CO^O

Dans cette formule «», u, i\ s'applique à la plus petite section.

49. Onde infiniment petite. — En faisant tendre e vers zéro, nous obtiendrons la vitesse d'une onde infiniment petite. Les formules (8) et (IS) deviennent :

1? = u ± ygh^ A4 = h.

On a donc :

t? = t* ± Vgh.

La vitesse relative de l'onde infiniment petite par rapport au courant est donc ± V^. On peut donc considérer une onde d'aval ; elle se propage vers l'amont avec une vitesse relative V^^; sa vitesse absolue est

Cette vitesse est généralement négative ; de sorte que l'onde remonte la rivière avec une vitesse |/ffA — u.

Cependant, dans les cours d'eau à grandes vitesses, on peut avoir

alors l'onde d'aval, tout en remontant le courant avec une vitesse relative k^^, continue à descendre la rivière avec la vitesse Vy qui est positive. Il y a aussi à considérer une onde d'amont qui se propage vers l'aval avec une vitesse

t) =r u + ygh.

La formule (9) donne aussi :

§ 3. Caractéristiques des équations du mouvement varie.

SK). Carcictiristiqtie d'intersection ou (Tordre zéro. — Reprenons les équations du mouvement varié :

bu* ... . (I)

• mu. . . . (2)

hj m, b => fonct. (s, «).

Ce sont deux équations linéaires aux dérivées partielles, semblables à celles que nous avons considérées au numéro 3i. Nous allons y appliquer la méthode qui conduit aux caractéristiques de ces équations.

Si nous portons « et ^ en coordonnées dans un plan horizontal, s^ à partir de ce plan ou d'un autre plan de comparaison, nous pourrons représenter z par une surface que nous appellerons la surface hydraulique; c'est la surface engendrée par les différents axes hydrauliques du canal lorsque l'on porte le temps suivant un axe perpendiculaire ^ . au profil en long. En portant la vitesse u

"~^ en ordonnée perpendiculaire en plan des (#, t]

nous aurons une seconde surface, la surface des vitesses, surface associée à la première. Si on donne deux courbes arbitraires associées l'une sur chaque surface, on déterminera une intégrale régulière si les cour- T\g. 35. bes données sont régulières. On peut, par

exemple, se donner l'axe hydraulique initial et les vitesses initiales pour 1=0.

On peut tracer deux courbes associées, c^est-à-dire ayant même projection ÂM, et telles que suivant ces courbes il passe une infinité de solutions régulières, de telle sorte qu*on peut constituer une solution irrégulière en prenant deux surfaces hydrauliques, S et S', se coupant suivant la courbe projetée en AM et accompagnées de deux surfaces de vitesse associées, se coupant aussi suivant une courbe projetée en AM. L'ensemble de ces surfaces sera une solution applicable au cas où il y en aurait A des discontinuités dans les dérivées premières ou autres de Taxe hydraulique initial. Les courbes AM forment une caracitéristique ; les caractéristiques sont les lignes suivant lesquelles se propagent les discontinuités des conditions initiales.

Les éléments de la caractéristique satisfont aux équations :

ds+ ^dt=:dz (3)

d8 du ds

ds +

Si on prenait arbitrairement les courbes AM, on pourrait résoudre les équations (1), (2), (3), (4) par rapport aux dérivées partielles; les courbes formeront une caractéristique, si ces dérivées partielles sont indéterminées ; on obtiendra donc les équations de la caractéristique en égalant à zéro les déterminants de la matrice.

bt m»

On sait que ces équations se réduisent à deux ; en supprimant la dernière colonne, puis la quatrième, on trouve les deux équations qui sont écrites plus bas. Nous les obtiendrons par la méthode des coefficients .indéterminés.

Multiplions les équations (1) (2) (3) (4) respectivement para, P» i, /*; ajoutons et exprimons qu'on trouve une identité; on trouve :

« + Pm + rf» = p + d/ =0

— u-^ ph ± fds^O

-11^ + fdt =0

dz + fdu + abu* + f^mu «= 0.

