X - 2 sin

a ~^) sin {u + a — 6) ^(49^.

Y =- n cos cp cos (2u — B) + q sin (22* — 26) '2q Z tang (p «=-- Il [sin G — sin^p sin (2 h — 6)] — q cos ç

On obtient d'abord les valeurs de Y et de Z sous des formes un peu différentes ; il y a quelques calculs faciles à effectuer ; on doit se souvenir que Ton a :

Nous nous occuperons plus loin des singularités qui se présentent lorsque Ton a :

Ecartons provisoirement ce cas. On sait qu'alors les équations (49) ont une intégrale générale contenant deux constantes arbitraires que l'on peut déterminer en se donnant les valeurs initiales des fonctions inconnues ; on sait aussi que cette solution est continue par rapport à ces valeurs initiales.

On peut aussi introduire la pression p le long d'une caractéristique, en remplaçant dans les équations (49)

q par

Il y a alors une fonction inconnue de plus : c'est le rayon vecteur de la caractéristique ; mais il y a aussi une équatioji nouvelle qui est :

RdT -^otg(t.:Fa-e).

En faisant varier les conditions initiales, la caractéristique se déforme donc continûment.

IDond une certaine partie de la surface conique qui représente la pression p ; nous dirons que c'est une nappe de première espèce. Elle est caractérisée par la condition

X = — 2 sin {u + a — 6) sin [te — a - 6) > 0. Le signe de du ; rf9 est alors le signe de Z ; on a :

du pour ]} < p, -^ > 0,

du pour p > p\ -^ <0.

Dans le premier cas, que nous appellerons le cas des faibles pressions, les caractéristiques tournent leur concavité vers le sommet ; c'est ce que nous avons supposé dans la figure 86. Dans le cas des fortes pressions, les caractéristiques tournent leur convexité vers le sommet ; Téquation (52) donne alors une valeur négative HF ; on obtiendrait aussi une valeur négative de AE ; ces valeurs négatives indiquent que AE et HF changent de sens.

Nous dirons que la nappe est de seconde espèce, si l'on a en tous ses points

X = — 2 sin (u + a — ) sin (te — a — 6) < 0.

La dérivée de ?« est alors de signe contraire kZ ; on a

Vouv p>p\ -^ >0,

, du ^ pour^<p', -^ <0.

L'équation (52) est toujours applicable ; seulement les points F et H sont du même côté par rapport au rayon vecteur. En résumé, les caractéristiques tournent leur concavité vers le sommet pour les nappes de première espèce à faibles pressions et les nappes de seconde espèce à fortes pressions. Les caractéristiques tournent leur convexité vers le sommet dans les deux autres cas. La droite HF est dirigée suivant le rayon + tt, quand elle est positive ; elle change de sens en changement de signe.

135. Iniégy*ation graphique, — Lorsqu'on donne les valeurs ini-

tiales des fonctions inconnues, on peut appliquer, aux équations (49), plusieurs méthodes d'intégration approchée. On obtient une première approximation en supposant les accroissements égaux aux différentielles, on perfectionne le calcul en employant la méthode des trapèzes ou d'autres formules de quadrature approximative. On peut aussi résoudre la question en traçant la caractéristique d'un certain système ; on trace un petit arc de cette courbe en la remplaçant par son cercle de courbure ; on calcule la pression à l'extrémité de l'arc et on en déduit un second cercle de courbure ; on perfectionne le tracé de l'arc en utilisant les deux rayons de courbure ; on trace les arcs successifs de la même manière.

La méthode qui nous a paru la plus commode est la suivante : elle consiste à déterminer les arcs d'une caractéristisque par la méthode générale. On donne les fonctions petusm point A (flg. 87) ; on les obtient immédiatement pour un second point B du rayon vecteur oA, car u ne change pas le long du rayon vecteur, et la pression varie comme la distance au sommet. En partant des points B et A, on détermine le point G situé à l'intersection des caractéristiques BC et AC et les fonctions p et ti en ce point. On prend un second point D du rayon OC ; on en déduit un point E et ainsi de suite. Nous n'avons pas représenté l'épure des pressions.

