T J —OC J —OO

cette fonction F sera aussi donnée pour toutes ies valeurs réelles de y et l, pour toutes les valeurs positives de t, et seulement pour les valeurs de x comprises depuis x = o, x = l. L’intégrale précédente de lequation (1) pourra s’écrire ainsi :

mais il faudra de plus que cette valeur de u satisfasse aux e'quations relatives aux deux plans qui terminent le corps ; ce qui servira à éliminer la partie de la fonction F que ne fait pas connaître l’état initial du corps, ou la partie de cette fonction correspondante à des valeurs de x, soit négatives, soit >/.

Pour former ces équations, nous supposerons que le rayonnement soit différent pour les deux surfaces du corps , mais qu’il ait la même intensité en tous les points d’une même surface ; afin de simplifier la question, nous supposerons, en outre, que le corps rayonne dans un milieu dont la température est constante et égale à zéro : ces équations seront alors

MATHÉMATIQUE. 3 < 5 i

du n

~j~ x - p u z— o t pour a: = o ;

~j~ x -h p u = o , pour x — / ;

fi et /3 étant deux constantes données qui représentent les mesures du rayonnement des deux surfaces , divisées par la conductibilité de la matière du corps. Au moyen de ces équations, et par l’analyse exposée dans mon premier Mémoire [n. oS 16-19], on transformera la valeur précédente de u en une autre qui 11e contiendra plus que les valeurs données de la fonction F et d’autres quantités connues, et sera par conséquent la solution complète du problème qu’il s’agissait de résoudre. On reconnaîtra immédiatement que cette valeur de u s’accorde avec celle que nous avons déduite dans le §. précédent, de la considération d’un cylindre dont le rayon de la base devient infini.

[60.] Si l’on suppose que la surface du corps qui répond à x z= /, soit entretenue constamment dans tous ses points à la température zéro, il faudra faire /3' = oo, afin de réduire à u = o l’équation relative à cette surface. La valeur de u devient alors, comme dans le n.° 25 du premier Mémoire,

JJ cos j> x -+- n sin / x

-4 -&J 0 1 si* 1 /*• F( x > y- Z• 0 ^

la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs positives de f , tirées de l’équation

fô sin j> l -H / cos f l — o ,

en y comprenant la racine f — o, pour laquelle 011 ne devra prendre que la moitié du terme correspondant.

. Lorsque l’épaisseur l du corps sera supposée infinie, cette somme S se changera en une intégrale définie, et la valeur de u [n.° 26 du premier Mémoire] prendra cette forme :

XIX y Cahier.

Zz

les intégrales étant prises depuis et = o , x'— o , jusqua <*, — oo , .y' — oc.

Cette formule se rapportera donc au cas d’un corps terminé par une surface plane, qui s'étend indéfiniment en tous sens d’un côté de ce plan, tandis qui! rayonne de (autre côté avec une intensité qui est par-tout la même, et dans un milieu dont la température est constante et égale à zéro. En vertu de ce rayonnement, le corps tendra à prendre en tuus ses points la température zéro du milieu extérieur ; mais cette valeur u — o n’aura lieu rigoureusement qu’après un temps infini, et la loi des valeurs de u, après un très-long intervalle de temps, dépendra de celle des températures initiales, ou de la forme de la fonction f(x, y, i) , ainsi qu’on peut s’en assurer par des exemples.

[6 I.] Pour faire une application de cette formule, soit

A et h étant des constantes données, dont la seconde sera supposée positive, afin que la température initiale soit nulle pour x=/ = oo. La valeur de la fonction F sera la même que celle de la fonction f, ce qui arrivera toutes les fois que celle-ci ne dépendra pas des variables y et z- D’ailleurs, on a, par les règles ordinaires,

F 00 {et cos <t \ -+- /3 sin <tx') e~ flx ' d x' = h f ^ ; d’ou il résultera

"09 ( et COS et X

■ & sin a. x ) e~ H o- 1 ) ( h 1 -h

Si h est une quantité finie quelconque, la température initiale sera sensiblement nulle au-delà d’une certaine profondeur, en sorte que, dans ce cas, le corps n’aura été primitivement échauffé que dans uile couche voisine de la surface et d’une épaisseur finie. Si, au contraire,

h est une quantité infiniment petite, ia température initiale sera constante et égalé a A a toute profondeur finie , et ce ne sera qu’à une distance infinie de la surface quelle commencera avarier, pour devenir

nulle à une profondeur infinie par rapport à —. Dans ces deux cas,

essentiellement distincts, les températures finales suivent, par rapport au temps t, des lois qui sont aussi très-différentes.

