A« AH

Non seulement nous avons trouvé une formule donnant la vitesse v du ressaut, mais nous avons trouvé une relation obligée entre la vitesse à l'amont et à l'aval. Si cette relation n'existe pas à l'état initial, nous tombons dans l'impossibilité. Tel est le premier paradoxe à élu* cider.

Ensuite nous trouvons deux valeurs pour la vitesse de l'onde. Ces deux valeurs satisfont à l'équation ; il semble qu'il n'y ait pas plus de raison de prendre l'une que l'autre; elles ne peuvent cependant se produire à la fois. Tel est le second paradoxe à élucider.

67. Explieatùm du premier paradoxe. — Quand on dit que l'on peut prendre arbitrairement l'état initial, il y a évidemment une restriction à faire ; c'est que, si l'on ne se propose que d'étudier des phénomènes naturels, il faut que cet état initial puisse résulter d'un état antérieoF.

Siy par exemple, la section AB d'un cours d'eau était une section de , ^ discontinuité pour les vitesses; si la vitesse ti à

■^ ^ Tamont était plus grande que la vitesse u' à

Pavai, il en résulterait un choc, un coup de bélier; réquation de continuité donnerait ^H «= oo ; on pourrait déterminer deux sections A'B', A^B^ qui

"P/J?»fr

^ * viendraient coïncider après un intervalle it ; la

^ , masse fluide A'B'A^B'' devrait être projetée vers

^ rinfini. C'est là un phénomène tout à fait contraire aux phénomènes naturels. Pour reconnaître Timpossibilité de ce phénomène, il suffit de cher- ^""> '\''-'\u,„.„ ^^^ ^'^^^ antérieur ; pour avoir la position de Ç ^J "" la section AB à l'instant t — rfl, il faut déplacer celte Fit. 4P section vers l'amont udi ou de iidt^ selon qu'on la

considère comme faisant partie du liquide d'aval ou du liquide d'amont. Gomme «' est plus petit que u, on trouve qu'il devait y avoir un vide entre les deux masses fluides. Mais alors les pressions supposées dans les sections n'existent plus. Il faut donc supposer deux diaphragmes Ao Bo, A'o B'o animés des vitesses u et v! et s'évanouissant au moment du choc. Ce n'est pas évidemment notre but d'étudier des phénomènes de cette espèce.

Si on supposait u plus petit que u\ le vide se formerait après l'instant considéré et il faudrait imaginer une chute d'eau venant de l'infini, dans les instants précédents.

En résumé, l'état initial n'est arbitraire que dans une certaine mesure ; il faut notamment que l'équation de continuité puisse être appliquée en toutes les sections, sans conduire à des impossibilités. Or ceci s'applique également au ressaut. Nous avons établi l'équation des quantités de mouvement et l'équation de continuité; nous avons admis qu'il n'existait pas de vide et qu'il ne s'en formait pas. Il faut bien choisir un état initial qui soit conforme à cette hypothèse et c'est ce qui explique la relation entre les vitesses u et u' de part et d'autre du ressaut.

Supposons, pour fixer les idées, que l'onde se propage vers l'amont : il tend à se produire au sommet de l'onde une vitesse u' donnée par la formule. Si, à l'aval de l'onde, la vitesse est plus petite ou plus grande que u', il se produira un coup de bélier ou un vide. Si on cherche l'état antérieur, on trouvera l'inverse : un nde ou une chute d'eau venant de l'infini, circonstances qui sont impossibles dans des phénomènes naturels.

68. Explication du second paradoxe. — Nous avons à choisir entre les deux valeurs de t; ; le signe du radical doit être déterminé. Or, nous venons de voir que les valeurs initiales des vitesses u, u' doivent satisfaire à une équalion qui contient ce radical ; ce radical doit donc avoir le signe de u' — u, et par conséquent toute ambiguité disparaît* Mais nous allons pousser plus loin nos investigations ; nous allons démontrer que, dans les phénomènes naturels, la vitesse relative de Tonde par rapport au courant est toujours dirigée du sommet de l'onde vers la base, pour les sections ordinaires des canaux, c'est-à« dire que, pour le ressaut d'élévation, on a toujours

et que, pour le ressaut d'abaissement, on a toujours

▼ II) Cl)

CD, U s'appliquant à la plus petite section.

69. Théorèmes préliminaires. — Théorème I. — A la base du ressaut, la vitesse relative de l'onde finie par rapport au courant est supérieure à la vitesse relative de l'onde infiniment petite. Au sommet du ressaut, au contraire, c'est l'onde infiniment petite qui a la plus grande vitesse relative.

L'équation (8) du numéro 47, rappelée au numéro 66, peut s'écrire :

a>' A(tOTi)

(v — uy = g

ta iitù

Posons d'après l'équation (7) du numéro 47 :

U> (t? — u) =5 w' (t? u') =a Çi (7)

L'équation qui donne la vitesse relative de Tonde devient :

îi* ; =9 A M.

Or, on trouve facilement

A (a»T)) = I u>dH = \ hdîi

A«o __ J i^ r«' WH

L'équation de la vitesse de l'onde devient :

Portons H en abscisse et construisons les lignes :

La fonction y décroît de oo à zéro, J' car on a :

J Jy 1 df 5 <fc>

^ y dH ~ l dH <ù dH

H H" H' « ou bien rig. 41.

y dtt

Nous ne conûdérerons ici que les sections ordinaires pour lesquelles on a :

Si, dans une section de la forme eicontre, on avait constamment :

Flg. 41

entre les profondeurs H et H', les conclusions qui vont suivre seraient renversées; mais c'est là un cas tout à fait exceptionnel.

Soient : BB' et AA' les lignes y et ^| ; d'après l'équation (3), la parenthèse, qui est y — y^, doit changer de signe; or, c'est une fonction constamment décroissante; donc elle passe du positif au négatif et ne devient nulle que pour une seule valeur H'' de H. En considérant co comme le poids spécifique des aires, on a, d'après l'équation (3) :

poids BCA = poids CA'B' C'est cette conditton qui détermine y^ ou q^.

On a donc pour la hauteur H, en remplaçant q^ par (o (v — u) :

— r- > — r- OU bien {v — u)* > gi.

On a de même pour la hauteur H\ en remplaçant q^ par co' (v — u') :

Ces inégalités démontrent le théorème, car t? — UjV — u' sont les

vitesses relatives de Tonde finie; ^^j ^gh' sont les vitesses relatives des ondes infiniment petites.

Il est évident que, dans l'énoncé du théorème, il s'agit des valeurs absolues de t? — w, t? — u'.

Les inégalités précédentes peuvent aussi s'écrire :

ou en remplaçant v — ti, v — u' par leurs valeurs tirées des équations (8) et (10) du numéro 47 :

Théorème IL — U existe une profondeur intermédiaire, pour laquelle on a :

u «= tt" d= vgï?' pour w" (u — u") =: çi.

