COS
rn l
-+- {1>I — 1) sin——-
dans le cas de /zro, on aura donc
Q — fi' cos f 1 ' -h ( /3 /' — 1 ) sin fl';
.quantité nulle en vertu de l’équation précédente. Pour la même valeur de /, on a
p = (/‘/'‘W-/ 3/'(/3 /' — 1)) /'-*--£-[(//' * — (A/'— 1)*) cos //' sin//'
-+- fl'(fil' — 1) (cos '■fl' —sin*//')];
expression que les valeurs de sin fl’ et cos fl', réduisent à P = [/*/'• -H /3 /'(£/'- ,)]/'.
Enfin, pour Izzz o , et en ayant égard à ces valeurs de sin fl et cos fl', on aura encore
— = ]//r -H [fil' — iY sin /
par conséquent
± //'‘-^-(/S/ , -») , cî
M R' = 4 -. ~.' r - sin f r.f~J rfr sin frdr;
et ensuite
r = -f s [ //.^ ( r(V--,)"/ o' r / r sin
ce qu’il s’agissait effectivement de vérifier.
[71.] Examinons encore le cas où l’épaisseur /' de la couche extérieure est très-petite par rapport au rayon / de la sphère quelle recouvre, en sorte qu’on puisse mettre par-tout, sans erreur sensible, /à la place de / + /'. Si la quantité a ou k l n’est pas aussi très-petite, c’est-à-dire, si la chaleur spécifique de la matière de cette couche n’est pas très-grande, ou sa conductibilité très-petite, on pourra négliger la
fraction , et alors l’équation (d) se réduira à
Ccc 2
PHYSIQUE (fi-h b') fl cos fl-\-(bfil — fi — i')sin fl — o ,
en faisant ~ — f. Si Ion y remet pour (Z, b et b', leurs valeurs [n.° 63], et qu’on fasse
elle deviendra
f / cos fI-\-((Z r l — 1) sin//=: o :
cette équation sera donc la même que s’il s’agissait d’une sphère du rayon /, dans laquelle le rapport du rayonnement extérieur à la conductibilité k> serait exprimée par (Z' ; de manière qu’en appelant y' la mesure de ce rayonnement, on eût.
^r = (Z' et y' = *U E.
On aura en même temps
P: = 0i r= Ʊ£üL sin/r .
l’équation d’où dépendent les valeurs de f , donne
sin f
cos f / —
yy/*-»-(*7— 1 )
Vi */*-»-(/»•/—»}* 1
d’où il résulte
/ sm/ / C0S/ / = -y T - i - WT -—IL ;
supprimant donc l’intégrale relative à la couche extérieure que renferme le numérateur de l’expression de M, et dont les limites sont / et /|/', nous aurons
MR = -r- W -^(/W- u «n frf r Fr sin f r dr, et par conséquent
, a r y r+ {&•{-,)> ri
a ~ / 0 r Fr &m frdr^sm fr» e
Dans toute l’épaisseur de la couche extérieure, la quantité r est sensiblement invariable et égale à la valeur de R' se réduit donc à
R ' = ~r//sin//;
et a cause que
-, la seconde équation (e) devient
2 g [J> a *•-*-(£'/— i) a ]sin/i r 1 I- . 7 1 -a 1 -?’'
1) 7 . rFr,m f rJr\*
L’expression de a nous montre que fa distribution de la chaleur à un instant quelconque, dans une sphère recouverte d’une couche très-mince, formée d’une matière différente de la sienne, est la même que si cette sphère émettait directement sa chaleur au dehors, et que le rayonnement de sa surface fût changé en un autre rayonnement dont la mesure y' dépendît à-la-fois du rayonnement y de la surface de la couche, et de la quantité g relative au passage de la chaleur, de la matière de la sphère dans celle de la couche. Pour que le rayonnement d’une telle sphère fût le même que si elle était formée en entier de la même matière que la couche qui la recouvre, ou pour qu’on eût y'=y t il faudrait que la quantité y fût très-petite et pût être négligée par rapport kg, ce qu’on ne peut savoir que par l’expérience.