En effet, h étant une quantité finie, ainsi que /3, si l’on développe le coefficient de l’exponentielle e~ a%aXt sous le signe /, suivant les puissances de et, ce développement ne contiendra que des puissances paires de ce, et commencera par son carré ; après l’intégration , on aura une série ordonnée suivant les puissances descendantes de t, qui sera très-convergente, lorsque ci ]// sera très-grand par rapport à a*; il suffira alors d’en prendre le premier terme, pour avoir la loi des valeurs finales de //, et l’on trouvera

CL d Ct 1=

1 & h 1 æ* t vt; ’

cest-à-dire que les températures finales suivront la raison inverse de la puissance ~ du temps. Lorsque ia quantité h est infiniment petite, la valeur de u se réduit à

u __ 2 & A o g— 1 *' (a cos as-+-£ sin*x) d *

excepté toutefois pour les valeurs infiniment petites de a; mais le coefficient de ci cl sous le signe f, ne devenant pas infini pour de telles valeurs de cl , il est évident que les élémens de l’intégrale qui leur correspondent, 11 e sauraient avoir aucune influence sur la valeur de 1 intégrale entière, et quainsi l’on peut, comme nous le faisons, supposer que cette intégrale commence à et = o. En réduisant en série, comme dans 1 autre cas, et s’en tenant au premier terme, nous aurons

de sorte que les températures finales seront simplement en raison inverse de la racine carrée du temps.

D’après ce qui a été dit dans le n.° 37 . les formules précédentes pourront servir à calculer les températures des points dune sphere homogène d’un très-grand rayon, pourvu qu’on ne les étende que jusqu’à des distances de la surface très-petites par rapport à ce rayon ; mais relativement à l’expression des valeurs de u qui ont lieu après un temps très-considérable, il faudra encore, pour quon puisse les appliquer au cas de la sphère, que la quantité a/l ne soit pas comparable au rayon : quand cette quantité sera devenue très-grande par rapport au rayon, il faudra recourir aux formules du n.° cité, qui donneront pour u des valeurs très - différentes des températures finales que nous venons de déterminer.

[62.] L’expression de u , relative a /n=oo , devient plus simple pour deux valeurs de /3 qui permettent d'effectuer l’intégration relative à ce , dans le cas de /3 = o , pour lequel le rayonnement extérieur est nul, et lorsque /3 = 00 , cas dans lequel la surface est entretenue constamment à la température zéro dans tous ses points.

Dans le premier cas, on aura

u — -î- J~°° J °° e~ a ' a±t cos et* cos ce x F(x',y, l>t) dx d et v

mais, d’après une formule connue , on a

e~ ai<t1 ' cosclx cosetx da, = -YFVT\ e /{a t J 1

d’ailleurs on peut mettre la fonction F sous la forme :

F{*,y.z.t) = - 477 tSZSZ e ~ e 4 û di:

on aura donc

y a> t TT V tu

rrr

-jJJ e

f (*'•/> Z) dx dy ;

lesmtégralesjtant prises depuis *'= o , /= oo , z=-oo, jusqu’à A- —oo. y — OO, z—oo. Si le corps n’a été primitivement échauffé que dans une petite étendue autour de l’origine des coordonnées, et que l’on veuille déterminer, après un certain temps, la température d’un point très-éloigné du lieu de son origine, on pourra négliger x, y , z , dans les exponentielles contenues sous les signes d’intégration, et en conservant toutes les notations du n.° 58 , on trouvera

4 a* ctir Vtir

dou Ion voit que, dans ce cas, la chaleur transmise en chaque point sera double de celle qui répond au cas que Ion a considéré dans le n.° 5 8. Lorsqu’on a /3 — 00, la valeur de u se. réduit à

U Jl e~ a%CLXt sillet* slruLx F {x',y, /) d cl dx;

effectuant l’intégration relative à cl, et mettant pour fa fonction F, la valeur précédente, on aura

A “‘‘ )/(*''/. z) dx' dy dz;

les limites des intégrales étant les mêmes que dans le cas précédent. Dans le cas où le corps n aura été échauffé primitivement que dans une petite etendue, autour de 1 origine des coordonnées, on ne pourra pas, comme précédemment, négliger la variable x' dans les exponentielles qui la contiennent ; il faudra conserver sa première puissance dans leurs développemens ; et si l’on fait

i r rr

laW,* J JJ C 4a *'

fff x'f[x, y, z) dx ' d > d Z = C', et que l’on néglige d’ailleurs y et £ , on aura

^ * ff

a t x tt i

La chaleur transmise à de très-grandes distances r du foyer, dépendra donc alors, à cause du facteur C, de la manière dont elle était primitivement distribuée; et l’on voit aussi, à raison du facteur a*, quelle ne sera pas la même dans tous les sens autour de ce foyer. En déterminant son maximum par rapport au temps, on trouve qu’il répond à

t — ■ -J* -— , et qu’il a pour valeur

d'où l’on peut conclure que la chaleur transmise décroîtra à mesure que la distance augmente, beaucoup plus rapidement que dans le cas du n.° 58 , et dans le cas précédent où le rayonnement était nul.