En effet, au point G, on a :

— - = -^ d'où (t? — u")* = gh\ ta/'* q^^

Théorème III. — Si H reste constant, la valeur absolue de la vitesse relative v — u varie dans le même sens que H'. Si H' reste constant, la valeur absolue de la vitesse relative v — u' varie dans le même sens que H.

Si H reste conslant et si H' augmente, il faut abaisser la ligne ^i pour satisfaire à l'équation (4) : donc 94* augmente et comme «» est constant, {v — w)* ou \ V — u I doit augmenter.

Si H' reste constant et si H augmente, il faut encore abaisser y^ pour satisfaire à la condition (4) ; donc q^'^ augmente. Or, »' reste constant, donc {v — u')* ou \v — u' \ doit augmenter.

Théorème IV. — Si 91' reste constant, les hauteurs H et H' varinte en sens contraire.

En effet, BB' et AÂ' sont alors des courbes fixes ; donc, si H au^ente, H' doit diminuer pour que la condition (4) continue à être satisfaite.

CorroUaires. — En appliquant ces théorèmes au ressaut immobile, nous retrouverons des théorèmes connus, relatifs au ressaut permanent. Il suffît de faire v égale à zéro ; Téquation (7) derient : »u =: o,ti' = ç =: — q^.

Donc 94* devient q* ou le carré du débit.

1 . D'après les théorèmes i et II, on a, dans le cas du ressaut fixe :

gh"

Donc, à la base du ressaut, on a le cas des grandes vitesses ; au sommet du ressaut, on se trouve dans le cas des vitesses modérées ; à une hauteur intermédiaire passe la ligne des éléments verticaux des axes hydrauliques du mouvement permanent.

2. Dans le ressaut fixe, la vitesse relative est dirigée vers Tamont au sommet comme à la base. On déduit facilement du théorème lil que le ressaut se meut vers Tamont, quand on augmente H ou H\

3. D'après le théorème IV, si le ressaut reste fixe pour un débit constant» H et H' doivent varier en sens contraire. On sait que de ce théorème on déduit une propriété de la courbe des ressauts, dans le' cas d'un lit prismatique.

70. Ressaut évanouissant ou onde éphémère. — ^| Nous prendrons

d'abord le cas d'un ressaut d'élévation, et dans les formules (8) et (9) du numéro 47, rappelées aux numéro 66, nous choisirons le signe supérieur du radical.

Soient : GAA'B' l'axe hydraulique initial en élévation, GAB cet axe en plan.

Nous pouvons déterminer par les caractéristiques, les triangles ABE et CAD commandés par les arcs GA et AB. Par le point A, nous pouvons mener deux caractéristiques d'amont : l'une, AE, relative à la surface hydraulique supérieure, l'autre, AF, relative à la surface hydraulique inférieure.

Les équations de ces deux caractéristiques sont :

(ù -r (u' + V^') dt

A = (u + V^) dt.

Nous pouvons ensuite représenter la marche de Tonde finie par Uk droite AR et Téquation :

rf* s= (tt + y^ghi) dL

Les vitesses relatives de ces trois ondes sont dirigées vers l'aval et, d'après le théorème I du numéro précédent, les droites AE, AF, AR, qui représentent la marche des trois ondes, ont bien la disposition de la figure; c'est l'onde infiniment petite au sommet de l'onde finie qui marche le plus vite, puis vient l'onde finie, puis l'onde infiniment petite à la base du ressaut. Nous allons montrer que le ressaut va s'étaler; que sa base aura une marche représentée par la ligne AF; sa tète, une marche représentée par la ligne AE; de telle sorte que le ressaut est un ressaut évanouissant, faisant place à un axe hydraulique ordinaire dont l'inclinaison sur l'horizon, d'abord verticale, va en diminuant de plus en plus.

Nous pouvons d'abord démontrer qu'il en est ainsi en divisant la hauteur AA' du ressaut en parties infiniment petites ; chaque partie constitue une onde.

L'onde la plus élevée va se mouvoir avec la vitesse u' + l^^A'; sa marche est donc bien représentée par AE ; l'onde la moins élevée aura, au contraire, une marche représentée par AF et les ondes intermédiaires auront des vitesses intermédiaires. Nous arrivons aussi aux mêmes conséquences en construisant la surface hydraulique entre les caractéristiques AE et AF. En A l'axe hydraulique initial présente une ligne verticale AA' et il en est de même de la ligne des vitesses. Les caractéristiques d'amont varient de AF à AE. Ces caractéristiques sont coupées par les caractéristiques de l'autre système, dont l'une sera EF. Les caractéristiques qui émergent de la droite AA' (ou en projection du point A) ont pour équation

ds =r (u« + y'JÏ?) dî,

mais il faut faire varier u" et h' entre les limites u, h et u', h' d'après une certaine loi. Pour obtenir cette loi, nous considérerons AA' comme la limite de la caractéristique EF, E'F', pour E, E' convergeant vers A. Nous écrirons donc :

— dH + V — dti =

eii faisant dl » dans Téquation de la caractéristique écrite au n^ 54 • Nous prendrons donc pour la vitesse u" à une hauteur H*

Nous avons précédemment divisé la verticale AV en ondes infinilaeiilt petites; il est facile de vérifier que cette division conduit précisément i la relation entre u' et H' que nous venons d*établir. A une hauteur H", nous aurons une onde de hauteur dW. Or, la relation entré les deux vitesses à la tmse et au sommet d'une onde infiniment petite est (48 et 49)

^.«u + .Vt-

Nous ferons ici ti' — « = du"^ i = dW^ h = h"; on h donc :

66 qui est précisément la formule écrite plus haut.

Connaissant la relation entre u" et H^ nous pouvons construire, par la IHéthode ordinaire, le triangle AEH et les suivants; ainsi on déter- Àineira le point H en suivant les caractéristiques AH et EH, et ainsi de suite. On calculetu ensuite le quadrangle ADKF et le problème sent résolu.

Aplrès avoir constaté qu'il s'agit d'une onde éphémère qui s'étale à partie de l'instant initial, nous devons nous demander si cet état initiât oOrrespond bien à un état antérieur possible dans les phénomènes Malurels. Or, en faisant décroître le temps et en prolongeant les caractéristiques EA et FA, nous trouvons une surface en surplomb sur la surface inférieure ; cette solution est physiquement impossible. On ne peut lui substituer une onde finie, car elle serait déjà disparue à l'instant initial considéré. 11 faudrait donc encore imaginer un diaphragme qui maintiendrait artificiellement une différence de niveau, diaphragme qui s'évanouirait à l'instant initial. Nous pouvons donc dire que la formule i) s= u + ^gh^ pour un ressaut d'élévation, ne peut pas s'appliquer à un phénomène naturel.

