (13), on trouvera
( f ‘ -) M '// [ ( * ' 1 ” ) COS ( m 1 COS “ )
— ml cosu sin (/;// cos«) J sin 1 "’ 4 ' 1 u du *
/ f Z [S ^ cos ( m r cos a ) s * nl * + ' u du~^ Rr”*' dr
= " f 1 R'dr
L’intégrale dépendante de m, que contient le premier membre de cette équation , est nulle toutes les fois que m est une racine de l’équation (13); et,, dans ce cas, le numérateur du second membre est aussi nul , en général, en vertu de l’équation (17). Quand cette racine est la même que f , le second membre est égal à l -l; le premier se présente sous la forme ° z , et si l’on en détermine la valeur par la règle connue, on le trouve égal à z l; ce qui peut servir de vérification à nos calculs.
En faisant mz=o, l’équation précédente donne
f 1 R 1 dr =
f l Rr'
dr ;
d’ailleurs, si l’on multiplie l’équation (14) par r’ , ~ h ' dr, que l’on intègre tous se.s termes par rapport à r, et que l’on effectue, sur le premier, deux intégrations par parties, on aura
r n +' -(//-El ) r n R -f- f 1 JR r** 1 *' dr = o.
Les termes contenus hors du signe f, s’évanouissent à la limite r=o; d R
pour r—l, la valeur de -jy est donnée par l’équation (1 5) ; et en
substituant cette valeur et celle de R dans l’équation précédente , on en déduit
R r**' dr =. cos (//cosw) sin*” -4 *' a do* ,
et, par conséquent,
J^ 1 R 1 dr = cos (^/ cos «) sin a,, ' 4 ' , où du. (18)
Ce résultat réduit le calcul de l’intégrale Ç R x dr à celui de deux
intégrales beaucoup plus simples, en y comprenant celle que M représente; il pourra donc servir, en général, à simplifier le calcul de la valeur précédente du coefficient N; mais il nous sera sur-tout d’une grande utilité, dans le cas où le rayon 1 sera très-grand et devra être traité comme infini, ainsi qu’on en verra un exemple à la fin du Ssuivant.
[31.] Au moyen de cette valeur de N, l’expression de v du n. e 26 devient
( C 1 R Fr dr t )
V zzz S <—-— - e a * f cos (r pcosoo) r ”" 4 ’ 1 sin 1 ”'*' ' c*> dut l*
(/>" J ° 1 Si nous représentons par/(r, 0 , ^), la température initiale et donnée du point de la sphère qui répond aux coordonnées quelconques r, 9 et 4^» en sorte que Ion ait
quand t- zo, il s’ensuivra pour la valeur initiale de v, d’après le n.° 20,
v — Fr — ff rf[r, 0 , ^) P n sin 0 0 d\\
les intégrales étant prises depuis 0 = o, 4' :::: =o > jusqu’à Qz= < 7r, 2 7 r,
ce qui donnera pour résultat une fonction connue des angles 0 et 4^
qui entrent dans P„. En substituant cette valeur de F r dansRFrdr,