En continuant cette construction, on s'aperçoit que les rayons vecteurs forment, avec les caractéristiques du premier système, un angle de plus en plus petit ; on obtiendrait donc des arcs de plus en plus petits de la caractéristique du second système. Cela résulte de ce que, dans le cas que nous avons choisi, la solution se termine, à droite, par une caractéristique rectiligne OF.

Pour construire cette caractéristique, on essaie une position OF ; on remplace l'arc EF par deux tangentes ; on construit la pression en F de deux manières, en suivant l'arc EF, puis en suivant la caractéristique OF. Le problème est résolu, si l'on trouve la même pression. On trouvera généralement deux pressions différentes ; en déplaçant OF, les extrémités de ces deux pressions^ décriront deux

iM--. 8'

courbes (jui se cou])eront à rextréniité de la pression cherchée. En général, la position d'essai peut être assez rapprochée de la position exacte, pour que ces courbes puissent être remplacées par des droites.

D'autres dispositions peuvent se présenter : la caractéristique que l'on construit peut toucher le rayon vecteur, qui forme alors contour apparent ; elle peut aussi présenter un rebroussenient en coupant le (*ontour apparent. On obtient le i)oint de contact ou de rebrousse- t

ruent par tâtonnements. Il

L'J6. Cardctéristiqiies ?'ec/iUgnes\ — Nous avons écarté le cas où l'on a :

Dans ce cas les dérivées des fonctions inconnues se présentent sous une forme indéterminée. Nous allons chercher his valeurs des variables qui satisfont à ces trois équations ; nous les prendrons (îonime valeurs initiales et nous cahMilerons les intégrales dans les environs de ces valeiu's.

La première équation doilne :

X =- — 2 sin Of' — a — 0) sin {u -\- a — 0; -^ ;

on peut annuler le preuiier ou le second sinus ; on trouve les deux résultats :

n If a — 0'

Cette éfjuation expriine que le rayon vecteur est une cara(;têristi(iueou un contour ai)parent. Si les valeurs de V et de Z ne sont pas nulles, on trouve :

do du

dO ~ dO

le rayon vecteur est uu (!ontour ai)parent.

Si on égale V et Z à zéro, on trouve dtuix c(iuations (jui se réduisent à une seule ; lorsqu'on remplace ?^ par sa valeur tirée de la précédente, on obtient :

r/ -- ^1 11 cos {^i :!: 2/^K

On arrive plus vite à ce résultat en partant des deux é(iuations (47) et (48) ; ces équations donnent toujours des valeurs finies et

(léLerniinées pour les dérivées, lorsque les sinus des premiers membres ne sont pas nuls. Si on annule le premier sinus, l'équation (47) donne des dérivées infinies qui deviennent indéterminées, lorsque le second membre est égal à zéro ; les deux équations se réduisent à la seconde. Si on annule le second sinus et le second membre de l'équation .48), les deux équations se réduisent à la première. On ivirouve ainsi les deux valeurs de u et de g écrites plus haut.

Il est facile de re(îonnaitre que ces valeurs de la fonction r/ appartiennent à une caractéristique. Ainsi pour une cara(!téristique rectilignedu premier système, l'équation (20) du numéro 109 devient successivement:

dp --= — H ds (îos (tù + a) -=^ — 11 dR cos (//. -|- n),

;; - — n R cos (Q -f 2a)\ (7 -- — n cos (G + 2rf.),

Pour une caractéristique du second système, il faut changer le signe de II et de r«; on retrouve les valeurs précédentes. Ainsi donc les dérivées se présentent sous.une forme indéterminée lorsque l'on donne une caractéristique rectiligne connue conditions initiales.

Pour fixer les idées, prenons, comme conditions initiales, une caractéristique du premier système; les valeurs initiales satisfont aux deux équations :

ff^o — a — K -= 0, q --- — M sin (O,, -|- 2a) (.74).

Remplaçons, dans les ér|uatious (47) et (48),

7t par Ho + u, par Oo + 0,

q par Qo + q ;

les accroissements //,, 0, q seront supposés assez petits pour être négligés vis-à-vis des (juantités ordinain»s. Les deux membres de l'équation (47) s'annulent pour les valeurs initiales ; i)our les valeurs voisines, nous les réduirons au premier ordre ; comme si, /^ 9, q étaient des infiniments petits ; nous trouverons :

(~^ - '^'Jo tang '^ ^] [a - 0) ^ rr n sin {2a + J - q (5r>).