Des deux premières et de la quatriëmey on tire :

gdt

En substituant dans la troisième et la cinquième, on trouve les deux équations cherchées. La troisième donne :

^ ,j ,.x E j. ^* ^udt ds

— (ds — udt) + hdt =0,

g g dt .

ou bien

(ds — udt)* — ghdt* = 0,

d'où

Nous trouvons deux systèmes de caractéristiques; les deux valeurs .

ds de -— sont les deux vitesses d'ondes infiniment petites que nous at

avons déduites des formules du ressaut varié. Nous arrivons donc ainsi

au théorème que nous avions annoncé dans un autre mémoire : les

caractéristiques représentent le mouvement de deux ondes infiniment

petites, Tonde d'amont, Tonde d'aval (!)•

Les valeurs de a, p, /'deviennent alors :

a=zpV^dt, p dt, f^zpJ—. . .(5)

La cinquième des équations en «, /3, / devient :

dz =p \/ — du = (db Vghbu* + mu)dt . . . (6)

Nous trouvons, en prenant les signes supérieurs : $5 == (w + l/^) ^t

iz — J—êu = (Ygh 6u« + mu)dt

en prenant les signes inférieurs :

ds={u ^v^y^

dz + V — du = (— Vgh 6ii* + ntu)dt

(i) ÂTppendice au mémoire iur V intégration graphique, 1890, p. 255.

Transformation des équations.-— Nous aurions pu prendre les équations (4) (5) du numéro 45, obtenues en prenant :

mais il suffit de changer de variables dans les équations des caractéristiques, car les propriétés des caractéristiques sont indépendantes des variables; on a :

a« ■" * "" a* ' dt '^ dt ' ^ — ^ + n

ifc tVfo — dH « t (w — l/jÂ) dt — dH.

On trouve alors pour la caractéristique (8) ou d^aval : ds = {u — V^gh}dt

— dH + Y — du = [i — bu*)\^ghdt^ nudti

5i. Caractéristique du premier ordre. — Mettons les équations du mouvement varié sous la forme : y

dFi>

u du

1 du

g dt

^ dt

h —z mu

Prenons les dérivées par rapport à f ; on a :

u du

dsdt

g dsdt

g dt*

\dt

dtdt dt* dsdt \dtJ

/ d \ d a du d dz^

\dt) " dt "*■ du dt * dz dt On a aussi, en suivant deux courbes associées :

i!f dsdt

dsdt

dt*

dz dt

dt*

du dt'

Des quatre équations précédentes, on peut tirer les dérivées secondes, si les courbes sont quelconques. On obtiendra une caractéristique du premier ordre en exprimant que ces dérivées secondes sont indéterminées, ce qui conduit à égaler à zéro les déterminants de la matrice:

""' tJ

dt dt d

ds dt d

Les équations se réduisent à deux ; en supprimant la dernière colonne, on trouve la même équation que pour la caractéristique d'ordre zéro. En prenant les trois premières et la quatrième, on trouve aussi la même équation que pour la caractéristique d'ordre zéro, sauf qu'il faut remplacer

par

6ti«

^ du [ dV \ fdF\

Si on emploie la méthode des coefficients indéterminés, on trouve les quatre premières équations en «, 0, f du numéro 50, mais la dernière est :

d'où

A cette équation, il faut joindre les équations (i) (2) (3) (4) entre les dérivées premières ; ces quatre équations se ramènent à 3, et de l'équation précédente, on tire une équation de la forme :

. dz . f ^^\m i> 9^ r^

S2. Tratuformatûm des équations. — Prenons les équations du mouvement sous la forme :

3H u du i du . . . ^ ^

ds g ds g dt ^ '

On trouve alors :

soit en refaisant les calculs, soit en transformant l'équation du numéro précédent. On a, pour la seconde caractéristique, ou la caractéristique d'aval :

d dn nr d du /dF\ /dF.N ^^

On a

/ rfF \ i du du ^^ du ^, . an

\ dt J g dt ds dt dt

/ dFi \ du^ iË. i^ .*L JîL ' J!ÎL

W^ / dt ds dt ds ^ dt ^^ dt

Nous avons posé :

96 ^, dn

dU dE

Calcuh des dérivées partielles. — Nous allons calculer toutes les

dérivées partielles en fonction de la dérivée -- — ; à cet effet, nous

prendrons les deux équations du mouvement varié F => et Fi =& et l'équation :

du m^ js da jh^

lîT '^ ds dt "^ dt dt

+ ^T" -:t-= -TT -Tr-=u — |/^.