Ce que nous venons de dire du ressaut éphémère d'élévation, nous pouvons rappliquer au ressaut éphémère d'abaissement. On pourrait recommencer la même discussion; mais on peut aussi supposer que.

dans la figure précédente, l'aval soit à gauche, ramonl à droite. Le ressaut devient un ressaut d'abaissement. Les vitesses sont alors estimées de l'aval vers l'amont; nous reviendrons aux conventions ordinaires en changeant le signe de toutes les vitesses dans les formules précédentes, ce qui revient à changer le signe du radical. Le ressaut éphémère d'abaissement est donc déterminé par la formule :

D ss « — l^yA|.

Pl«. 4i.

On pourrait traiter directement la question et démontrer, comme précédemment, que cette formule ne correspond pas à un phénomène naturel.

71. Ressaut persistant. — En procédant par exclusion, il résulte de la discussion précédente que les seules formules qui donnent la vitesse d'une onde finie sont les équations (1) et (2) du numéro 68. 11 reste à vérifier que, dans ce cas, le ressaut est réellement persistant et qu'il peut résulter d^un état initial antérieur. Nous ne considérerons que le cas du ressaut d'élévation. Nous arriverons au ressaut d'abaissement en appliquant le raisonnement du retournement de la figure ou en traitant directement la question par la même méthode. Soient : CAA B' l'axe initial en élévation, GAB cet axe en plan. Nous pouvons construire les triangles ADB

et GâF limités par les caractéristiques et les arcs AB et AG. Par le point A nous pouvons mener deux caractéristiques d'aval ; Tune, AE, relative à la surface hydraulique supérieure, et dont l'équation différentielle est

ds^(u' — V^gh')dt,

l'autre, AF, relative à la surface hydraulique inférieure, et dont l'équation différentielle est

(fa = (u — 1/ jfÂ) dt.

Les vitesses relatives des trois ondes sont dirigées vers l'amont et, d'après le théorème i du numéro 69, les droites AE, AF, AR ont bien la dispositiop de la figure.

Si nous décomposons la hauteur AA' en ondes infiniment petites, nous voyons qu'au sommet l'onde infiniment petite tend à dépasser toutes les autres, sa marche étant représentée par AE ; tandis qu'au

pied du ressaut Tonde infiniment petite reste en arrière, sa marche étant représentée par AF. La verticale AA' tend à se transformer eu ligne en surplomb, mais comme cela n^est pas possible, il y a déversement des ondes supérieures et le phénomène de Tonde finie persiste.

On pourrait aussi construire une surface hydraulique continue FAE, comme au numéro précédent, mais cette surface serait en surplomb au-dessus de la surface FAG ; c*est une solution physiquement impossible, qui doit être remplacée par Tonde infinie.

Si on cherche l'état antérieur, on trouve que GAB est commandée par C^oA|Bo; il y a une certaine indétermination. Pour la surface A^AAf on peut prendre indifféremment Tonde finie A^A ou une surface continue A^ AA| engendrée par{ les caractéristiques d'aval qui passent par A. Dans ce dernier cas, on a un segment d'axe hydraulique qui se redresse jusqu'à la direction verticale; c^est une onde finie en voie de formation instantanée {i),

72. Marche du ressaut. — Nous pouvons tout d'abord construire la

surface hydraulique com- ^ mandée par Taxe initial inférieur AX, ainsi que la surface hydraulique commandée par Taxe initial supérieur AY. Nous savons déjà que Tonde finie enva- Fig. M. hit une partie de la pre-

mière surface» de sorte que nous connaissons ti et ;^ à la base de Tnnde finie. Il s'agit de montrer comment on peut déterminer la surface hydraulique ZAA, limitée par la caractéristique AZ et la ligne AA, qui représente la marche de Tonde. Nous traçons d'abord AA^ en remplaçant la ligne AA, par sa tangente en A et en appliquant l'équation : .

ds = (u—y^i)dt.

Tirons la caractéristique Ai Ei; nous calculerons u', z' en A| en écrivant Téquation de la caractéristique Ei Ai et la relation (9) entre les vitesses u, u' à la base et au sommet du ressaut ; dans cette dernière

(i) Une anomalie se présente toutefois. Dans le ressaut on admet une variation brusque de vitesse, d'où perte de pente. Dans le segment incliné, il y a continuité des vitesses, cette perte de pente est nulle. La vérité est intermédiaire. On devrait corriger la formule du ressaut en admettant la continuité de « à «* (à trouver par Texpérienoe) et le choc de tf* à u\ Dans le segment incliné, introduire une perte de pente supplémentaire.

— lOJ —

équation ti, ^ ou H sont connus ; nous aurons donc deux équations pour trouver u' et % (ou H'). On perfectionne ensuite le tracé par la métiiode des moyennes. On construit alors le quadrangle EiDDiAi. Puis on calcule le triangle A|E,A, comme nous avons calculé le triangle AAiEj et le quadrangle D^ E, A, D, peut être construit. On continue de la même manière.

On remarquera qu'eu chaque point de la courbe AA, aboutissent deux caractéristiques d'aval : Tune de la surface supérieure, l'autre de la surface inférieure. S'il existait des ondes très petites sur les axes hydrauliques supérieur et inférieur, la marche de ces ondes serait indiquée approximativement par ces caractéristiques, et l'on voit que ces ondes se réuniraient à l'onde finie pour en augmenter l'importance. Remarquons aussi que le mouvement de l'onde finie dépend dans une certaine mesure des fonctions arbitraires qui déterminent les surfaces hydrauliques. Mais l'étendue de l'arc AB, dont la courbe AA^ dépend, est d'autant plus petite que la hauteur de l'onde finie est faible. Pour une onde infiniment petite la courbe AA„ serait une caractéristique qui ne dépendrait que de la surface hydraulique inférieure.

73. Onde uniforme. -7- Il existe une solution particulière très simple du mouvement de l'onde, dans le cas d'un lit prismatique ; c'est l'onde qui relie deux mouvements uniformes. Considérons une onde d'abaissement ; on a

Flg. 37.

ww

Prenons comme formule du mouvement uniforme

En éliminant u et u' entre ces trois équations, on a

Telle est l'équation de l'onde uniforme ; nous lui donnons ce nom parce qu'elle se meut avec une vitesse constante et conserve la même hauteur. On peut se donner les deux profondeurs (les deux vitesses, ou les deux débits) et calculer la pente. Si on se donne la pente, on trouve une relation entre les profondeurs; si on prenait un ressaut d'élévation, on devrait changer le signe du radical de la relation entre les viteses, on trouverait un pente négative ; on retomberait donc sur le ressaut d'abaissement, mais avec changement du sens du mouvement. Il n'y a donc que l'onde d'abaissement qui peut devenir uni-

forme. Supposons un lit rectangulaire très-large et, pour simplifier» prenons a= a', R »> A, R' «= h'. L'équation de Tonde uniforme devient :

D'où :

ga KK

Posons :

On trouve :

ga a^

On obtient le minimum de pente pour â? = I ; on trouve :

f sa 4 ga.