. . Tl l >■■ ■>.

L'équation (48), dont les membres ne s'annulent pas pour les valeurs initiales, devient

^ + 2?, tangcp ^ ^ n cos 9.r- g .^os2g dB ^ ^' - • dO s[n2a ^

Intégrons, nous trouvons

, ^ ^ n cos \ — Qo cos 2a

g + 2qo tang (p ?« -= ^-^ ;

sm 2a

la constante est nulle, car les deux membres se réduisent à zéro pour la caractéristique initiale. Eliminons g de la première équation différentielle, au moyen de l'intégrale qui précède ; de nombreuses réductions se produisent lorsqu'on tient compte de l'équation (54) ; on supprime le facteur commun

— 4 go tang cp, et l'on obtient l'équation

du . ..

dont l'intégrale générale est :

= w log •

Revenons aux anciennes notations, nous aurons :

— So =- (''^ — ^«o) log . — (57)

, o . t ^ . n cos Oo — îo COS 2a .^ ^ \ /-q\

? — ?o + 2^0 tang a>(w — Uo) = %—^ (0 — 9o) (o8)

sm 2a

Il résulte de là que les solutions coniques qui ont une même caractéristique rectiligne dépendent d'une constante arbitraire ; il y en a une infinité. Cependant, l'indétermination des dérivées initiales n'est qu'apparente ; on tire en effet des équations précédentes :

du\ .. u — IL

lim -r T— = 0,

dCi y e - q

dg\ q — Qo n cos &o — qo cos 2a^

-jT- J = lim — r ; — - =^'

dey. e — '^o sin2a

Les dérivées des fonctions w et y et par conséquent les dérivées de la fonction p sont indépendantes de la constante ; elles sont les mêmes pour toutes les solutions coniques qui contiennent la caractéristique donnée. L'une de ces solutions est la solution linéaire ; on l'obtient en prenant

log C = ± oc , car l'équation (55) donne alors

Si donc nous formons une solution irréguliére au moyen de deux solutions coniques ayant une caractéristique rectiligne conumnie, il n'y aura pas de discontinuités dans les dérivées premières. Pour avoir des discontinuités dans les dérivées premières, il faut que l'une au moins des deux solutions ne soit pas conique.

137. Calculs complémentaires, — On peut objecter, aux calculs précédents, que l'on ne connaît pas l'influence, sur les intégrales, des petites erreurs commises dans les équations différentielles. Nous donnerons une signification plus précise aux résultats obtenus en ajoutant quelques calculs complémentaires.

En introduisant une variable auxiliaire, on peut mettre les équations (49) sous la forme

dô dq du

dt ' df ' dt

Nous pouvons développer les seconds membres, par la formule de Taylor, en partant des valeurs initiales qui déterminent une caractéristique ; comme ces seconds membres sont nuls par ces valeurs initiales, on a :

= a 9 — ©o^ + ô cg — jo) + c* (w — Uo') +...

dt

Nous désignons encore par 6, q, u les accroissements, et nous aurons :

de

—rr- -- «6 + èy + ^^^ +•••

et deux autres équations semblables. Si d'abord on fait abstractioii

(les termes représentés par des points, on obtient trois équations linéaires que l'on sait intégrer par une métliode connue. On pose

et l'on cher^'he dans (juel cas, on a :

dt

On trouve une équation cubique en / et l'on obtient trois fonctions linéaires x, //, :., (|ue l'on prend connue variables nouvelles ; les équations ditïérentielles sont de la forme indiquée et s'intègrent facilement.

On peut interprêter géométriquement la substitution linéaire qui conduit à l'intégration. Portons les variaVdes 0, u, q en coordonnées cartésiennes; on trouve un point M et un vecteur ÔÂT. En portant les t rois dérivées sur les trois axes, on obtiendra un autre vecteur OM' et l'on a :

OM' - r^ OM.

Le symbole ^p représente une fonction vectorielle linéaire ; elle exprime que les points M' forment un espace qui dérive de l'espace des points M par une alllnité qui laisse en repos l'origine et le i)lan à l'infini. Par le point 0, on peut mener trois droites doubles, telles (pie :

OA' == l OA, OB' =- a OB, OC — y OC ;

ce sont des droites solutions. La substitution linéaire revient à prendre ces droites comme axes coordonnés.