Le symbole d s'applique à une différentiaiion suivant la caractéristique. On a d'abord :

9H fdu^ an \ dt

ds '^ \ dt dt j ds

De réquatioii F* = 0, on tire alors, après quelques réductions :

du /y Jt^ aitt^ . u d$ M nu^

de ~ y h ds 'dt h ds dt IT*

De réquation F = 0, on tire, après quelques réductions :

du rg dn \ dR fiM»

ar= ~V T "aT "*" TITi^ + »/^) + "x" + 9ii - m).

Nous écrirons ces trois valeurs sous la forme : ds ~ dt d» "^ ds

du fg dt dH ds \ h ds dt

du IJ an

■âT — VT-3r+^-

Nous avons posé

S-= Ru + ji (t — 6«* ^J =- ^ + 9{i — bu*)

Calcul du second membre de Viquation (10). Nous pouvons remplacer les dérivées partielles par leurs valeurs dans les expressions de I ~r 1

et I — r- 1 ; on obtient alors :

/dF\ /dF,\ /T àt r^/rfH\» 3H 3* "1

\-dt) i/y^- \-dr) = vxirLH"5rj ■" irirj

" IT L ■*' ^^~dr- ^9f»* + 6v»^yA + VT "Â~

nS.

aft . 3H

Nous devons calculer — — en fonction de ^-rr" ; nous avons posé : dt dt

Prenons la dérivée par rapport à H, on trouve : On a alors :

La valeur do second membre de l'équation devient :

(1)^-(%N/Ïl('-T)(f)*

Calcul du premier membre de l'équation (10). — De la valeur de

— — , on tire :

On a;

Nous avons trouvé — — précédemment; nous devons calculer an

; reprenons

Ih.

- — ; reprenons

D'où l'on tire

Posons

d$ di ds

On tire

et puis

dh *

dh . h \ d$ / , h \ dH

On a donc :

dt dt ~ ^ h dt dt ih y h dt \\^ V ) dt

+ (*-T)-drJ + -dr-

Le premier membre de l'équation (10) devient alors :

d aH f£j^ a£iîL ——Vf —An*.

<tt a< "^V ç dt dt "*" dt dt ~ ih dtly y) dt /, A \ dH "1 dS fh

rfaïu/brmatibn. — L'équation (iO) devient alors :

d< a* V A d, r k J dt J 3Hir/ ft\d»./, A\<ffln

u V \/g^^^ dt

Nous écrirons :

^ d 3H . / an \» „ an

En posant :

^" Vl4)

53. Perturbation du mouvement permanent. — Nous supposons que

le mouvement permanent soit réalisé à l'instant initial ; on trouve alors une surface hydraulique prismatique S qui se prolongerait indéfiniment si auenne discontinuité ne se présentait dans les circonstances d'amont et d'aval. Supposons que le niveau d'aval varie à partir d'un instant et soit représenté par la ligne X' Fif. 36. A' D', composée d'une

ligne horizontale X'A' suivie d'une courbe quelconque.

La discontinuité dans les dérivées premières va se propager suivant la caractéristique d'aval AG et l'on obtiendra une nouvelle surface hydraulique S' coupant S suivant une courbe projetée en AG. L'équa-

tion (12) permet de calculer la variation de -rr-le long de AG, c'est-àdire la variation de la tangente de l'angle E'G'Z'. Cette équation se simplifie considérablement.