C'est une pente considérable. Cette solution particulière ne pourrait se produire, dans la propagation d'une crue, que s'il s'agissait d'une rivière torrentielle.

§ 6 MoUVBHEfilT PBRlIAlfENT ET PROBLAMBS AlfALOGUBS.

74« Méthode générale. — Le problème du mouvement permanent dans les cours d'eau prismatiques a été résolu par Boudin dans toute sa généralité [Annalee des Travaux publiée de Belgique^ tome XX, 1863). La méthode de Boudin repose sur les propositions suivantes : si les conditions d'amont et d'aval ne changent pas, le mouvement permanent finit toujours par se produire; lorsque plusieurs solutions sont possibles, la plus stable est celle qui admet le centre de gravité le plus bas, c'est elle qui se produit. Ces propositions ne sont pas démontrées. On démontre en mécanique que la position d'équilibre stable d'un système pesant est la position peur laquelle le centre de gravité est le plus bas possible, mais on cherche en vain dans le mouvement permanent d'un liquide quel est le système matériel qui est en équilibre. Ajoutons que beaucoup de solutions considérées par Boudin comme possibles, ne le sont plus quand on pousse plus loin l'examen de la question.

il nous semble que la véritable méthode pour reconnaître l'exactitude d'une solution du mouvement permanent, c'est d'y appliquer les équations du mouvement varié (dans le temps), afin d'y constater la permanence. Il peut être utile de vérifier la stabilité de la solution en modifiant infiniment peu les conditions initiales.

Les défauts de la théorie de Boudin ont déjà été signalés par Bresse {Hydraulique, i868, pp, 3i0à 3i!2).

« Le problème ainsi posé — dit Bresse — conduit à examiner un assez grand nombre de ces particuliers dont la discussion, très difficile, a été présenté par M. Boudin avec beaucoup de talent et de sagacité ; mais, malgré les progrès incontestables qu'il a réalisés, nous ne

croyons pas qu'il ait réussi à dissiper tous les nuages Il est résulté

de là que M. Boudin a dt souvent conclure de la possibilité d'un mode d'écoulement à sa réalité: une certaine inquiétude peut subsister dans l'esprit de son lecteur... »

Bresse a aussi pressenti que c'est par l'étude du mouvement varié que Ton peut espérer de résoudre ces difficultés, i Cela vient peut-être, dit-il, de ce qu'on n'a guère étudié les mouvements non permanents, ni la variation continue avec le temps, qui peut faire passer un liquide soit de l'état d'équilibre à un état de mouvement permanent, soit d'un mouvement permanent à un autre. Tout le monde admet aujourd'hui q«'on ne saurait guère aborder les questions que soulève l'étude un peu approfondie des machines avec la seule statistique et qu'il faut y joindre celle des lois du mouvement. Il en est un peu de même ici, car le mouvement permanent a quelque ressemblance avec l'équilibre, et ^a théorie est comme une espèce de statique* »

75. — Position du reêsauL — Après avoir reconnu l'existence d'un axe d'amont RS et d'un axe d'aval NM, on trace la courbe SK des hauteurs du ressaut. Le ressaut se produit au point d'intersection K de celte courbe et de l'axe d'aval.

JL Boudin démontrait cette règle de la manière suivante : i® le ressort ne peut se produire plus bas en K', car sa hauteur

serait insuffisante; 2^ il peut se produire

. ^^,^,,,,,,,,,,,,,;;,,n ...M > plus haut en K''; les eaux retombant au ni-

iPj,, 4s. veau de l'axe d'aval, 3^ de toutes les solu-

tions possibles, c'est celle qui admet le centre de gravité le plus bas qui se produira. On peut faire à cette démonstration les objections suivantes : s'il s'agit d'un ressaut varié, il est possible en amont et en aval du point K; s'il s'agit d'un ressaut permanent, il est tout aussi impossible en amont qu'en aval. En effet, si les eaux retombent au niveau de l'axe d'aval, on peut toujours prendre une section d'aval au point où la chute est effectuée et retrouver l'équation du ressaut permanent, équation qui ne sera pas satisfaite.

Démonstration par le ntouvement varii. — Si on suppose le ressaut en K, sa vitesse est nulle ; la permanence des axes s'établit par les surfaces hydrauliques. Supposons que le ressaut se produise en AA' et

prenons, comme axe initial, les axes permanents RA et A'M. Nous (devons appliquer les formules :

Ail) A((»n)

Si nous appliquons la première formule à Tonde AK^, nous trouverions t? es 0; mais nous devons diminuer H\ donc, en vertu du théorème ill du numéro 69, la valeur absolue de t? — u ou V^gh^ va diminuer; on trouvera donc une valeur positive de t?, ce qui prouve que Ponde se rapproche du point K. H faut remarquer que, pour satisfaire à la seconde des équations précédentes, il faut modifier faiblement les vitesses initiales le long d'une certaine étendue de l'axe d'aval (ou d'amont); ces modifications sont très petites, car elles seraient nulles si le ressaut était en K. Gela exclut l'hypothèse du ressaut évanouissant, car alors il faudrait changer le signe du radical dans les deux équations et les vitesses devraient subir de grandes modifications, ce qui est contraire à l'hypothèse des petites modifications dans les conditions initiales.

On démontre de la même manière que si le ressaut est placé en aval du point K, il remonte vers le point K. On pourrait demander d'étudier les lois du mouvement du ressaut dans les environs de sa position d'équilibre ; cela n'est pas possible, par la raison bien simple qu'il n'y a pas de loi. Il faut, en effet, supposer que le mouvement permanent soit troublé sur une certaine étendue ; cette perturbation dépend de deux fonctions arbitraires. La marche et la hauteur du ressaut dépendent aussi de deux fonctions inconnues ; il semble donc que Ton pourrait se donner arbitrairement ces deux dernières fonctions pour en déduire les autres. Nous allons démontrer qu'il en est ainsi.

7J rig.40.

Notre but est d'obtenir, comme solution finale, la position d'équilibre du ressaut, représentée par GR, et les surfaces cylindriques S, S', engendrées par les axes du mouvement permanent.

