RÉSULTATS FAUX
i. Courbes arbitraires. — En analyse, on suppose les fonctions holomorphes (régulières) ou développables par ]a formule de Taylor en série convergente dans un certain domaine. Les courbes arbitraires que Ton se donne dans les problèmes relatifs à la science de Tingénieur ne possèdent pas cette propriété. Prenons, par exemple, la courbe des débits d'une rivière. Si ïe mouvement est permanent, le débit est constant; si une crue survient, la courbe des débits est formée d'une droite et d^une courbe ; la fonction qu'elle représente est évidemment irrégulière. Si même l'on ne considère que la courbe des débits pendant la crue, elle représente aussi une fonction irrégulière ;car, si le débit était une fonction développable, connaissant le plus petit arc AB de la courbe des débits, on pourrait calculer toutes les dérivées, écrire le développement et déterminer toute la courbe. Or, la courbe qui suit l'arc AB dépend des manœuvres hydrauliques, de la persistance des pluies et de bien des circonstances qui sont indépendantes de l'arc AB. Tout ce que Ton peut supposer, c'est de pouvoir remplacer une courbe arbitraire de cette espèce par un polygone ou une suite d'arcs, chacun des fragments étant la représentation d'une fonction holomorphe. Aux points de jonction, il y a alors des discontinuités dans les dérivées premières ou d'ordre supérieur.
2. Méthode d'intégration approchée. — Soit l'équation du premier ordre :
dz = pdx + qdyy p = — — , q =
dx
On peut considérer la fonction inconnue z comme l'ordonnée d'une surface ; c'est la surface intégrale.
Proposons-nous de trouver une surface intégrale passant par une courbe arbitraire AoBo que nous supposerons tracée dans le plan des yz :
X = OTo = 0.
En un point Âo on connaît
^t » îo =
3yo
L'équation aux dérivées partielles permet de calculer ;^
/'o = f (^0» Va» ^0» îo)- Faisons varier x^ de Ajr^ , on peut écrire :
^^0 = 1^0 *Po » d'où Aj5o = Po ^^0
approximativement. On détermine ainsi un point A^ voisin du point «.
En faisant ce calcul le long de la courbe Aq Bq, on déterminera une courbe A^ B^, section de la surface intégrale par le plan x^ + Ax^. De la courbe A| B|, on passera à la courbe A, B,, située dans le plan Xo + S Aor^, et ainsi de suite. On obtiendra un calcul plus exact en assimilant Tare Ao A' à une parabole; on mène par T milieu de Aq A| une parallèle à A^ A,, ce qui donne A' au lieu de A^.
Lorsqu^on a une première ébauche de surface intégrale, on peut toujours la perfectionner en calculant les valeurs de p et en intégrant pc^x par les quadratures approchées.
3. Tentative de démonstration. — Supposons que Ax^ converge vers zéro et admettons bénévolement que Tensemble des surfaces réglées, déterminées comme il a été dit, a une limite. D'après la manière dont les calculs ont été faits, Téquation aux dérivées partielles est satisfaite le long des courbes AqBo, A^B^, etc.; ces courbes sont infiniraent rapprochées; on est en droit de conclure que la surface limite satisfait a réqualion proposée en tous ses points; c'est donc l'intégrale cherchée.
S'il en est ainsi, la surface primitivement construite est bien une solution approchée, car, en prenant Axo assez petit, elle s'approchera autant qu'on le voudra de la surface intégrale. Nous allons montrer par des exemples que tout cela est faux dès que la courbe donnée A^ B^ est réellement arbitraire, c'est-à-dire irrégulîèrc.
Fig. 4
4. Premier exemple. — Quand il s'agit d'essayer expérimentalement les méthodes d'intégrations approchées ou les intégromètres, on applique ces procédés à des exemples pour lesquels on possède la valeur exacte des laires à évaluer.
Nous allmis suivre la même voie et appliquer l'intégration par éléments à une équation dont on connaît l'intégrale générale : on
demande de construire, sur une partie du plan des xy^ une surface continue satisfaisant à l'équation :
et passant par un polygone ^"^""^^ "N^ ^y^ A B C D tracé dans le plan des
yz. L'intégrale générale est un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la bissectrice de l'angle xoy; la solution juste du problème est donc 'une surface prismatique formée des plans «f-5 ABFE, BCGF, etc.
Voyons ce qui donne l'intégration par éléments. Partons de AB ; on trouve :
l>o ■■ — 9o = constante.
On trouve un plan ABB'A' qui se prolonge indéfiniment et qui est limité par deux droites AA« et BB» parallèles au plan des zx. Il n'y a qu'une petite partie de ce plan qui appartient à la solution juste; le reste est faux. Si nous partons de BC, nous trouvons un nouveau bandeau et l'on passe brusquement de BB. à BB/, quand on fait mouvoir un plan sécant parallèle au plan des zx.