Commençons par déterminer les courbes AC au moyen des équations du mouvement permanent; portons, dans les équations F « o, F, — 0:

3/ dt

on trouve :

d$ g ds

dH ^ du

u -r— + A -T— «=s — ni4.

ds ds

On en déduit :

4r- (?* - «•) =yA (»■ — *«*') + «M»».

os Mais on a ici :

^ an ^ an .^ an

Donc on a :

dH dH

di ~ dt et il vient :

- {u« — gh) + jA (t — 6u«) + nti* aaO.

Cette expression, divisée par A, se réduit à

En ajoutant les deux équations de la caractéristique, on a trois équations pour déterminer les trois fonctions H, ti, «•

Si on porte S = dans les équations (12), (iS), (14), (15), on trouve que G ^ et Téquation (12) prend la forme :

Ce résultat était facile à prévoir, car si le niveau d'aval restait constant, la surface S' se confondrait avec la surface S et Ton aurait :

Cette valeur doit satisfaire à Téquation (12) ; donc, il faut que G soit nul.

On a alors pour les valeurs de A et de B :

... flW , «m

En réunissant les tennes en — — et remplaçant — — par

ai Ut

on a aussi :

B = J2L ^2 - i- + ti*) + 2j,6« - 6V l^ + «I.'

54. Lt^ égalemmi divergent. — • La surface d'une section transversale est donnée par la formule :

Pour H constant, X est une certaine fonction de s. Nous supposerons :

y étant indépendant de H. Gela existerait si, dans la tranche comprise entre i eis + dt^ le lit avait la forme d'un conoïde dont Taxe aurait pour abscisse t — y. On a alors :

3a> ci> A — - =: ni an , d'oÙ II =

On a aussi :

4 3* 1 / . An / 1 In

•^ - 7 lïT " V - t) - Ma" -- t)-

y en y

En introduisant ces valeurs dans la formule (18), on trouve

«-^-'■-^îï * ["-fi ('-t)] '-^-

Si, dans cette formule, on remplace — par sa valeur tirée de

— (u« — gh) + gh (i — 6u«) + nu!' — 0, eu

il vient :

__ 1 / A \ gli — bu*)

55. Lt< prismatique. — On doit faire, dans la formule précédente, • ^ 0; il vient :

2V */ w-Vgh

56. Perturbation du mouvement uniforme. — Lorsque le mouvement est uniforme, on a :

On trouve :

B = ^gbu — b'u*\^gh (20)

Cette quantité est généralement positive, car b est une fonction qui géi)éralement décroît avec H et b' est négatif. Dans le mouvement uniforme, u et A sont constants, les quantités A et B sont des constantes ; on peut intégrer facilement l'équation (16).

Posons

dVL i

dt " y 11 vient :

2dy=(A + By)dO A + By=(A + Byo)e^-^^-P^. On voit que A 4- By conserve son signe et crott en valeur absolue.

Si A + Byo est positif, y crott, donc — décroit. Si A + By^ est négatif,

y décroit indéfiniiuent et — croit et passe par Tinfini pour

2 A + Byo

dH Enfin, si A + By, est nu], —reste constant.

Pour les vitesses et les sections ordinaires, A est négatif, en le

remplaçant par — A', on trouve que :

— =: constante pour

/3H\ __B^ \3<yo~A'

- décroît pour (^-j^ < -

— croît pour

Dans ce dernier cas, le point où — est infini est un point du contour

apparent. Nous verrons qu'alors il se produit une onde finie reliant les surfaces S et S\

57. Caractéristique d'amont. — On obtient la caractéristique d'amont en changeant le signe du radical dans les équations précédentes. Alors A' est encore généralement positif, on trouve que B est aussi positif pour les vitesses ordinaires; on est donc conduit aux mêmes conclusions.

58. Sur la possibilité d'intégration. — Les équations de la caractéristique ne conduisent à aucune combinaison intégrale dans le cas général. Il y a cependant un cas particulier où Ton trouve une intégrale; c'est lorsque Ton suppose le fond du lit horizontal et que Ton néglige le frottement. Les deux équations de la caractéristique d'aval sont :

rf* = (u — V^'gh) dt — rfH 4.y I dti = (f — 6 w») y^ dt + nu dt Nous devons faire t = 0, 6 = ; nous supposerons ensuite UM

section rectangulaire, ce qui donne H s= A et n ■» 0; la seconde équation devient en divisant par V^hj

dh du ^

D'où

u — 2 Vghwss constante.