Distribution de la Chaleur dans une Sphère ou dans taie Barre composée de deux parties de matières differentes ,

[63.] Il s’agira d’abord, comme dans le S- VII. c du premier Mémoire, d’une sphère composée d’un noyau sphérique homogène, recouvert d’une couche sphérique d’une épaisseur constante , également homogène, mais d’une matière différente de celle du noyau. Nous supposerons la température égale à chaque instant , pour tous les points situés à la même distance du centre de la sphère ; de sorte qu’en appelant r le rayon mené de ce centre à un point quelconque , soit du

noyau , soit Je fa couche extérieure , la température de ce point sera une fonction de r et du temps t. Nous représenterons cette fonction par u, pour tous les points du noyau, et par u , pour tous ceux de la couche extérieure. Soient, de plus, c et k la chaleur spécifique et la conductibilité de la matière du noyau , c et k' les mêmes quantités relativement à la matière de la couche exérieure, / le rayon du noyau, /' l’épaisseur de la couche, et par conséquent /-*-/' le rayon de la surface de la sphère ; faisons ensuite ~ = a -, ~ = û ' 1 ; les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les deux parties de cette sphère, pourront être mises sous la forme :

d i - tl d r x ,

OO

la première ayant lieu pour toutes les valeurs de r comprises depuis r — o jusqu à r=zl, et la seconde, pour toutes les valeurs de cette variable comprises depuis /*=/ jusqua r —/—f- /'

Pour former 1 équation relative à la surface , nous supposerons la sphère placée dans un milieu dont la température est constante et égale à zéro, et Iintensité du rayonnement égale pour tous les points de cette superficie. Désignant donc cette intensité par une constante y,

et faisant -—-={ 2 , f équation relative aux points de la surface sera

Elle n aura lieu que poui la valeur particulière t — / —t— / t çt l’on pourra 1 écrire sous cette autre forme :

Nous aurons encore les équations du n.» t8, relatives à la surface de contact des deux parties de la sphère, savoir :

, étant une constante particulière , dépendant de la matière de ces

deux parties, et dont la valeur est censée donnée dans chaque cas par

l’observation. Ces deux équations ne subsisteront que pour r = l ; et

si l’on fait = b , 4- = b', on pourra les transformer en celles-ci : k k

i l " i [b - j ^ ru — bru — o ,

Enfui, il faudra joindre à toutes ces équations la condition ru = o, quand r=o, nécessaire pour que la température ne devienne pas infinie au centre de la sphère.

En suivant la même méthode que dans le S- cité du premier Mémoire, on parviendra à résoudre complètement ce système d’équations, et a en déduire les expressions de ru et ru en fonctions de r et t. Les valeurs nue l’on obtiendra pour ces quantités, se trouveront expr.mees par des séries d’exponentielles dont les exposans seront proportionnels au temps ; les coefficiens de t, dans ces exposans , seront des quantités réelles et négatives, déterminées par une certaine équation transcendante, dépendant uniquement des constantes renfermées dans les équations précédentes ; et les coefficiens des exponentielles seront des fonctions déterminées de r, données par des intégrales définies, et qui dépendront des mêmes constantes et de l’état initial des deux pâmes du corps. D’après les diverses applications que nous avons faites de cette méthode dans le premier Mémoire et dans celui-ci, on formera sans peine ces valeurs de ru et ru ; nous croyons donc plus utile de résoudre les équations précédentes au moyen de .la seconde des deux méthodes indiquées dans le préambule de ce Mémoire , afin d’éclaircir ce "[ en a été dit par un exemple, qui suffira pour montrer comment on devra employer cette seconde méthode dans les nombreuses questions où elle peut s appliquer.

[64.] O11 sait depuis long-temps que ion satisfait aux équations

aux différences partielles , linéaires et à coefficiens constans , par des séries d’exponentielles réelles ou imaginaires ; mais le degré de généralité de ces sortes d’expressions , n’ayant pas d’abord été fixé d’une manière précise, on pouvait élever des doutes sur leur emploi dans la solution des problèmes dépendant de ces équations ; et pour éclaircir ce point d analyse, j’ai cherché à démontrer, à priori, que cés expressions sont propres à représenter les intégrales complètes des équations auxquelles elles satisfont. Dans la note que j’ai écrite sur ce sujet (*), j’ai d’abord rappelé ce que j’avais remarqué autrefois, que l’intégrale en série d’une équation linéaire aux différences partielles, peut quelquefois contenir un nombre différent de fonctions arbitraires, selon quelle sera développée suivant les puissances de telle ou telle variable; pour compléter cette remarque, j’ai ensuite ajouté qu’il était possible, dans certains cas , de choisir cette variable de manière que l’intégrale en série 11e contienne plus aucune fonction arbitraire , et qu’il ne s’y trouve que des constantes arbitraires en nombre infini ; et je l’ai prouvé, en prenant pour exemple l’équation très-simple :

dont l’intégrale en série est susceptible de présenter toutes ces différentes variétés de forme.

En effet, son intégrale en série ordonnée suivant les puissances de x, contient deux fonctions arbitraires distinctes, qui sont les valeurs

de 1 et correspondantes à xz=o : en les représentant par et

, cette intégrale est

(*) Bulletin de la Société philomatijue, année 1817, page *8o*

XIX/ Cahier .

Aaa

L’intégrale de la même équation en série ordonnée selon les puissances de y, ne renferme qu'une seule fonction arbitraire, savoir, la valeur de i qui répond à y—o ; et en la désignant par fx , cette intégrale est

d 1 f X il X*

Ces Jeux expressions si différentes Je 3 se transforment neanmoins l’une dans 1 autre, sans rien perdre de leur généralité ; car si 1 on développe suivant les puissances de y les fonctions q> y et ^7 contenues dans la première, on retombe sur la seconde; et réciproquement, si l’on développe suivant les puissances de x la fonction cpx que renferme la seconde valeur de 3, on retrouve la première. Ces vérifications ne présentent aucune difficulté, et je les ai déjà effectuées dans le Mémoire où ces remarques sur le nombre des fonctions arbitrai]es, ont été faites pour la première fois (*).