La valeur de u nous apprend aussi que la couche extérieure, quelque mince qu’on la suppose , ne prend pas la température de la surface sphéfique sur laquelle elle est posée, mais une température plus petite dans le rapport constant de g à g -|- y ; car si l’on désigne par U ce que devient u pour rz=zl, ou à la surface de la sphère, et que l’on compare u k U, on aura, à un instant quelconque ,
on n’aurait donc u — U , qu’autant que ion pourrait négliger y par rapport kg; et s’il était possible de déterminer, par l’observation, ie rapport de ces deux températures u et U, on en conclurait immédiatement celui qui existe entre les deux constantes g et y.
[72.] Appliquons enfin nos formules au cas d’une très-petite sphère, en sorte que les deux parties de son rayon entier soient des lignes d’une très-petite longueur. Parmi les racines de l’équation (d), il y en aura deux pour lesquelles les quantités —-— et g seront, dans ce cas, de très-petites fractions ; et ce sont ces deux racines qu’il importe le plus de connaître.
Pour en déterminer les valeurs approchées, je développe le premier membre de l’équation (d) suivant les puissances de m ; je néglige le quatrième terme et les suivans, à cause de la petitesse de leurs coefficiens; et je ne conserve aussi dans le coefficient du second et du troisième terme, que la partie de la plus petite dimension par rapport à / et l r ; remettant en outre , à la place de a > a , b, b et /3 , leurs
valeurs [n.° 63 ], et supprimant le facteur £,-~ - , commun à tous les termes de ce premier membre, il vient
gy{ 1 -^ 1 ')' — ~y [pcl>-+-gc'J^-t-igc'U(l-h-l')-\-ycl(l-+-l )*)
On tirera de cette équation deux valeurs de m\ que nous représenterons, pour abréger, par m ' 1 et m" 1 ', et qui seront l’une et l’autre de la dimension — 1 par rapport kl et /' ; d’où l’on peut aisément conclure que tous les termes du développement de l’équation (d) , que nous avons négligés, seraient d’une dimension plus élevée que ceux que nous avons conservés, et qu’ainsi les racines m ' 1 et m " 1 sont deux valeurs d’autant plus approchées de m 1 , que ces lignes / et ï seront supposées plus petites. Quant aux autres valeurs de m 1 déterminées par l’équa-
tion (d), elles seraient toutes de la dimension —2, et, par conséquent, tres-grandes relativement a m et m ; les termes qui leur correspondent dans les seconds membres des équations (e), s’évanouiront donc les premiers, et très-rapidement, en sorte qu après un très-court intervalle de temps , ces seconds membres se réduiront sensiblement aux termes correspondans à m' et m".
En conservant la lettre m pour représenter l’une ou l’autre des quantités m' et m", les valeurs approchées de Q, P, R et /?', seront
on aura en même temps
ml ml
d’où il résultera, en remettant aussi pour a 1 , a', b, b‘ et (Z, leurs valeurs ,
~inr~r
\f o ‘ rFrdr+y' f[ +l ' rfrdr
cl 3
r. m z c'[P^ll'{l^.
ni 1
Donc, en désignant par V et /a," , ce que‘devient cette dernière quantité, quand on y met successivement m’ et m" à la place de m, et réduisant les seconds membres des équations (e) aux termes correspondans
PHVSI QUE ’
à ces racines de l'équation (d), nous aurons
(/-+-/')* y rn ' 1 c'\l' z ~|
—jt n* J
(/ -+-/')* ? M ,, Vr/ ,8 -+-3/n*-+-01 j
où l’on voit que la température sera la meme dans toute 1 étendue de chaque partie de la sphère, mais différente, en général, pour ses deux parties, quelque petites quelles soient.
