Ajïo ,. A?o

Comparons alors le calcul de ^ et de — ^^— ; dans le premier

cas, les rapports de AjSq» A^q à Ax^ sont remplacés immédiatement par leurs limites ; mais, quand on passe alors à la limite, les résultats sont identiques. Si Ton considère les différences d'ordre supérieur, les calculs deviennent de plus en plus longs, mais le raisonnement est général. On a donc

lim T. =

d .2. ... n dâ?,

Pour avoir le reste, on exprime ^m en n'introduisant que les différences d'ordre n et d'ordre iiiférieur; on pose

et Ton trouve toutes les formes du reste de la formule de Taylor où ^ (x) remplace la dérivée d'ordre n. Comme ^ (x) n'est pas connu, il reste encore un doute au sujet de l'existence de lim Zm> Cependant, on voit par cette analyse que l'intégration approchée revient à écrire une formule qui se rapproche de la formule de Taylor. On aurait pu croire, à première vue, que pour remplacer un arc de courbe par des tangentes successives, il suffit que les dérivées premières soient continues. Nous voyons, au contraire, que l'on introduit en réalité des différences d'ordre quelconque entre les dérivées premières, ce qui équivaut à utiliser les dérivées d'ordre siipérleur. C'est ce qui explique que l'intégration approchée donne des résultats faux, alors que l'on utilise en apparence que les dérivées premières et que les discontinuités n'affectent que les dérivées d'ordre très élevés.

i2« Limite de l'ébatiche d'intégrale. — Pour démontrer complètement que la méthode d'intégration par éléments est réellement une méthode approchée, il faudrait enfermer Zm entre une limite supérieure et une limite inférieure en suivant la marche de la démonstration de Cauchy au sujet de l'existence de l'intégrale générale d'un système d'équations différentielles simultanées. Il se fait que le tracé graphique de Xm est précisément l'ébauche d'intégrale que l'on considère dans la démonstration de Cauchy. Mais comme il s'agit ici d'une infinité d'équations, les calculs sont plus longs et il semble plus difficile de démontrer que les deux limites tendent à se confondre.