Maintenant faisons e >—9 \ l’équation proposée deviendra

Or, quelle que soit la valeur de 3 en fonction de x et 0 qui satisfasse à cette équation, on peut toujours la concevoir développée suivant les puissances de 0, et la représenter par la série :

3 = ^ ô" -H X' 0 m ' -H X" 9 m " -H Sec. ;

m , m, m”, &c., étant des exposans indéterminés , et X, X, X , Scc. , des fonctions de x qu’il s’agit également de déterminer. Substituant donc cette série dans les deux membres de l’équation précédente , et égalant les termes semblables de part et d’autre , on trouve que tous les exposans restent des constantes arbitraires, et que les coefficiens se déterminent indépendamment les uns des autres, par des équations de cette forme :

(*) XIII. c Cahier de ce Journal , page '107.

A et B étant les Jeux constantes arbitraires. Les expressions Jes autres coefficiens X', X", &c., seront semblables à cette valeur de X; par conséquent on aura pour la valeur la plus générale de £ qui puisse satisfaire à l’équation proposée , et qui en sera l’intégrale complète , développée suivant les puissances de 0 :

les caractéristiques £ indiquant des sommes qui s’étendent à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de A, B et m; et l’on peut remarquer que si l’on met m x à la place de m , ces deux^sommes se réduiront à une seule, savoir:

Z = S A ô ml e mx .

Cette valeur de z ne renferme explicitement aucune fonction arbitraire ; en y remettant e* à la place de 0 , nous aurons de même

£ = X A e m *s + mx ,

pour l’intégrale complète de arbitraire.

, sans fonction

[65.] Cette considération fort simple, qui consiste, comme on voit, à regarder une série d’exponentielles comme un développement ordonné suivant les puissances d’une certaine variable, pourra évidemment s’employer dans le cas dune équation quelconque aux différences partielles, linéaire et à coefficiens constans ; *t il en résultera que, si les coefficiens et les exposans sont déterminés de la manière la plus générale, une telle série représentera, sans aucun doute, l’intégrale complète d’une équation de cette espèce. Soit L= o une semblable équation, dans laquelle £ est la variable principale, et x, y, y, y", &c., sont les variables indépendantes;

Aaa z

si l’on fait ^z=:9, eS'=zù', &c,, cette équatidn à coefficiens constans se changera en une équation L' = o dont les coefficiens contiendront les nouvelles variables G, G', G", &c. ; rien il’empêchera de développer la valeur de £ qui satisfait à cette équation, suivant les puissances et les produits de ces quantités, de sorte qu’un terme quelconque de cette série soit de la forme :

m, m, m", &c., étant des exposans indéterminés, et X une fonction inconnue de x ; on substituera donc cette valeur de £ dans L zzi o, et l’on trouvera pour L ' une série de termes tels que celui-ci :

MÔ m ô m ' Q" m " &c. ,

dans lequel le coefficient M ne contiendra que les exposans ni, m , m, &c. , et le coefficient X appartenant au même ternie de £/ d’où, l’on conclura que, pour satisfaire à l’équation Z/== o de la manière la plus générale, il faudra que m, m', ni", &c., restent des constantes arbitraires, et que X soit déterminé en faisant M = o ; ce qui donnera une équation différentielle linéaire et à coefficiens constans, qui sera de l’ordre n, si n marque l’ordre de l’équation proposée L — o relativement à x*. La valeur de X qu’on tirera de cette équation, contiendra un nombre n de termes distincts, et pourra être représentée généralement par

X = A er* -f- A'eP r * -f- A ,r e'" 9 H- & c. ;

A, A', A", &c., étant les n constantes arbitraires, et p , p', p" , &c., les n racines d’une équation algébrique, qui contiendra m,m, ni", &c. , et se formera aisément à la seule inspection de l’équation Ai zz o : dans le cas où cette équation aurait des racines égales , la forme de X subirait des modifications connues ; mais elle serait toujours comprise dans son expression générale, en y regardant ces racines comme infiniment peu différentes. L’intégrale complète de l’équation L~o t en série

ordonnée suivant les puissances et les produits des variables 0,6 ,6, &c. sera donc

l — S A eP* 0 W 0 '" 1 ' 0 " w " &c. -+- 'ZA'ei” x 0 W 0 ''“' 0 " w "&c. -h &c.;

les caractéristiques S indiquant des sommes qui devront s’étendre à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, des coefficiens A , A", &c., et des exposans m, m, m", &c., dont p, p, p", &c. , sont des fonctions déterminées; par conséquent, si l’on remet à la place de 6 , 0', 0”, Ôcc. , les exponentielles que ces lettres représentent, l’expression

^ ^ çP x m y m'y > +• Sic. | ^ A' &c- ,

sera réellement la valeur la plus générale de % qui puisse satisfaire à l’équation L=o, ou son intégrale complète en série.