On trouve de même pour l'autre caractéristique

u + ^V^ g h=, constante.

Voyons s'il existe une autre intégrale de la forme

V (ti, A, «, t) = constante*

lia différentielle de V devrait s'annuler à cause des deux équations de la caractéristique; on aurait donc.

Or, on peut se donner le long de la caractéristique u s= <f{t) arbitrairement; on doit donc avoir

On a deux équations linéaires à une seule fonction inconnue. On sait qu'on trouve immédiatement une troisième équation en différentiant l'une d'elles suivant la caractéristique de l'autre. On trouve

ds La première devient

La seconde est alors une équation unique déterminant V en fonction de « et de A; on trouve :

ce qui reproduit l'intégrale déjà connue.

On a donc une intégrale pour chaque caractéristique; on peut alors changer de variables et poser :

Les équations des caractéristiques deviennent :

dx — dz' = ^±±1 dz.

On en déduit les équations aux dérivées partielles

Si on prend la dérivée de la première par rapport kx et celle de la seconde par rapport à y et si on élimine 8\ il vient :

On est donc ramené à une équation du second ordre à une seule fonction inconnue.

§ 4. Construction approchée des surfaces hydrauliques continues.

59. Classification. — Nous considérons d'abord les solutions où les fonctions H et u sont continues, les dérivées seules pouvant présenter des discontinuités ; en d'autres termes, nous nous occuperons d'abord des solutions où il n'y a ni ressaut d'élévation ni ressaut d'abaissement. Nous supposerons d'abord

c'est le cas le plus fréquent; nous l'appellerons le cas des vitesses modérées ou le cas ordinaire. Nous aborderons ensuite le cas des grandes vitesses :

Dans le cas du mouvement permanent, on peut, àprioriy tracer le lieu des points où l'on a :

Digi-tized by

D'après l'équation du mouvement pennanent, on a en ces points

c'est donc le lieu des éléments verticaux des axes hydrauliques. Cette ligne ne peut être traversée que par un ressaut. Les axes situés en-dessous de cette ligne sont à grandes vitesses; ils sont capables de se relever en ressaut. Il n'en est pas de même dans le mouvement varié; on peut passer continûment des petites vitesses aux grandes; une surface hydraulique continue peut être formée de deux parties appartenant à des catégories différentes. Une surface hydraulique à petites vitesses peut être formée de deux parties, séparées par une onde finie.

60. Surfaces commandées par Vaxe initial. — Soit ÂBCD Taxe hydraulique initial en projection sur le plan horizontal. On donne les

lignes projetées en ABCD des deux surfaces inconnues : la surface hydraulique et la surface des vitesses. Nous subdivisons ces lignes en arcs assez petits et réguliers, mais il peut y avoir aux points de jonction des discontinuités dans les dérivées.

Nous appliquerons la méthode du n<> 35. L'élément BC détermine une intégrale régulière sur laquelle nous pouvons imaginer deux caractéristiques BB| et CB|; on peut déterminer approximativement le triangle BB^C. On trace, en projection, la ligne CB^ en la remplaçant par une droite dont l'équation est :

rf« = — [V^h ^ u) dt 11, h s'appliquant au point C. On trace de même BB^ par l'équation :

W = (m' + V^^) Itf

u\ h' s'appliquant au point B.

On applique alors les deux autres équations des caractéristiques pour calculer z" et u" en C| ; on a (50) :

/yi

Flg. 37.

4 V — du == {mu — y^ bu^) dt

Iz' — J— ^u' = {mu' — y^b'u'^) tt'

En remplaçant les différentielles par les différences : dz yssz" — z du =^u'' — u

5z' ^=z'* — z' Su = II* — u\

on a deux équations d'où Ton déduit les valeurs de z" et u''. On reprend alors ce calcul^ en introduisant les valeurs trouvées pour z** et u" et en prenant pour les coefficients des différentielles la moyenne arithmétique des coefficients calculés aux points extrêmes des arcs.