[73.] La formule relative au refroidissement des corps très-petits , que nous avons démontrée directement dans le n.° 7 5 du premier Mémoire, supposant que tous les points du corps échauffé ont la meme température , ne saurait donc s’appliquer au cas que nous venons de traiter; mais on peut aussi parvenir d’une manière directe au résultat que nous avons obtenu , en admettant seulement que la température est la même dans toute l’étendue de chacune des deux parties de la sphère, du moins après un intervalle de temps assez court pour que nous puissions n’y avoir aucun égard,
Pour le faire voir, nous conserverons toutes les notations précédentes; de manière que u et u soient, au bout du temps les températures de la couche extérieure et de la sphère qu’elle recouvre ; c et c leurs chaleurs spécifiques ; /' l’épaisseur de la couche , et / le rayon de la sphère intérieure ; y la mesure du rayonnement extérieur, c’est-à-dire, la quantité de chaleur qui traverserait dans une unité de temps, chaque unité de la surface de la sphère entière, si la température de tous ses points surpassait constamment d’une unité celle du milieu extérieur; et enfin e, la même mesure relèvement à la chaleur qui sort de la sphère intérieure pour entrer dans la couche extérieure. La surface de cette sphère étant sa perte de chaleur pendant l’instant dt, sera
exprimée par i nl*g(u-U ) dt ; cette quantité, prise avec un signe
contraire, sera Jonc égale à l’augmentation de chaleur correspondante à l’accroissement du de la température, laquelle augmentation est le
produit de cdu par le volume — de cette sphère; par conséquent
on aura
De même l’augmentation de chaleur de la couche extérieure pendant le même instant dt, sera égale à l’excès de la chaleur qui lui est communiquée par la sphère intérieure, sur celle qu’elle émet au dehors , et qui est exprimée par 4 'tc (/ /' )* y u d t, la température du milieu
extérieur étant prise pour le zéro de l’échelle thermométrique; cet excès devra donc être égal à (augmentation de chaleur correspondante a 1 accroissement du de la température, ou au produit de c du' par le
volume — — [(/'* -|~3.// / (/j/')] Je la couche extérieure; ainsi nous aurons cette seconde équation
Nous intégrerons ces deux équations , en prenant u = f* e~ m%t , u = fÂ.' e~ mxt ; m, (J. et fjd étant des quantités constantes. Substituant ces valeurs de u et u dans nos équations, il vient
( 3 £ — clm)fi = 3 g/*.' ,
multipliant celles-ci membre à membre, et supprimant le facteur , nous aurons
(3 g~clm' ) ( jy(/-+-/')•-+- 3 // — f '[/' > +-3 //' (/-*-/')] »<*) = 98 '? i
équation qui servira à déterminer la constante m, et qui coïncide avec l’équation (k) du n.° précédent, en sorte que nous pourrons représenter XIX: Cahier. Ddd
par ni' 1 et m" x les deux valeurs quon en déduit pour m 1 . II est aisé de voir actuellement que ces deux valeurs seront réelles et positives : l’une d’elles sera comprise entre zéro et la plus petite des deux quantités
JJ et - 3 ,! et l’autre surpassera la plus grande de ces
cl c /'M- 3 c II (/-+-/ ) 1
deux mêmes quantités, lesquelles sont les valeurs de m qui rendraient nul le premier membre de l’équation précédente.
L’une -des deux équations d’où elle a été déduite , la seconde , pai exemple, déterminera le coefficient jx au moyen de fx ; et en employant les deux valeurs de m\ nous aurons, pour les intégrales complètes des deux équations différentielles ,
" = ( 1 JT - ÏTÏ ) *
fjC et a" étant les deux constantes arbitraires.
II ne restera donc plus qu’à déterminer ces deux constantes; ce que l’on fera en désignant par 47 rcC et 47 xc C, les quantités de chaleur initiales de la sphère intérieure et de la couche qui la recouvre , cest-
à-dire, les valeurs de et — [/’ 3 -H 3// )] r 11 fl 11 *-
répondent à t — o , de sorte que l’on ait
Pour comparer les valeurs de ac' et fx' à celles du n,° précédent, il est nécessaire que f*' soit exprimée au moyen de la seule racine ni. , et que fx" contienne seulement m" : or, d’après l’éqnation (k), on a
«'//'[/"-H 3 (/+/')*]>'•-!-»"*) = U cP (H-J£±pll-)
.ce //' [/'* h- 3 (/-+-/')* ]///'* w Ki — p#y (-t-/')* ;
d’où ion conclut
au moyen de quoi la valeur de fjJ pourra être exprimée ainsi :
et celle de /u," s’en déduira par le simple changement de /;/ en /« .