Comme on peut prendre à la place de .y, celle que l’on voudra des autres variables indépendantes y, y, y", &c., il en résulte que la valeur de i en série d’exponentielles pourra se présenter sous plusieurs formes différentes , qui contiendront des nombres différens de sommes X , si l’équation proposée L — :o n’est pas du même ordre par rapport à toutes ces variables ; mais ces expressions équivalentes seront faciles à transformer les unes dans les autres , et il sera aisé de réduire au moindre nombre les sommes S quelles renferment, ainsi qu’on en a vu un exemple dans le n.° précédent , relativement à l’équation parti-

cuiiere —7— z= —,—r * a x a y

Sans qu’il soit nécessaire d’entrer dans de plus grands détails , on voit que si les coefficiens de l’équation o contiennent toutes les

variables indépendantes, excepté son intégrale complète pourra être exprimée par une série d’exponentielles relatives à .y, de la forme :

l = S P eP x ;

p étant une constante arbitraire, P une fonction de p, y, y, y , &c., déterminée par une équation aux différences partielles qui renfermera

une variable indépendante de moins que l’équation proposée , et la somme S s’étendant à toutes les valeurs possibles de p. Ainsi , par exemple, l’intégrale complète de l’équation (2) du n.° 19, s’exprimera par une série d’exponentielles relatives au temps t, dont les coefficiens seront des fonctions des trois variables r, 0 et ^ , detei minées par une suite d’équations aux différences partielles du second ordre. Si ces variables sont les trois coordonnées polaires d’un point quelconque, ces fonctions seront assujetties à certaines restrictions : il faudra qu’elles deviennent indépendantes des angles 0 et ^ quand on y fera r= o, de l’angle ^ P ol,r les valeurs particulières 0 =no et 0 = ^, et que chacune d’elles ait la même valeur pour ^=0 et pour mais si r, 0 et ^ sont des variables quelconques, et qu’il s’agisse de former d’une manière abstraite l’intégrale complète de cette équation (2), les coefficiens des exponentielles ne seront plus sujets à aucune restriction, et l’on devra prendre pour leurs valeurs les solutions les plus générales des équations dont ils dépendent.

[66.] Revenons maintenant à la question qui fait l’objet de ce $. Nous pourrons donc représenter les intégrales complètes des équations (a) par

r// = XAe- m% ‘ sin — -f-SÆ*"” 1 ' cos ~ ,

r u = S A'e~ n% ' sin ~ -H S B’s~ m ' ' cos -

A, A', B, B' et m étant des quantités indépendantes de r et de /, et les sommes S s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires. Pour satisfaire à la condition ruzzz o, quand r~ o, qui doit être remplie pour toutes les valeurs de /, il faudra faire Bzzz o, ou supprimer la seconde somme contenue dans l’expression de ru. En substituant celle de ru dans l’équation (b) relative à la surface, faisant r —/!/' après la substitution, et réunissant les deux sommes S en une seule, nous aurons

f 4' /—cos mC/ ' +/ ) 1 1

~ B \~ÿ~ sln „■ ■ ' 7Tr~) C0s a' ) j* — o ;

et comme cette équation devra au*si subsister pour toutes les valeurs de t, il faudra égaler séparément à zéro chaque terme de la somme X; ce qui servira à déterminer l’un des deux coefficiens A et B' au moyen de l’autre, ou, pour plus d’uniformité dans le calcul , les valeurs de ces deux quantités au moyen d’une troisième , que nous représenterons par C , en sorte qu’on ait

a ' — [ '"( ; +n sill [/3(/-+-cos

= cos —t— [/3 (/H-/') —1] sin * je.

Les valeurs générales de ru et ru deviendront donc d’abord

ru — Zj A e~ m sin-

- [/?(/+/') -. ] sin ]C-

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations (c), qui doivent avoir lieu pour r=±/ et quel que soit t , et que l’on égale séparément à zéro la somme des coefficiens de chaque exponentielle, on aura

(^Li coi -7— -+- {£•' — 1 ) sin A

-(•# [«M- 0 - ^(*7*0) eo. »» ^r=".

On satisfait à l’une de ces équationsà la seconde, par exemple , en prenant

?7 6 physique

l^HL±n - (A '/ + i )[/3(/-i- /')-«] j sin ^K|T7,

, . ml.

C ~ M sm —— y

M étant une quantité indéterminée. Mettant ces valeurs de A et C dans l’autre équation, et supprimant le facteur M , commun à tous les termes, on aura l’équation d’où dépendront les valeurs de m, savoir:

im l Jd+LL — {blA-i)[P(lA-l )—i])—co» —sin-^r-

/+■)) —cos —cos - z

(W—l)-t-( 4 '/—i/-t-i )[/3 (/-+-/)— i])sin sin

[3 (/^) — 0 (A/— i )— (Z.7—W-c- 1 X)sin cos = o ;

et si l’on met aussi ces mêmes valeurs de A et C dans celles de ru et ru , on aura

ra = S Q M sin ■—-* e~ m ‘',

r u = S [ Jܱ0- cos m ~ - r) ~

[,a (/->-/') - .] »in " 1 ' V— ] ^ si » ~' ;

en faisant, pour abréger,

c=(-^Vcw-<-o-.]+

- ■ÏWI'+O-'Jja.-TÎ-

Il ne restera plus actuellement qu’à déterminer, d’après l’état initial des deux parties de la sphère, la valeur de M en fonction de m ; en