Menons par G les caractéristiques d'aval GA et GD sur les surfaces S, S' prolongées en faisant décroître le temps ; donnons la trajectoire GB du ressaut. En se donnant GB,on se donne une équation entre u et H et l'on peut construire la surface S" qui recouvre

l'espace BCA. On a de même une relation entre u' et H', et Ton pourra construire S'" pour recouvrir BCD,

H y a même indétermination pour les surfaces ABE et BFD ; on peut se donner une relation entre u et H le long de ABD. On voit donc que Ton pourra déterminer l'état initial ABD, qui réalise la marche BEC du ressaut, choisie arbitrairement (dans une certaine mesure.)

76. Du ressaut permanent d'abaissement. — Si on applique l'équation des quantités de mouvement à un ressaut permanent d'abaissement, on trouve la même formule que pour le ressaut d'élévation, f II ne semble pas impossible — écrit Bresse (Hydraulique^ p. 306) — qu'un ressaut de cette espèce existe dans un courant ; toutefois, nous n'avons à cet égard qu'une présomption théorique, et, avant de l'admettre comme suffisamment établie, on doit attendre qu'un observateur à venir en ait montré la réalisation matérielle. »

Notre théorie permet de démontrer que ce ressaut d'abaissement

est impossible pour les sections ordinaires, où 3 JT ®^^ positif. En

effet, la vitesse du ressaut d'abaissement est donné par la formule v =sr tt + y'gk, et cette vitesse ne peut s'annuler. On pourrait, il est vrai, imaginer un état initial pour lequel le radical aurait le signe moins, mais ce serait un ressaut évanouissant.

77. Détermination des axes hydrauliques da mouvement permanent. —

H serait oiseux d'examiner tous les cas, attendu que les raisonnements sont presque toujours les mêmes.

Prenons l'exemple d'un vannage tel qu'en supposantl'orifice à fleur d'eau,

^ ^ on ait :

^^TTTT^ U s'agit de démontrer que le mode Pig 5g d'écoulement est bien celui que l'on

suppose, c'est-à-dire que le bord de l'orifice a est le premier point de l'axe d'amont. Considérons des solutions infiniment peu différentes de la solution a. Supposons une solution p ; «p est un ressaut d'abaissement ; oa bien il est évanouissant, ou bien il s'éloigne avec une vitesse u + ^gf^i; dans les deux cas, on revient à la solution a. Supposons une solution y ; «y est un ressaut d'élévation qui s'évanouit ou

s'éloigiie avec une vitesse positive u — rgh. On pourrait objecter que «y recouvre le vannage, mais les pressions de la paroi, si elles eiistaîent, accéléreraient le mouvement de Tonde.

Ou peut supposer Taxe A', réalisé; on lève le vannage de p«; l'étude des vitesses apprend que «^ est un ressaut d'abaissement évanouissant ; on peut, d'ailleurs, étudier la surface hydraulique qui représente le mouvement varié ; elle se compose des surfaces cylindriques ayant A, et A', comme directrices, réunies par deux autres surfaces, dont l'une est engendrée par les caractéristiques d'aval portant des points de la verticale p«.

Si au contraire, on suppose A, réalise, et si on abaisse le vannage, ou trouve que la surface commandée par la verticale «y est physiquement impossible et que l'onde finie doit se produire ; elle s'éloigne avec

la vitesse u- vgk.

78. Problèmes analogues du mouvement varié. — On peut reprendre tout^ la discussion des axes du mouvement permanent et faire varier continûment les conditions d'aval et d'amont ; on construira les surfaces hydrauliques et la marche du ressaut. Supposons, pour fixer les idées, un axe d'amont A, avec déversement à l'aval dans un réservoir ; les conditions d'amont ne varient pas, mais le niveau du réservoir s'élève graduellement. U se produit d'abord à l'aval un ressaut incomplet; ce ressaut ne peut remonter le canal, car sa vitesse serait dirigée vers l'aval. 11 arrivera un moment où la vitesse du ressaut sera dirigée vers l'amont.

La surface hydraulique se compose d'une surface hydraulique S

engendrée par l'axe d'amont, séparée, par un ressaut, de la surface CBM commandée en partie par l'aval.

Supposons qu'en B la vitesse du ressaut passe par zéro. Nous pouvons admettre comme première approximation que l'arc BD' se confond avec BD ; on trouve H' en D par la condition d'aval ; ou trouve u' en D' ou D par l'une des équations du ressaut.

On peut ensuite déterminer plus '>«• 51. exactement le point D' en appli-

quant la méthode des moyennes à Tare BD' et l'arc DD' de la c^racté-

rlstique d*aval. On trouve le point E en suivant DE et D'E ; puis E' comme

D\ et ainsi de suite II arrivera un moment où le ressaut noiera rorifiee par sa base. A partir de ce moment, on a, entre u' H' et c, une relation

F{c,tt', H')«0,

mais le débit n'est plus indépendant de l'aval. On arrive à la relation précédente en éliminant H" entre l'équation qui donne le débit et l'équation de Tonde où Ton pose t? = 0, grâce à l'introduction des presl'iF* ^' sions du vannage; le terme w^ doit être

remplacé par»" tf. calculé pour la hauteur H" (*). On construit alors la surface hydraulique NGFM par zones telles que FKHC. On trouve le point K en suivant la caractéristique F'K ; puis des quadrangles successifs déterminent le point H'; ou trouve alors le point H en suivant H'H et appliquant au point Hi l'équation précédente.

On pourrait aussi engendrer la surface par les caractéristiques d'amont et déterminer successivement D'E, E'K, etc.

§ 7. Formation d'une onde finie dans un mouvement continu.

Mascaret.

79. Dans le mouvement permanent, le ressaut ne se produit que pour

passer d'un axe hydraulique à grande vitesse (« > I^^^Â) à un axe

hydraulique à petite vitesse (i» < I/9Â'). Mais dans le mouvement varié il peut se produire uu phénomène merveilleux, bien différent des phénomènes du mouvement permanent : c'est la formation d'une onde finie au sein d'une surface hydraulique continue, même dans le

cas des vitesses modérées (u < y gh) Cette onde nait en un point du fleuve, se déplace en augmentant d'importance, puis diminue et s'éteint.

Nous avons vu, au numéro 37, que les projections horizontales des

(*) M. Keelhof a signalé une erreur commise par Boudin, qui a supposé que le ressaut disparaît instantanément. LMdée même du mouvement varié rend cette hypothèse impossible, car la diminution brusque du débit occasionnerait un vide dans le canal. M. Keelhof admet l'axe d*aval de Boudin, mais démontre qu'il y a abaissement contre la vanne. [kwnaJiM des Ingénieun êoriii de VÈcoU de Gand, 4898; «- Annales des Travaux publics, 1898, p. 873.)

caractéristiques pouvaient envelopper une courbe ; a cette courbe cor^ respond un contour apparent sur chacune des surfaces intégrales. Si, en construisant une surface hydraulique, on trouve un contour apparent séparant deux nappes ayant même projection horizontale, il est bien évident que la solution continue est alors impossible. On ne peut pas réaliser plusieurs valeurs de z ou de u au même endroit ; on ne

pourrait pas réaliser un axe hydraulique de la forme ABCDE ; la solution de (^ Tonde iinie BB* s'impose. Il y a lieu de

distinguer deux cas : i® Tonde finie -j d'amont, si ce sont les caractéristiques f /,w/,^ d'amont qui enveloppent une courbe en Fig.55. projection horizontale; ^ Tonde finie

d'aval, si ce sont les caractéristiques d'aval qui fournissent le contour apparent. Le mascaret est une onde finie d'aval. Nous en donnerons d'abord la description, nous résumerons la théorie admise jusqu'à ce jour, puis nous exposerons notre théorie du contour apparent.