Ces expressions de /uj et ju," coïncident, comme on voit, avec celles du n.° précédent , en observant que les intégrales J~ r 1 F r d r et
r 1 f r d r ne sont autre chose que les quantités Cet C 'II en résulte donc que les valeurs de u et u en fonctions de t, trouvées directement pour le cas où les lignes / et l sont très-petites , sont exactement les mêmes que celles que nous avions d’abord déduites de nos formules générales ; ce qui fournit une confirmation remarquable de ces formules.
Si les deux parties de fa petite sphère sont de la même matière, et ne forment qu’urt corps homogène, on aura czzic et gmzoo. Lune des deux racines de l’équation (k) sera infinie , et l’on devra conséquemment supprimer I exponentielle qui lui correspond dans les valeurs de u et u : nous supposerons que ni " 1 soit cette racine; l’équation (k) donnera pour la valeur de lautre
Ddd 2
on aura donc
u — u — IX e et la valeur de \x se réduira à
fX —
c’est-à-dire, à la moyenne des températures initiales; résultat qui coïncide, comme cela devait être, avec celui du n.° 6 4 du premier Mémoire.
[74.] Les lignes / et l' étant toujours très - petites , supposons de plus que l’épaisseur ï de la couche extérieure soit très-petite , même par rapport au rayon / de la sphère quelle recouvre , ou que fe
rapport -y-soit une très-petite fraction. L’une des deux racines de i’équation (k), par exemple m"\ sera très-grande et en raison inverse de /'; il faudra donc, après un très-court intervalle de temps, supprimer l’exponentielle qui lui correspond dans les expressions de u et u ; la valeur approchée de l’autre racine m l s’obtiendra en négligeant ï dans 1 équation (k), et l’on en déduira
en faisant, comme plus haut [ n.° 71], — := V • La valeur correspondante de fx sera aussi, à très-peu près ,
^ = u ¥ÿwfo r '* r<iri
et les valeurs de u et u deviendront
A Cl / A £
en désignant par A la moyenne des températures initiales de la sphère
intérieure, ou , à très-peu près , celle des températures initiales de la sphère entière.
On voit que les températures u et u conserveront constamment entre elles le rapport que nous avons déjà trouvé entre u et U [n.° 71]. On voit aussi que le refroidissement de la sphère intérieure sera le même que si le rayonnement de la surface avait pour mesure fa quantité y', dépendante du rayonnement y de la couche extérieure, et de la quantité g relative au passage de la chaleur de cette sphère dans la couche ; résultat qui donne lieu de faire une remarque importante sur la détermination des chaleurs spécifiques , d’après [observation du refroidissement des corps de petites dimensions.
[75.] Les premiers physiciens qui ont fait usage de cette méthode, ne connaissaient pas l’influence de la nature de la surface sur la vitesse du refroidissement ; les rapports qu’ils trouvaient entre les chaleurs spécifiques, sans avoir égard à cette influence, ne pouvaient donc pas être exacts : or, on a cru remédier à cet inconvénient en recouvrant tous les corps dont on observe le refroidissement, d’une couche trèsmince de la même matière et ayant la même surface pour tous ces corps; mais on voit que Ton ne gagne rien à cette précaution, puisque la quantité y étant la même pour tous ces corps ainsi recouverts , il ne s’ensuit pas que y' le soit aussi, à moins que la quantité g 11e change pas d’un corps à l’autre , ou quelle ne soit très-grande par rapport à y pour tous les corps ; ce que l’expérience seule peut nous apprendre.