On peut aussi porter u et z sur deux axes coordonnés et on trouve le point z'\ u" à riutersection des deux droites.

On trouve de même le triangle ÂBA4 ; puis on calcule le quadrangle A1BB4A, ; la surface ACA, est commandée par les courbes AG. En calculant successivement les triangles CG4D et les quadrangles GGiB^Bi , B^B^AjA^y on trouvera la surface hydraulique commandée par Taxe initial; c'est la surface AA3D.

61. Surfaces commandées par l'amont et Vaxe initial. — Nous pouvons supposer que, dans la section A, on règle le débit par un barrage; le débit dans cette section est donc une fonction donnée du tempç, et Ton a :

^u = fit),

ce qui donne une relation entre les variables u et z. On pourrait aussi, au lieu du débit, donner le niveau z en fonction du temps, ou la vitesse u, ou toute équation entre u, z. Mais on ne peut pas se donner les courbes projetées en AEFG qui appartiennent à la solution. En effet, nous nous trouvons dans le premier cas des problèmes examinés aux n^ 26 et 58. Si on se donnait AEFG, on en déduirait une surface hydraulique de la même manière que la surface AA^D a été déduite de ABGD, et ces deux surfaces hydrauliques, complètement indépendantes, ne se couperaient pas suivant une caractéristique. On trouverait une intersection pour les surfaces hydrauliques proprement dites et une autre intersection, non associée à la première, pour les surfaces des vitesses. Les deux surfaces hydrauliques ne peuvent pas former une solution du problème. Admettons donc que, dans la section A, on donne :

Gonsidérons le triangle AA|E limité par deux caractéristiques: Â|A

et A|E. Désignons respectivement par r, u, z\ u\ z*\ u" les éléments en A, A|, E. On trouve la droite A|E en projection par Téquation :

ds' = (u' — V'gV) dt'.

On trouve alors ^ et u" au point £ au moyen de Tautre équation de la caractéristique A|E et de la relation donnée pour la section A ; on a :

F (i?*, u" fO =

dz' + y — du' = (m V — y^' b'u'*) rfl'.

Il est bien évident que m' et 6' ne désignent plus les dérivées de m et 6, mais les valeurs de m et 6 au point A| calculées en|fonctions z\ u^<^ Si, dans ces équations, on remplace les différentielles par les différences, on trouve deux équations qui déterminent z" et u". Du point E, on passe en E|, E,. Puis on calcule EEi F et F^. Finalement, on trouve la surface AA,G, qui dépend à la fois de Taxe initial par la caractéristique AAi Af A} et des circonstances d'amont représentées par Téquatîon F = 0.

62. Surfaces commandées par l'aval et Vaxe initial. — En raisonnant de la même manière, on verra qu'en DHK,on ne peut pas donner 2r et u, inais seulement fune de ces fonctions ou une équation entre ces fonctions, telle que

Fi(z,u,t) =0.

On détermine alors la surface hydraulique DA,M, qui dépend à la fois de Taxe initial, par la caractéristique DA,, et des circonstances d'aval exprimées par l'équation Fi = 0. Eu continuant le calcul, on construirait sur MA,G une surface dépendant de toutes les circonstances initiales, d'amont et d'aval, etc.

63. Cas d'un lit prismatique. — En introduisant H au lieu de z^ nous avons trouvé pour la caractéristique d'aval :

— dH + J— du — (t — iu') V^ghdt,

lur le cas où n = (numéro 51).

En divisant par ^gh^ on a :

dH du

- 6»») dt.

Comme h est une fonction de H, on a ;

On a donc

ygh

d F— ^ (H)l = (t — 6t*«) dt.

Si, par exemple, on reprend le calcul du triangle BGB, on aura pour la seconde approximation :

^^(H«)= JL 4,(H)+t* \ dt

— + i^ (H') + tV ^5 U

équation d'où Ton titrera u" et H'', il sera très utile de représenter la fonction ^ par une courbe, de telle sorte que, connaissant ^ (H*), on ' trouve immédiatement H^. On remarquera aussi que la méthode des approximations successives, où Ton calcule bu*^ 6 V, b^u'^ par une première approximation, est plus rapide que le calcul direct de H' etu".