80. Description du mascaret. — Voici comment M. Partiot décrit le mascaret de la Seine {Annales des Ponts et ChausséeSy 4864, t. I^, p. i8} : « Lorsqu'on examine l'arrivée du flot, un jour de syzygie, du sommet de l'un des promontoires élevés qui dominent l'embouchure de la Seine, on voit qu'un simple changement dans le sens des courants indique que la mer monte au milieu des passes profondes qui existent entre les bancs. Sur le bord de ces passes, on aperçoit comme un gonflement subit ou une vague dont une extrémité parcourt, en déferlant, la rive, et qui se prolonge, mais sans se briser, vers le milieu de la passe. On peut même remarquer, à la forme de la limite des eaux sur le banc, qu'une élévation de niveau suit immédiatement son passage. Cette vague n'est autre chose que le mascaret. •

La hauteur du mascaret a quelquefois atteint plus de 3 mètres en aval de Tamarville.

81 . Ea^lication de Brémontier^ Bahinet^ Bazin. — Nous emprunterons cette explication à YHydraulique de M. Collignon fp. 309) : a Le phénomène connu sous le nom de barre, de mascaret, de bore (sur le Gange), de pororoca (sur le fleuve des Amazones), a été expliqué pour la première fois par Brémontier; la théorie qu'il a proposée est aujourd'hui généralement admise, surtout depuis les publications de M. Babinet, qui l'ont, en quelque sorte, rendue populaire. Mais M. Bazin l'a précisée en y appliquant ses formules.

» il prend pour exemple un fleuve de 2 mètres de profondeur, dans

lequel les eaux s'écoulent avec une vitesse de 1 mètre ; la marée monte de 2"^.40 par heure, ou de O^'.âO par chaque intervalle de cinq minutes. Supposons que cet exhaussement, au lieu de s'opérer d'une manière continue, se produit brusquement par tranche de CSO. La première tranche donnera lieu à une onde qui aura pour vitesse

le calcul montre que la vitesse du courant descendant n'est plus

que de 0".58

» Au bout de cinq minutes, le niveau s'élève de 0^.20, et l'onde à laquelle ce nouvel exhaussement donne naissance, a pour vitesse, vers l'amont :

... la vitesse moyenne descend à 0^.17.

» Cinq minutes après arrive une troisième onde, qui aura pour vitesse

et la vitesse du courant devient négative. Alors seulement l'eau de la mer refoule l'eau du fleuve. La vitesse de propagation des ondes a été, comme on le voit, toujours en augmentant. La première onde aura parcouru dans les cinq premières minutes un espace de 1,092 mètres à la vitesse de 3''.64; la deuxième, qui part cinq minutes plus tard, avec une vitesse de 4in.27, rattrappera la première à la distance de 7,400 mètres, au bout de 34 minutes. Alors les deux ondes forment ensemble une onde unique qui a ".40 de hauteur et qui s'avance dans le canal à la vitesse de

yg(^+ 0,40) — 1 = 3'-.8ô.

» Mais la troisième onde s'avance avec la vitesse de4'".88; elle atteindra au bout de quelques minutes l'onde combinée, dont elle portera la hauteur à 0^.60, et la vitesse à

a Par ce calcul approximatif , on conçoit comment, au bout de

quelque temps, la réunion des ondes élémentaires peut former une lame de dimension finie qui marche en tète du flot. »

82. Objections, — Si les calculs que nous venons de transcrire étaient exacts, on devrait en conclure qu'il doit se produire un mascaret dans tous les fleuves, car les ondes successives à marée montante ont toujours des vitesses croissantes.

k chaque crue d'une rivière, les ondes successives devraient, pour les mômes raisons, se concentrer en une onde unique. Or, on sait que le mascaret ne se produit que dans des conditions exceptionnelles, et que le ressaut d'abaissement, en temps de crue, ne se réalise presque jamais.

Pour reconnaître Terreur qu'il y a dans ces calculs, il suffit de calculer les pentes pour les différents mouvements uniformes qui se succèdent; on trouve des pentes très différentes, et conune cette pente doit être la pente du fond, on tombe dans l'absurde.

Remarquons, d'ailleurs, que les ondes seraient des ondes uniformes, et nous avons démontré que l'onde de relèvement n'est jamais uniforme (73). Nous reprendrons plus loin les données du calcul de M. Bazin et nous démontrerons que le mascaret est impossible avec ces données et que deux ondes infiniment petites qui se suivent, se rapprochent continuellement, mais leur distance tend vers une certaine limite qui n'est pas même égale à zéro.

83. Contour apparent de la surface hydraulique. — Appliquons aux équations du mouvement varié la théorie du numéro 37 relative au contour appareut des surfaces intégrales de deux équations simultanées aux dérivées partielles. Si nous nous donnons deux[courbes arbitraires associées, sur les deux surfaces intégrales, on peut calculer les dérivées des fonctions 2r ou u par les équations (1) (2) (3) (4) du numéro 50. On trouvera, par exemple :

dz N

Nous avons obtenu les caractéristiques en exprimant l'indétermination ; nous avons annulé le numérateur et le dénominateur. Nous trouverons le contour apparent en exprimant que les dérivées sont infinies; il faut, pour cela, égaler le dénominateur à zéro, les numérateurs restant quelconques. Nous retrouvons ainsi la première des équations des caractéristiques sans la seconde ; ou a donc :

ds = (u :izV^gÂ)dt.

Pour déterminer les deux courbes associés, nous devons encore nous

— Hl —

donner arbitrairement deux équations. Si, par exemple, nous prenons les caractéristiques d'amont, nous poserons :

M = ^{t), z = +(^), A = (» + V^dt.

