CHAPITRE IV (Suilc

^ 0. SOÎ.UTIONS CONIQUES.

13?. Eqmitions différentielles, — Nous avons dôjà. mis les équations de la solution conique sous la forme de deux équations difFérentielles et d'une équation finie (numéro 103). Nous obtiendrons ces équations sous une forme plus commode en partant des équations (23) et (24) du numéro 110 qui lient les fonctions j) et n. Changeons de variables indépendantes en posant

iT =-= R cos 0, y -— R sin G.

Ce changement de variables indépendant(\s s'efïectue par les règles coiuiues. Nous ])oserons ensuite dans les nouvelles équations aux dérivées ])artielles

• Voyoz tome xxii, pages 8r)-2l-<, et tome i, troisième jorio, pj^ges 13^-220.

11 ne restera plus que les dérivées des fonctions q et te par rapport à la variable 6 ; on obtiendra les deux équations différentielles ordinaires suivantes :

--| — 25^ tang© — ) sin {u — a--^Q)-^ — U cos (u -\'a)—q cos {u— a— 6)

dq

+ 2q tang » -r^ ] sin (m -f- « — 9) = D cos (u - a) — q cos (m + « — 9)

Nous pouvons aussi arriver à ces équations par une voie beaucoup plus rapide, en introduisant les nouvelles variables dans les équations différentielles des caractéristiques, c'est-à-dire dans les équations (20) et (22) du numéro 109. Pour la première caractéristique, nous avons :

dp -=2p tang f^ du — Il ds cos {u + a).

Nous avons posé

p = ? R ; on en déduit :

dp = ^dq-\' q dR

Substituons et divisons ensuite l'équation de la caractéristique par R rfô, nous trouvons :

dq dB. du „

de

RrfO

ds RrfG

cos {u -\- a).

La tangente à la première caractéristique fait avec Taxe des a?, l'angle it — a, et avec le rayon vecteur l'angle

On a donc :

dR

ds Rde

cotg {u — a — 6),

sin {u — a — 6)

On trouve alors facilement l'équation (47) ; on obtient l'équation (48), en transformant l'équation de la seconde caractéristique par des calculs analogues.

Résolvons les équations (47) et (48) par rapport aux dérivées ; nous trouverons des équations de la forme :

dq Y da^ Z

dti

âh

Nous écrirons :

rf9

dq