Si nous représentons la section x^ + Ax^, nous trouvons les droites À4B4, B'^C^. c'est-à-dire une ligne discontinue. Mais si l'équation est plus compliquée, on devra construire par points les lignes analogues à A1B4 et B/C| ; on ignorera l'existence et remplacement de la discontinuité ; on essaiera de réunir les points par un trait continu et l'on trouvera les résultats les plus extravagants.
5. Deuxième exemple. — On pourrait croire que les difficultés que nous avons rencontrées dans l'exemple précédent proviennent des angles du polygone donné; il n'en est rien.
Reprenons la même équation aux dérivées partielles et donnons-nous comme courbe arbitraire un arc de circonférence AB convexe vers
le haut se raccordant en B à un arc de circonférence concave vers le haut. La solution juste du problème est donnée par deux surfaces cylindriques se raccordant suivant la génératrice BE; Tun de ces cylindres est convexe, l'autre est concave vers le haut. Voyons ce que donne Tintégration par éléments en suivant la variable x.
Si nous partons de Tare Â6, nous trouvons une zone comprise entre deux cou rbes A A' et BB' situées dans Ftr. e. desplans parallèles au plan des xz.
Or, tous les calculs sont indépendants de la manière dont Tare AB est prolongé ; ils sont les mêmes que si la courbe initiale était la circonférence AB tout entière. Ce que Ton peut trouver de mieux, c'est donc une zone du cylindre convexe vers le haut, limitée par deux arcs d'ellipse AMA' convexe vers le haut, alors qu'à partir du point M de la génératrice BF, nous devions trouver un arc d'ellipse MA" concave vers le haut. Si nous partons de Tare BC, nous trouvons qu'en B la section parallèle au plan des xz varie brusquement de la courbe convexe BB' à
la courbe concave BB". Représentons en vraie grandeur la section faite par le plan aPo + Aa^o ; nous trouvons deux arcs A4B4 et B/C4 avec une discontinuité.
Mais s'il s'agit d'une équation que l'on ne sait pas intégrer exactement, les courbes analogues à A^Bi et B/C^ se* ront déterminées par points et, en voulant réunir ces points par un trait continu, on obtiendra encore les résultats les plus extravagants.
On pourrait former la courbe initiale au moyen de deux arcs se raccordant par un contact aussi élevé que l'on voudrait; la méthode d'intégrations par éléments en suivant une variable, donnerait toujours des résultats absolument faux.
6. Troisième exemple. — Nous demandons au lecteur de bien vouloir penser une courbe arbitraire, de la dessiner sans nous la montrer.
Fie. 8.
puis de nous en donner un petit fragment AB. Confiant dans l'inté-
giation par éléments, nous vous dirons alors : nous allons deviner toute la courbe que vous avez pensée.
En effet, de Tare AB, si petit qu'il soit, nous pouvons déduire une zone AA' B' B satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles que uous avons considérée précédemment. Mais comuie la surface est un cylindre dont on connaît la génératrice, en prenant AA' comme directrice nous obtiendrons toute la surface et par conséquent la courbe arbitraire BAX que vous aviez pensée.
Comme il n'est pas possible de deviner les pensées par des intégrations approchées, il faut en conclure que la zone AA'B'B appartient à une surface intégrale pour laquelle la courbe initiale est une certaine courbe AX différente de la courbe donnée.
Cependant le raisonnement qui précède est suggestif. Quelle est cette courbe AX que Ton détermine si mystérieusement ? C'est une courbe qui est déterminée complètement par un petit arc AB ; les courbes qui représentent une fonction développable paraissent être les seules qui possèdent cette propriété. Il semble donc que la zone AA'B'B appartient à un cylindre qui aurait pour directrice l'arc AB prolongé analytiquément par la formule de Taylor.
7. Conclusions. — Dans l'analyse moderne des équations aux dérivées partielles, on suppose les équations et les fonctions arbitraires développables en série convergente par la formule de Taylor. On pourrait croire que ces hypothèses sont faites dans le but d'être rigoureux, qu'elles tiennent à la méthode d'intégration par série qui est employée. Nous voyons que même quand il s'agit seulement de construire approximativement les surfaces intégrales, nous nous heurtons dès le commencement aux conditions de continuité. L'exemple du cylindre prouve à l'évidence que, dès que les courbes arbitraires sont irrégulières, la méthode d'intégration par éléments, en faisant croître une variable, donne des résultats absolument faux. Nous avons conjecturé que cette méthode donnait des résultats exacts dans le cas d'une courl)e arbitraire développable ; la démonstration de cette propriété présente encore des difficultés sérieuses.
§ 3. — l'intégration par éléments suivant une variable
ET l'intégrale REGULIERE.