Connaissant ces deux courbes associées, on peut construire la surface hydraulique et son associée. En projection^ horizontale, le contour apparent est enveloppé par les caractéristiques correspondantes, car en un point A,

d9 on trouve la même valeur de —-pour le

dt

contour apparent et la caractéristique. Quand

on se donne deux courbes arbitraires sur les

Fig. 54. surfaces intégrales, on peut construire ces

surfaces par triangles et quadrangles ; cette méthode est applicable id;

mais il y a quelques particularités à signaler. Pour un même arc AB,

on peut construire le triangle AAiB ou ABBi ; ces triangles se trouvent

sur deux nappes différentes^ sinon au point C, on ne trouverait pas

ds deux valeurs de -rr • Pour calculer le triangle AA|B, on écrit les

équations des caractéristiques AA| et A|B; dans une première approximation, on peut pour AAiécrire

— dfl+V — rfw^O d$=dt =

On a pour BA] :

On calculera H'' et v/* en A^, puis on perfectionnera par les moyennes. On trouve la première nappe en construisant les triangles analogues à AA|B, puis les quadrangles. On trouve la seconde nappeen prenant les triangles analogues à ABB, puis les quadrangles.

Puisque le contour apparent dépend de deux fonctions arbitraires, il semble qu'on peut obtenir de cette façon toutes les intégrales. Mais il faut remarquer que le contour apparent peut devenir imaginaire, se transporter à l'infini ou en dehors de la partie utile du plan des {fi).

84. Onde finie d'aval ùu nuueareL — Connaissant Taxe] hydraulique AB à marée basse, on peut déterminer la surface S commandée par Taxe initial, puis la surface S' commandée par Taval et la caractéristique BG.

Supposons qu'à un moment donné on trouve une caractéristique DE, coupée en E par la caractéristique suivante. À partir de la caractéristique DE, on doit abandonner la solution à deux nappes engendrées par les caractéristiques EE', FF', pig. 5,. HH' et déterminer la courbe ER

qui représente la marche de Tonde finie qui se produit. Nous avons indiqué précédemment comment on pouvait construire celte courbe ER et la surface S'' commandée par l'aval et la marche du ressaut (78) On obtiendra donc la variation en hauteur et en position du mascaret, jusqu'à sa disparition.

Le point où commence le mascaret est le point E du contour appa-

rent qui correspond au minimum de t. Gomme -pOu u — y'gi n'est

jamais infini, le point E doit être un point d'arrêt, ou un point de rebroussement du contour apparent.

Nous avons vu aussi que les caractéristiques pouvaient passer par un même point; il y aurait alors formation instantanée d'une onde finie(7i) 65. Circonstances qui peuvent provoquer, la formation d'un mascaret. — I . Rapidité d'élévation de la marée. — Si on pouvait relever le niveau d'aval avec une rapidité assez grande, on pourrait toujours obtenir un mascaret. En effet, soit BGD une caractéristique d'aval ;

donnons-nous la projection GE du contour apparent; cela revient à donner une relation entre » et H le long de GE; on peut alors construire la surface hydraulique, connaissant la caractéristique GD et la relation dont il vient d'être question, suivant CE ; la seconde nappe déterminera BF ou la variation du niveau d'aval. On peut aussi écrire

l'équation qui donne la variation de

Ftff. 5.

le long de la caractéristique BC (52,86)^ déterminer la constante en

aH 3H

exprimant que — -— est infini en C et en déduire — r— en B. On voit

donc que s'il s'agissait d'un canal d'expérimentation débouchant dans un réservoir dont on pourrait faire varier le niveau à volonté, on pourrait toujours produire un mascaret.

2. Pente de fond, — Si la pente de fond de la rivière à marée était ce qu on appelle une forte pente dans l'étude du mouvement permanent, on pourrait avoir à marée montante un axe à grande vitesse ; il se produirait, à chaque marée, un ressaut à L'embouchure ; ce ressaut, incomplet d'abord, se déplacerait vers l'amont pour revenir ensuite au point' de départ. Les mascarets, dont on a donné la description, ne présentent pas ce caractère et la pente de fond n'atteint pas la limite dont il a été question. ^^

Si dans la figure précédente, on avait eu tf > ^gAj la caractéristique BG aurait pris la position BC et le mascaret eût été inévitable. Il en est de même pour un cas voisin. La caractéristique BC fait avec BM ou l'axe des I, un angle déterminé par

tang CBM «: V^gT- u

Cet angle sera très petit à marée basse. Lorsque la marée montera, A augmentera, u diminuera, on trouvera donc une caractéristique HH' qui coupera les précédentes et alors il y a mascaret.

3. Faibles profondeurs. — Bancs. — On voit aussi, par le raisonnement qui précède, que le mascaret sera d'autant plus probable que h est petit à marée basse. La présence de bancs dans la partie inférieure de la ri\ière peut diminuer la profondeur moyenne A. A marée basse de vive eau, les bancs sont à découvert; .la marée monte, les eaux recouvrent les bancs, la profondeur moyenne diminue encore. Voyons comment varie le coefficient angulaire de la caractéristique; posons

V = y'gA — tt.

On a :

Jv^^±^ / Lfi^lj)^^ ^

dt 2 V * ^ k J dt dt

du Si on remplace -r— par sa valeur écrite au n*» 52, ou trouve :

dt

Si le mouvement se rapproche du mouvement permanent, on peut faire S b ; on a donc :

^^±x /T /-, A^ ii

dt 2 V A V kJ dt

Quand Teau recouvre des bancs presque horizontaux, on a (69) :

Donc V décroît quand H croit. On obtiendra donc des faibles valeurs de V au moment où la marée monte déjà depuis quelque temps, c'est-

dn

à-dire quand — prend déjà une valeur importante. Au bout de peu

de temps, ^ sera doublé, triplé, etc., et cela provoquera Tintersection des caractéristiques en projection et la formation du mascaret.

86. Rectification du calcul de M, Bazin. — Reprenons Thypothèse de M. Bazin, celle d'un mouvement uniforme à marée montante. Cette hypothèse est assez plausible dans le cas d'une pente de fond assez forte vers la mer. Si le niveau de marée basse se maintenait indéfiniment, on aurait le mouvement permanent et souvent un mouvement fort approché du mouvement uniforme. A marée basse, le mouvement permanent n'a pas encore eu le temps de se produire ; il y a encore

du

excès de pente superficielle et l'accélération -rr est positive. Cette

accélération s'annulera à un certain instant de la marée montante ; on pourra alors négliger l'accélération sur une certaine étendue de la

rivière. Quoi qu'il en soit, donnons-nous f -^ j au point B et calcu-

3H Ions "^le long de la caractéristique BC, suivant laquelle se propage

la perturbation du mouvement uniforme. Reprenons l'équation du numéro 56 :

yjA

B = igbu — b'u* y^, b'

db

an

HS —

By-A'=:(Byo-A')6 « ,

3 Pour qu'un point de BC soit sur le

contour apparent^ il faut que -r— croisse

jusque rinfini, ou que jr tende vers zéro pour une certaine valeur de t. îl faut pour cela que Ton ait :

By.A'<0 ou (f-\>^.