étendant ensuite les sommes X à toutes les valeurs de tu , en nombre infini, qui seront données par l’équation (d), les formules précédentes exprimeront les valeurs de ru et ru en fonctions de r et î , qui satisfont à toutes les équations du problème ; mais les racines de l’équation (d) étant deux à deux égales et de signes contraires, et les deux termes correspondans à chaque couple de racines pouvant être réunis en un seul dans les sommes £, nous conviendrons de n’avoir égard qu’aux valeurs de m qui différeront entre elles , abstraction faite du signe ; ce qui simplifiera la détermination du coefficient M Nous allons donner, pour cet objet, une méthode directe et générale que l’on pourra regarder comme une extension de celle que Lagrange a employée, en plusieurs occasions, pour déterminer les constantes arbitraires contenues dans les intégrales d’un système d’équations différentielles linéaires.

[67.] Soient RMe~ mit et R' Mc~ mtt des valeurs particulières de de ru et ru, ou des termes quelconques des séries précédentes, de manière qu’on ait

R = <2 sin

et que les valeurs‘complètes de ru et ru puissent être représentées , pour abréger, par

ru = S MRe~ mlt , r u' = 2 M R' e~ m ' Les quantités R et R satisferont aux équations

pour toutes les valeurs de r, et aux conditions particulières XIX.' Cahier . Bbb

(*—rjr)*' = °'

quand r—o; \ quand r z=r / -H ï ;f

quand r—l; I

quand r —/.

Cela étant, je multiplie les équations (a), la première par Rdr et la seconde par R dr ; puis je les intégré dans toute ietendue des valeuis de r pour lesquelles ces équations subsistent, cest-a-dire, la première depuis r=zo jusqu’à r=l , et la seconde depuis rz=d jusqua r — l+l';

d. ( 1 R ru dr

if O

d. R ru dr

R' dr .

En intégrant par parties, et mettant à la place des différentielles secondes de R et R\ leurs valeurs données par les équations (f), on a

f -TF- Rdr = R ~ r - r “ ~d~r - irJ RruJr ’

r£iL^ R' dr = R' jLZ± — r« — R' ru' dr -,

les termes compris hors du signe f dans la première formule , disparaissent à la limite r—o , à cause que R et ru s’évanouissent avec r; ces termes- disparaissent aussi dans ia seconde formule , à la limite r — car en combinant ia deuxième équation (g) avec l’équa¬

tion (b), qui ont lieu, l’une et l’autre, pour cette valeur de r, on en déduit

*' '*'4^ = (ttf - 0) ~ = 0 :

enfin, à fa limite rzzil, les équations (c) et les deux dernières équations (g) qui ont lieu toutes les quatre pour r=l, donnent

R - - ru -^7— b (R r u' — R' r u) ,

R' - ru' -?-£-= b' [R ru' — R' ru) :

les équations précédentes deviendront donc

d. f Rru dr rl

-—-- zz: a'b \ R ru — R' ru] —m'- f Rrudr ,

d t L Jo

d.f lJr ’ R'rudr

-JJ -- — —a 1 b

lRru'-R'ru ]*•// R ' rddr

les quantités contenues entre les crochets se rapportant à la valeui particulière rzz:/. Ces quantités se détruisent, en ajoutant ces deux équations après avoir divisé les premières par a 1 b et la seconde par a * b' ; on a alors

'-[iJF Rrudr +i?wJJ R ' r “‘ l, \ ==

- '»* [-âh-fo ' Rru dr - h JvfJ R ' ru ' dr ) •’

d’où l’on tire en intégrant

D étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, soient

u = Fr , u z=z f r ,

les températures initiales dans les deux parties de la sphère , de sorte que Fr soit donnée arbitrairement depuis rzzzo jusqu’à r~l, et fr, depuis r=l jusqu’à r — En faisant / = o dans 1 équation pré¬

cédente , il vient

Bbb 2

~T~b J'j R' Fr dr J' / l+ ‘ R' rfrdr = D :

on aura donc à un instant quelconque ,

ih f.'+ 'J-.' j -JT R'rJJr = ( ;j .' T fj RrFrdr

+ yhrf, M '

équation remarquable, qui va nous servir à déterminer la valeur cherchée de AI en fonction de m.

En effet, si l’on y met à la place de ru et ru leurs valeurs données par les équations (e), son premier membre se changera en une série d’exponentielles relatives à t ; mais à cause que le second membre ne contient qu’une seule de ces exponentielles, il faudra que les coefficiens de toutes les autres soient nuis dans le premier membre , et que le coefficient de l’exponentielle e~ mlt , qui entre dans les deux membres , soit le même de part et d’autre. Ainsi, m t désignant une racine quelconque de l’équation (d), différente de la racine m, et R et R t étant ce que deviennent R et R' , quand on y met m à la place de m, il faudra qu’on ait

—r-r- f l RR Jr-i-- 4 Tr r' + '‘ R'R' t ir=o;

et lorsque la racine m i sera la même que m, on devra avoir

{-h f! R ‘ Jr R ” dr ) [‘RrFrJr

■*"FT-fr*'f rd r-

Nous ne nous arrêterons pas à vérifier le premier de ces deux résultats; le second suffit pour déterminer immédiatement la valeur de M ; et comme on a

. R a r rzz — P sm 1 - ,

en faisant, pour abréger ,

— [py-h-n —. ] cos ,

il en résultera

2 a 1 b' f 1 R r Fr dr -f- 2 a 1 b f l+l R'r f r dr M= — —

/ x It ^ 1 [, a . ml ml\ 7 n . m l

a oQ /-sm-cos—— -H a b P sin 1 -

Au moyen de cette valeur de M, les formules (e) ne contiendront plus rien d’inconnu ; et elles donneront à un instant quelconque fa température de tel point qu’on voudra de l’une ou l’autre des deux parties de la sphère que nous considérons.