Pour rendre ce procédé exact, il faudrait pouvoir observer à-la-fois la température de la sphère intérieure , et celle de la couche qui la recouvre : on vérifierait d’abord que le rapport de l’une de ces températures à l’autre est constant; en désignant sa valeur observée par n K on aurait
et par conséquent
Cela étant, supposons que la température u s’abaisse de v dans un temps 0, en sorte qu’on ait
d’où l’on conclut
et en passant aux logarithmes
■7- =- 77 T [ lo g“ —*°g (“ — »')]• (*)
Supposons que pour un second corps soumis à l’expérience, les quantités c, i, n, 0, U et v, deviennent respectivement c /t /, ti/, 0^ u / et v , et que la valeur de y n’ait pas changé ; ce qui aura effectivement lieu , si le premier et le second corps sont recouverts d’une côuche mince, formée de la même matière et ayant la même nature de surface. Nous aurons alors
77 = -jyr ( |o g ", — i°g (", — )) ;
et il en résultera
C, n l e, / Iog v — Iog ( u — v ) \
~T~ n, /, 9 \ Iog u — log ( 1 / — V, ) ) 1
formule qui servira à déterminer le rapport des deux chaleurs spécifiques c et c t , lorsque toutes les quantités quelle renferme seront données par l’observation.
Dans la sphère, le tiers du rayon est le rapport du volume à la surface ; en mettant donc le triple de ce rapport à la place du rayon dans les formules précédentes, on pourra les appliquer à des corps de formes
quelconques , et Je petites dimensions , pourvu que la couche mince qui les recouvre s’étende sur leur surface entière. Mais la difficulté d’obtenir avec exactitude, par l’expérience, les rapports 11 ( et n, ou de constater qu’ils sont égaux à l’unité , s’opposera toujours à l’usage qu’on pourrait faire de la dernière formule pour la détermination des chaleurs spécifiques.
[76.] Au lieu d’un corps solide, la substance dont on observe le refroidissement peut être un liquide contenu dans un vase d’une trèspetite épaisseur, et de dimensions peu considérables. En appliquant à ce cas les formules précédentes, on pourra reconnaître si la vitesse du refroidissement varie avec la nature de la surface intérieure du vase , ou , autrement dit, si la quantité g relative au passage de la chaleur du liquide dans son enveloppe, dépend de la nature de cette surface , ce qui ne peut se décider que par l’expérience.
Pour cela , on observera plusieurs fois de suite le refroidissement d’un même liquide dans un même vase, en faisant uniquement varier, dans ces expériences, la nature de la surface intérieure du vase , soit parla coloration, soit par le moyen d’un enduit quelconque, soit en altérant le degré de poli de cette surface. On appliquera l’équation ( 1 ) à l’une de ces expériences : désignant par h le rapport du volume du vase à sa surface, on y fera l=$h ; et remettant, en outre, à la place de // sa valeur, on aura
7 TT = - 7 T- (l°g« — I°g(H — »))•
Pour une autre expérience, les quantités y, c et h seront les mêmes; et si l’on représente par 0 / , u /f v f et g jt ce que deviennent l’intervalle de temps ô, les températures u et v, et la quantité#, on aura de même
77 +— — TTT ( lo s"< — lo s (", — ü) ;
d’où l’on déduira
(g, y ) g ___ f Iog u — lo g ( 1 / — y ) \
(£'“*" V ) 5, ® V iog u t — Iog ( — v ( ) / *
4oo PHYSIQUE
Si donc, pour toutes les expériences qu’on aura faites, prises deux a deux, le second membre de cette équation est, à très-peu près, égal à l’unité, on en conclura, ou que la quantité g est invariable, ou que ses diverses valeurs sont très - grandes par rapport à y ; et pour éviter autant que possible que ce dernier cas n’ait lieu , il faudra augmenter la grandeur de y, en dépolissant la surface extérieure du vase. Si, au contraire, les valeurs de ce second membre diffèrent sensiblement de 1 unité, il en résultera que la quantité g est variable ; et l’on saura, de plus, si elle augmente ou diminue avec le degré de poli de la surface intérieure. Il semble donc que ces expériences seraient très-propres a fixer les idées sur ce point important de la théorie de la chaleur , sur lequel il était bon d’appeler l’attention des physiciens.
[77.] Le moyen le plus propre à déterminer la quantité g , relative au passage de la chaleur d’üne substance solide dans une autre , est d’observer la loi des températures dans une barre formée de ces deux substances, entretenue par ses deux extrémités à des températures données, et parvenue dans toute sa longueur à un état de chaleur permanent. Nous allons donc reprendre la question dont nous nous étions déjà occupés dans le n.° 33 du premier Mémoire, mais dont la solution doit être modifiée depuis que nous avons changé les équations de condition relatives au contact des deux parties de la barre.