64. Grandes vitesses. Surface AydrauUque commandée exclusivement

par Famant. ^ Nous supposons u ^ ^gh ; alors les coefficients angulaires des deux caractéristiques sont positifs :

ds = {u — y"gh)dt, u — j/jft > 0.

On trouve donc en A une caractéristique d*amont AB|, et une caractéristique d*aval AAi qui tend à remonter la rivière sans y parvenir. ^ B r 1? ^^^^ °^"^ trouvons alors dans le

— second cas des problèmes traités aux numéros 26 et 38. De Taxe initial AD| on déduit la surface ADH; il n'y a plus de surface commandée par l'aval. A moins de provoquer une discontinuité, nous ne pouvons plus nous donner une '*«• 39. condition d'aval ; en DH les fonc-

tions zeiu sont déterminées par l'axe initial, il faut donc imaginer en D un déversement qui peut tolérer ces valeurs z et u. Si le niveau d'aval s'élevait d'après une loi donnée, on aurait une autre solution, avec une onde mobile, que nous étudierons plus loin.

A Tamont, au contraire, nous pouvons nous donner les deux fonctions ^ et 11; en partant des courbes A£F, on trouvera la surface hydraulique FAA,. Entre les deux caractéristiques AA, et AH, on construira une surface intermédiaire et son associée. On voit qu'au point A il y a trois surfaces différentes qui, généralement, se coupent suivant les deux caractéristiques.

65. Surfaces mixtes. — Donnons-nous, dans la section A, u et z et supposons que, dans l'étendue AG, on se trouve dans le cas des grandes vitesses; on trouve la surface AA^G. Supposons qu'à partir de G, on se trouve alors dans la cas des vitesses modérées. Suivant GP, on ne pourra plus se donner les deux conditions d'amont; on ne peut plusse donner qu'une relation entre « et zei l'on déterminera une solution

par cette relation et la caractéristique GA,.

On peut,par exemple,

installer à l'amont un

. vannage qu'on lève

graduellement; on aura

d'abord tt>|/^ puis, à partir d'une certaine hauteur de la section d'écoulement(VsC.pour une section rectangulaire) , on aurau ^ l/7]^

A partir de ce moment, l'écoulement à fleur d'eau doit cesser; la hauteur d'eau z doit rester indéterminée et l'on donne seulement une relation entre u

Fip. 40. et z.

On peut se demander cependant quelle serait la solution théorique que l'on obtiendrait si on se donnait les deux circonstances d'amont, c'est-à-dire les fonctions ti et i? le long de AP. Les courbes AG commandent les surfaces AGA,. On trouverait de môme que les courbes GP commandent les surfaces A'GP, mais, en général, GA' et GA^ seront deux branches d'une même caractéristique présentant un rebroussement en G. Le point G est un point du contour apparent, car deux tangentes aux surfaces se projettent suivant GA, la tangente à la

courbe initiale et la tangente à la caractéristique. Le contour apparent RGS est l'enveloppe des caractéristiques d'aval. Toute caractéristique AfF prolongée présenterait un rebroussement T sur ce contour apparent. En d'autres termes, la surface hydraulique serait à deux nappes ; c'est une solution physiquement impossible.

il y a beaucoup d'autres moyens de trouver deux surfaces adjacentes appartenant à deux catégories différentes. On peut môme se donner arbitrairement la ligne de séparation et son associée et trouver une solution en partant de ces deux courbes arbitraires.

§ 5. Propagation d'une onde finie.

66. Deux paradoxes. — Il semble que le problème de la propagation d'une onde finie devrait s'énoncer de la manière suivante : on donne à un instant deux axes hydrauliques séparés par une onde d'élévation ou d'abaissement; que va-t-il se passer? Quelle est la vitesse avec laquelle l'onde se déplace? Nous avons trouvé, au numéro 47, les deux équations suivantes :