[68.] L’analyse précédente nous conduit, comme on voit , à un résultat semblable à celui que nous avons énoncé [n.° 63], et auquel on serait parvenu en suivant la même méthode que dans le §. VII. e du premier Mémoire. II y a, cependant, une différence entre les résultats de ces deux méthodes : par la nature de la seconde, il ne faut prendre pour m que les racines réelles de l’équation (d), sans s’inquiéter si elle admet des racines imaginaires, tandis que, par la méthode precedente, on doit prendre pour m toutes les valeurs réelles ou imaginaires qui satisfont à cette équation. Les deux méthodes étant exactes, et leurs résultats devant coïncider, on est porté à conclure de leur rapprochement que 1 équation (d) n’a pas de racines imaginaires ; mais 011 n’a aucun moyen de s’en assurer d’une manière directe ; et généralement on ne sait pas reconnaître, si les racines d’une équation transcendante sont toutes réelles. Eulçr a démontré que les équations sin .v=o.

cos .v = o, n’ont pas de racines imaginaires : d’ailleurs on s’assure aisément , à l’égard de ces équations fort simples, que l’on n’y peut pas satisfaire en prenant xzzzp -+- qV —i » a moins qu on naît <7=0 ; mais il n’en est pas de meme, dès qu’il s’agit dune équation transcendante un peu compliquée; et, d’un autre côté, les règles que les géomètres ont trouvées pour s’assurer, à priori, de la réalité de toutes les racines d’une équation donnée, ne conviennent qu’aux équations algébriques, et ne sont point applicables en général aux équations transcendantes. En effet, ces règles se réduisent à deux : l’une est celle que Lagrange a donnée , d’après la considération de l’équation aux carrés des différences ; équation que l’on peut regarder comme impossible à former, dans le cas des équations transcendantes : l’autre règle se déduit de l’ancienne méthode proposée pour la résolution des équations numériques, et connue sous le nom de méthode des cascades ; en voici l’énoncé le plus général.

Soit X—o une équation quelconque dont l’inconnue est .y; désignons, pour abréger, par X', X", &c., les coefhciens différentiels successifs de X, par rapport à x ; si le produit XX" est négatif en même temps que X' = o , que le produit X' X w soit négatif en même temps que X"=o , que X"X' y soit négatif en même temps que X zi o, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à une équation X ii; = o, dont on soit assuré que toutes les racines sont réelles, et qui soit telle que la condition X l ~' : X l ~ h,) négatif pour toutes ses racines soit aussi remplie, il sera certain que l’équation proposée Xz=z o n’a de même que des racines réelles; et réciproquement, si l’on parvient à une équation X (,; i= 20 t qui ait des racines imaginaires, ou pour laquelle le produit X (l ~ ,J X (l '* m,J soit positif, l’équation Xzno aura aussi des racines imaginaires.

Or, lorsque X—O est une équation algébrique du degré quelconque n, on est toujours certain de parvenir après n — 1 différenciations à une équation X ( "~ ,J = o qui n’a que des racines réelles, puisqu’elle est du

premier degré : c’est cette circonstance qui rend la règle précédente applicable aux équations algébriques. Mais si X— o est une équation transcendante, les équations X'^z^o, A"* — o, &c., seront toutes des équations de cette nature; et la règle ne pourra plus s’appliquer, à moins que, dans des cas très-particuliers, la série de ces équations n’eu comprenne une, telle que sin a = o , ou cos x = o , dont on sache que toutes les racines sont réelles.

Il est à remarquer que lors même qu’on aurait prouvé , d’après la forme ou quelque propriété d’une équation transcendante X—o, que ion a XX" négatif pour X' = o , X' X'" négatif pour X" = o , X" X' v négatif pour X" zzz o, et ainsi de suite jusqu’à l'infini, on n’en pourrait pas conclure que cette équation X zzz o n’ait pas de racines imaginaires. Pour le faire voir par un exemple très-simple, soit

X = e M be ax ;

a et b étant des quantités données, et a étant supposée positive. L’équation dérivée d’un rang quelconque /, sera

X li > = e* H- b a 1 e a * = o ; on aura en même temps

or, sans altérer les valeurs de ces quantités, on en peut retrancher celle de X (lJ qui est supposée nulle ; on aura donc

par conséquent

X u -" — — b 1 a 1 '-' e ta ‘ (1 —a)‘ ;

quantité qui sera toujours négative, quel que soit le nombre entier i ; et cependant l’équation proposée

X — e x b c ax z=z o,

a une infinité de racines imaginaires : elle a une seule racine réelle quand Ja quantité b est négative, et n’en a aucune, lorsque b est positive.