Appelons x la distance d’un point quelconque de la barre à I endroit de ce contact, en sorte qu’on ait x —o pour le point de contact , et que les valeurs positives de * se rapportent à l’une des deux parties de la barre, et ses valeurs négatives à l’autre portion. Dans la partie qui répond aux x positives , désignons par y la mesure du rayonnement de la surface latérale, par k la mesure de la conductibilité de la matière, et par U la température fixe correspondante à la distance quelconque x ; représentons les quantités analogues, dans l’autre partie de la barre, par k' y y' et U' ; les valeurs de U et U' en fonctions de x seront données par ces équations :
4 ox
d’où Ion tire en inte'grant,
U=Ae~ X Vï-+.Be X Vï,
■=A' e - X Vr + B 'e X VÏ;
A, B, A', B\ étant les constantes arbitraires. Quelles que soient ces constantes et les conditions relatives aux extrémités de chaque partie de la barre, l’expression des températures fixes jouit, dans toute l’étendue d’une même partie , d une propriété qui peut servir à déterminer
de la manière la plus simple les rapports et -jjr- •
En effet, considérons dans la première partie, par exemple, deux points situés à égaie distance de part et d’autre de celui qui répond à la distance quelconque x; soit 2 A la distance mutuelle de ces deux points , de sorte que l’un réponde à x- — A et l’autre à x-f-A; désignons par U , la température du premier, et par U z celle du second ; nous aurons
:Ae
~Vr t - ! Vï + B
d'ou il résulte
k+ü,= (a.-'Vï+b/ÿî) (r'Vî+sVî),
et par conséquent
Le rapport de la somme des températures de deux points quelconques à la température du point intermédiaire, est donc une quantité indépendante de la position de ce dernier point ; c’est ce qu'on pourra d’abord vérifier par l’expérience ; et cela étant, si l'on désigne par /3 la XIX* Cahier, Eee
4o2 physique
vaieur de ce rapport, et quon fasse e V k = y , on aura y x — + i = o;
équation du second degré dont les deux racines seront les valeurs de
e VT et e On en déduira donc, sans difficulté, la valeur
du rapport \ seulement on doit observer, pour la pratique, qu’il ne faut pas que la distance A soit trop petite, sans quoi les erreurs des observations auraient trop d’influence sur la quantité qu’on veut déterminer.
On obtiendra de même la valeur de ; en comparant ensuite les
expressions de U et U' aux températures de différens points de la barre, données par l’observation , et, si l’on veut, aux températures de ses extrémités, on déterminera facilement les coefficiens A, B, A , B' ; ainsi nous pourrons supposer que ces expressions ne contiennent plus aucune quantité inconnue.
Maintenant les équations relatives au contact des deux parties de la barre [n.° 18] seront
elles auront lieu pour x — o; et en y substituant pour U et U' leurs valeurs , on aura
(B — A) j/yk g {A' B' — A — B) z=z o ,
Ces deux équations, jointes aux valeurs des rapports -j~ et , suffiront pour déterminer les cinq quantités y, y , k , k' et g, lorsque l’une d’elles sera déjà connue par des expériences d’une autre espèce, lorsque l’on
connaîtra, par exemple, soit la conductibilité, soit le rayonnement extérieur de l’une des deux parties de la barre.
En calculant ainsi la valeur de g, on pourra reconnaître si elle varie avec le contact plus ou moins intime des deux parties de la barre. Il est bon aussi d’observer que toutes les formules de ce n.° auraient encore lieu, si ces deux parties étaient disjointes, pourvu que toute la chaleur perdue par l’une fût gagnée par l’autre, comme dans le cas du contact; ce qui arriverait si l’espace qui sépare les deux bouts disjoints, était renfermé dans une sorte d’étui, qui n’absorbât pas de chaleur et l’empêchât de se dissiper au dehors. Dans ce cas, la valeur de g serait indépendante de la distance de ces deux extrémités ; elle dépendrait seulement de la nature ou des facultés rayonnantes et absorbantes de leurs surfaces.
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