8. Intégrale régulière. — Reprenons Téquatioii générale du premier ordre :
F(ar, y, z, p, q]=o
Si on se place en un point Aq (jTq, y^, z^) de la courbe initiale supposée dans le plan des yz^ on connaît :
dZp 9%
9»o 9yo'
On peut différentier Téquation proposée successivement par rapport à chacune des variables indépendantes ; on trouve : une équation entre les 2 dérivées premières, dont une est connue, 2 équations entre les 3 dérivées secondes, dont une est connue, et ainsi de suite. On peut donc calculer toutes les dérivées de z au point Ao et écrire le développement de Taylor.Gela est vrai aussi pour un système quelconque d'équations à plusieurs fonctions inconnues. On donne les conditions initiales pour jr==a?o, c'est-à-dire ce que deviennent, pour x =* a?q, les fonctions inconnues et leurs dérivées d'ordre inférieur à l'ordre des équations, et on reconnaît aussi que l'on peut écrire le développement des fonctions inconnues. Il s'agit de démontrer que les séries obtenues sont convergentes, satisfont aux équations et sont les seules fonctions régulières qui y satisfont. Ce théorème a été démontré par Gauchy, à l'aide du calcul des limites ; les démonstrations de Gauchy ont été perfectionnées par M. Darboux, M. Méray et M°^ Kowalewski. La démonstration de M">* Kowalewski est devenue classique ; on la trouvera dans les traités d'analyse (d).
9. Équations d'une génératrice parallèle au plan zx. — Si on chemine suivant une génératrice parallèle au plan des zx^ on a
dz = pdx, f[x, y, Zy p,q)=o
ou en tirant la valeur dep de la seconde équation :
dz = [Xy y, Zy q)dx
(1) Cauchï, Comptes rendus, t. XIV, XV et XVI ;
G. Darboux, Comptes rendus, t. LXXX ; Sophie Kowalewski, Journal de Crelle, t. LXXX.
Goursat, Leçons sur les équations aux dérivées partielles, page 1.
'^=(-^)'^' ''"(-^)=-ir-'-^*+ -^*
Cette équation contient une fonction inconnue q ; nous trouverons une nouvelle équation en différentiant par rapport à y ; on obtient :
On introduit encore une nouvelle inconnue t ; on écrit une nouvelle équation en différentiant, et ainsi de suite. Si nous désignons, pour plus de facilité, les fonctions inconnues par
on trouve :
dz = <p (x, y, z, z/) dx
dz' =» çj (a;, y, z, z', jf") dx
dz" = ç, te, y, jg, jk', z", jk'") (£r, etc.
10. Ébaiiche d*intégrale. •— En appliquant la méthode d'intégration approchée du paragraphe précédent, on trace un polygone au lieu de cette génératrice. Les éléments successifs s'obtiennent par :
^0 = ? {^0» y» ^0» ?o) ^q » ^4 «== ? (a?4, Vi, ^1, îi) (tr^
et ainsi de suite. La valeur de q s'obtient graphiquement en menant une tangente à la courbe Xf^ + Ax^ ; mais on peut l'obtenir aussi par le calcul suivant :
^Z^ , ajgp
dy dy
ou
En adoptant les notations Zj z\ z^ et en continuant on trouve
Puis
\Zi=^ (x^, y, Zj, z\) ^x, etc.
On voit que la méthode d'intégration approchée revient à substituer aux équations différentielles de la génératrice, les équations^aux différences que Ton obtient en supposant que les dérivées restent constantes dans chaque intervalle Aa:.
id. Développement en série. — On pourrait déduire des équations différentielles de la génératrice le développement en série de la fonction z ; on retrouverait évidemment le développement de l'intégrale régulière appliqué au cas où x varie seul. Proposons-nous de chercher la limite de Tébauche d'intégrale lorsque les intervalles tendent vers zéro. Soient z^, Z|, z,, z^^ les valeurs successives obtenues pour z ; supposons :
AXq = Ax^ = Aar, x — oîq = m Ax^
On déterminera z^ par la formule symbolique :
^m = (i + A) Zft
Le terme général du développement est :
m(m— i)... [m—n-^-i) mAXo x (mAxo --Aa;„)... A%
" " d. 2. 3.. n~" "^^ T IT. n~ Â?»
{X — Xo)» ,. A*^o
limT„ — = J ^i- lim
i.2.3.. n AXo»
Supposons qu'au point (Xq y, jSq) on détermine toutes les dérivées, en utilisant la courbe arbitraire et Téquation aux dérivées partielles ; nous allons démontrer que
lia. ^"*« 3"^«
AXo 3Xq*
le second membre étant la dérivée calculée comme il vient d'être dit. On a d'abord
Azo = ? (Xo, y, 5^0, ?o)Aa?q
l™ — — = {X,, y, Zo, Ço) = — .
AXo dXQ
— d6 — Cherchons le second rapport :
Aj^i = ? (a?i, y, ^i, Çi) Aa?4
A*Jïo Ay
Aajg*"" Aa^o
L'accroissement de ç doit être pris en supposant :
A«o = 9 Aa?o Aço = l -;5n" )^< Proposons-nous de calculer — — ^- ; on a
On peut aussi écrire, en remplaçant les dérivées par des limites de rapport :
"^'^ =lim ^'
pour
dxQ* Aa?o