Fiff. 57 Comme il s'agit d'un calcul très

approximatif, nous emploierons la formule de Prony :

Nous supposerons une section rectangulaire de grande largeur; on a :

Prenons comme M. Bazin « = !•". A «= 2"»; on trouve : B

La marée devrait monter par heure de plus de

0,002254 X 3600 = 8".ll.

Il n'y aura donc pas de mascaret pour une marée qui monte de 2".40 par heure. Dans ce dernier cas on a :

Byo — A' >

9H y croit indéfiniment, — décroît indéfiniment.

On trouvera le point du contour apparent en posant dans Téqua» tion (1) :

ou

On trouve

T '"« "*P- B^iTlÂr-

La valeur de tt est imaginaire. Il est donc à présumer que la caractéristique B'C infiniment voisine de BC ne rencontre pas même BG à rinfioi; c'est ce que nous allons démontrer. '

Posons : I

BB— a^p, ce = 6 31.+ .,,

On a :

ds ds ds ou bien :

Or:

Donc :

de ,

ito.

dt =

i df>

V dt

dfi dt

Or, d'après la formuk écrite au numéro 88, on a :

1 dv A' an

Il vient donc :

d'où:

Or

dt'

du dt

dH

dt

dH 1 B

On trouve

dt u ■(«-<»)

A'+(By,-A') « »

By.

Si on fait ( s 00 , on obtient :

Pour les données de M. Bazin, on trouve :

11 est facile de voir que les distances y», y, y^, des ondes successives dont la marche est représentée par les caractéristiques, sont proportionnelles à Sfc, Ôîfo... Ôi^fc; de sorte que l'on a :

y^ = 0.70 yo

c'est-à-dire que si on considère deux ondes à un mètre de distance, leur distance décroît sans cesse mais a pour limite 0.70.

Nous pouvons aussi calculer comment varie Texhaussement SH entre les deux caractéristiques. On a :

sH-iîL>/i«

SH di__

an

En remplaçant 6 et — - par leur valeurs, on trouve :

dû

m = Ho fc «

Tous ces résultats montrent très bien en quoi consiste Terreur commise par M. Bazin ; si on considère un exhaussement SH^ s» 0^,20, cet exhaussement diminue en progression géométrique en se propageant vers Tamont. Les différences entre les vitesses de propagation vont donc constamment diminuer et les calculs basés sur le mouvement uniforme des ondes donnent évidemment des résultats inexacts.

87. Modification des données. — Le mouvement uniforme est troublé par une onde finie d'aval, lorsque Ton a :

Dans le cas d'un lit très large, nous avons trouvé au numéro précédent

Posons :

Il vient :

Cette condition sera satisfaite, pour une marée ordinaire, si « est très petit ou si 1 — a est très petit, nul ou négatif. Le cas où « est très petit doit être écarté, car le mouvement sensiblement uniforme à marée montante n'est possible que si la pente est assez grande. Le cas où « se rapproche de Tunité est un cas voisin du cas des grandes vitesses. Mais il faut remarquer que cette analyse donne seulement la condition nécessaire pour que le mascaret se produise au sein du mouvement uniforme supposé à marée montante; le mascaret peut très bien se produire dans le mouvement varié qui succède à ce mouvement. Il faut un calcul complet pour arriver à des conclusions certaines.

88. Onze finie d'amont. — Les caractéristiques d'amont peuvent donner lieu à un contour apparent comme les caractéristiques d'aval. On pourrait aussi se donner la surface hydraulique commandée par l'axe initial, la projection horizontale du contour apparent et détermine, le niveru d'amont. En d'autres termes, si l'on pouvait augmenter suffisamment la rapidité d'une crue, il se formerait toujours une onde finie marchant en tète des eaux de crue. Cependant, on n'observe pas ce phénomène. La raison en est que le calcul indique que le niveau d'amont devrait s'élever avec une rapidité si grande, qu'on ne se trouve presque jamais dans ces conditions.

Supposons par exemple un mouvement uniforme et prenons :

tt = 4-, * = 2».

On peut calculer -— le long d'une caractéristique d'amont; la con-

ot

dition de la formation de l'onde finie est encore

On doit dans les valeurs de B et de À' changer le signe du radical ; on trouve :

Gela correspond à un exhaussement de 40^,08 par heure. La condition de la formation d'une onde finie d'amont, dans^le cas d'un mouvement uniforme et d'un lit très large, peut s'écrire

Cette condition sera réalisée, pour une crue ordinaire, si a. est très petit, c'est-à-dire si la pente est très petite. L'onde finie d'amont se produira encore, si 2 — « est très petit, nul ou négatif ; il s'agit alors d'une rivière torrentielle.

89. Rivière torrentielle. Intégrale particulière. — Nous avons vu (75) que deux mouvements uniformes peuvent être séparés par une onde uniforme. Le rapport des profondeurs d'eau dépend uniquement de la pente, dans le cas d'un lit très large, on peut multiplier ces ondes uniformes et obtenir une surface hydraulique formée de plans parallèles au fond; en chaque point, on a :

Nous obtiendrons une solution continue satisfaisant à cette même équation, si nous supposons que les ondes deviennent infiniment petites et infiniment nombreuses, il faut alors (73) que la pente soit :

i = Aga = Agb^. (2)

Nous devinons donc ainsi qu'il doit exister pour cette pente particulière une solution telle que u et h restent constants le long des caractéristiques d'amont. Ces caractéristiques sont alors des droites ; la surface hydraulique et la surface des vitesses sont des surfaces réglées.

Nous trouverons anal}rtiquement cette solution en reprenant les équations (A) et (8) du numéro 43 et en y faisant :

H = A = — : — et n =^ o.

On obtient deux équations à une seule fonction inconnue u; en

exprimant que ces deux équations sont identiques, on trouve l'équation (2) ; Tune des équations en u est :

L'équation de la caractéristique est :

ds dt du

lu "" "¥" "" ~ ^ '

On en déduit : «

Les équations (i) et (5) déterminent l'intégrale.

On reconnaît facilement que la caractéristique (4) se confond avec la caractéristique d'amont.

Cette solution particulière ne se produira que si les circonstances d'amont sont convenablement choisies. Si le niveau d'eau s'élève à l'amont, on aura certainement un contour apparent et, par conséquent, une onde finie. On pourrait même déterminer les circonstances d'amont de manière que la surface hydraulique comprenne un conoïde à directrice verticale ; ce sera le cas d'une onde finie se produisant instantanément.

Cette solution particulière est aussi appliquable à un lit prismatique de largeur finie, si la forme de la section est déterminée par la condition que l'onde infiniment petite existe pour toute profondeur; la section satisfait à l'équation :

équation que l'on déduit facilement du numéro 73.