[69.] Pour vérifier les valeurs de ru et ril que nous avons obtenues , nous allons les appliquer à quelques cas simples, où ces valeurs nous soient déjà connues.

Supposons d’abord que les deux parties de la sphère soient de la même matière, et ne forment qu’un corps entièrement homogène, on aura dans ce cas, a —a, k' = k; retranchant l’une de l’autre, les équations relatives à la surface de contact de ces deux parties [n.° 63],

il vient d — = —r -— pour r —/; mais comme, dans ce même cas ,

la température n’éprouvera plus de changement brusque en passant d’une partie du corps à l’autre , il faudra que ces équations donnent u—u pour r = / ; ce qui aura lieu si l’on y suppose la quantité g infinie par rapport à k [n.° 16]. Nous ferons donc, dans les formules précédentes, a' = rt', b'=b, et ensuite bz=io o; et elles devront exprimer la loi des températures dans une sphère homogène d’un rayon égal à 1 —f- / .

En supprimant dans l’équation (d) tous les termes qui ne sont multipliés ni par b, ni par b' ; faisant dans les autres b' — b , d — a , et

pour simplifier, — / » il vient

[/3(/-*-/')— i]sin/(/-+-/'}-+-/ (/-f-/')cos f (/-f-/') = o. (h) La quantité Q se réduira en même temps à

Qz=z ÿ (/ -f- 1 ' ) cos / l r -+- [/3 (/ -4- l) — i]sin fl', ou ce qui est la même chose, en vertu de l’équation précédente ,

Qz=z (/(/-*-O sin /(/-+-/') — [/ 3 (/-f-/') —i]cos /(/-h/')) sin fl ;

niais on tire de cette meme équation

on aura donc

<2= sin//. J/> (/-+-/')*-H [0 (/-+-/')-i]\

En ne prenant que la première ligne de la valeur de P, on aura

/-+•/> sin * -^ = (/» (My+fi (/-+-/') [/ 3 (/-*-/')- 1 ]) (/H- /')sin 1 // ; en prenant le reste de cette valeur, il vient

a . ml m l

-sin -cos--+-^sin* -=

["T/ (^T [si 11 2 // — sili 2//] — [jS(/H-/')7-i] 4 (sin 2//'-+-sin 2//)

— (/-4— /') [/3(/—H-/') — i]cos2 //'Jsin 1 //;

quantité dont tous les termes se détruisent quand on y met pour sin 2 fl, sa valeur, savoir :

sin 2 ç / = 2 sin ç ( l-\-i ) cosç ( /-*-/ ) cos 2ç/'-[cos 1 ç ( l-\rl ) -sin 1 ç ( /+■/')] sin 2 g /' __ — 2 g (/—|—/' ) [/^ (/—i—/' ) — i ] cos 2 g/' — [/S (/—i /' ) i J 1 *— 1 (/—>—/' )*] sin 3 ^ / ' ;

Le dénominateur de la quantité Al, abstraction faite du facteur a'b ou a b '/qui se trouve aussi au numérateur, se réduira donc à la valeur

précédente de Q' /-t- P sin* ; d ailleurs on a, en vertu de réquation (h) ,

R' = [/(/-t-Osin/(/-{-/') — [/ 3 (/- 4 -/')—i]cos/(/- f-/)]sin//sin/r

— Q sin / r ;

cette quantité M deviendra donc

2 ^ r Fr sin/r dr-\-J'^ 1 rfr sin fr Q

De plus, à cause de /?' = /?, les quantités r// et ra' déterminées par XIX / Cahier. Ccc

les équations (e) auront toutes deux la même expression ; en sorte qu’il suffira d’écrire la valeur de l’une d’elles , de ru , par exemple , et de l’appliquer à la sphère entière, ou à toutes les valeurs de r, depuis r — o jusqu’à r=l-\-ï. Nous aurons, de cette manière,

; ("__ V C l r Fr sin f rdr

rfr sin frdr^ sin ft

résultat qui exprime effectivement la loi des températures à un instant quelconque, dans une sphère homogène d’un rayon égal à l-\-ï , celle des températures initiales étant représentée par Fr depuis r= o jusqu’à r=l, et par fr depuis r = l jusqu’à r=:l-hl\

[70.] Soit maintenant 1 = o. cas dans lequel le corps que nous avons considéré se changera en une sphère homogène d’un rayon égal à Il s’agit donc de faire voir que , dans ce cas particulier, la valeur de fil donnée par la seconde équation (e) , est celle qui convient a une telle sphère*

En développant le premier membre de l’équation (d) suivant les puissances de /, supprimant le facteur - ™ b J qui se trouve commun à

tous les termes, faisant ensuite lz=.o et -y = /> il vient (fi ï — 1 ) sin / /' f V cos j> J' =z o ;

d’où l’on tire sin p l' —

cos = —-

Vfï' + W-iy

D’après la manière dont cette équation (d) a été formée [n.° 66 ] , elle peut aussi s’écrire de cette autre manière :

-+- [|8(/-l-/ , )-i]sin -^-]^/sin

cos ~

il ml