Si l'on applique cette méthode au cas qui nous occupe, on trouve que nous sommes dans un cas doublement particuliei* : Tiine des racines de l'équation cubique est nulle, les deux autres sont ('égales. A la racine nulle correspond un axe Ox tel \[\\i^ j)our tout vecteur sur cet axe, on ait

ÔÂ' ^--- ;

resi)ace des points M' se réduit à un plan que nous ])]vndrons connue 'plan des {y, z). A la racine double correspond uni» droite

que nous prendrons comme axe des // ; Taxe des j sera une droite quelconque du plan double. I.es éciuations différentielles deviendront :

dx du dz

= 0, -JT- =-- [j. y, -rr == nf + 1^2.

dt ' dt ' ^' dt

Le coefficient de z dans la troisième équation doit être égal au coefficient de y dans la seconde, parce que ce n'est que dans ce cas que les droites doubles du plan des (//, z) viennent se confondre sur Taxe des y.

On peut alors remplacer :

Ij. dt par — ~»

en changeant de variable auxiliaire ; on a alors : dœ , dif , dz

Nous ne produisons pas le calcul de la substitution linéaire, parce qu*il s'effectue par des régies connues ; en outre, cette substitution peut se déduire très rapidement des résultats du numéro précédent. Dans les deux méthodes, nous avons admis la même approximation ; les résultats ne peuvent dilférer que par l'introduction de la variable auxiliaire.

Nous avons posé :

, = X -= — 2sin (il — a — G) sin (ii ■\- a — '-i). En développant le second nombre, on obtient :

dt

= — 2{u — 6) sin g^'^ -|- ...

Nous changerons de variable auxiliaire de manière à obtenir en réduisant le développement à son premier terme :

de

L'intégrale de l'équation (56) nous indique qu'en posant

n cos 6y — Qo cos 2a q + 2qo u tang cp ^.^^- ^^^ — - - ^ ^ Aq^x tang cp

nous aurons :

dt

L'intégrale de l'équation (56) nous a permis d'éliminer q de l'équation (55) ; si on reprend ce calcul en portant dans l'équation (55) la valeur de q tirée de l'équation précédente en fonction de w, 6 et x, on arrivera au même résultat, sauf que le second membre aura en plus le terme :

— iqoX tang 9,

terme qui se réduira à a?, après la suppression du facteur commun. L'équation différentielle en u et 6 sera donc remplacée par :

du

Posons :

et introduisons la variable auxiliaire, nous trouvons :

dt ^

Introduisons cette valeur de u dans la première équation différentielle, nous trouvons ;

d^ t — ï— =^ — y —X, dt ^

Posons

nous trouvons :

dz

En résumé, la substitution linéaire est définie par les êfjfuations :

, „ , n cos 60 - ?o cos 2a g-{-2qoU tang 9 — ^--^ — 4 gr^ a? tang <p,

Q ^ z + X, Les équations différentielles deviennent :

dx

dt

dt

. dz

dt ^

Si on prend comme valeurs initiales :

on trouve pour intégrales :

X =^ 0, y^^ t, z^ — t logt-^t log C.

Nous aurions pu introduire une seconde constante et écrire

mais le nouveau résultat se ramène au précédent en changeant la variable auxiliaire.

Les équations de la substitution donnent :

pour x= 0, w =" y, 9 == ^.

On a donc :

u= t, Q=— t log t-^t loge,

d'où Ton retombe, en éliminant t, sur le résultat du numéro précédent.

Reprenons maiiitenaiil les équations complètes, où nous supposons X, V, Z, remplacés ])ar leurs développements converjj^ents ; en appliquîuu la substitution linéaire, nous trouverons :

dz HT

Les fonctions inconnues ne sont pas développables par la formule de Taylor quand on prend f comme variable ; nous venons de voir, en effet, que le terme le plus important de la valeur de .^ est

— tlogt + t tog C.

Pour rendre ce développement possible, nous emploierons la méthode de M. Picard ' qui consiste à chercher des inté^-rales ordonnées suivant les puissances de :

2V =-= t lOg f.

On o))tient les équations aux dérivées partielles :

^■x où: 6,x

— •-4- ff — —

or o/r

oz

-{- fr

*.ir

oz

rjfr

Oc

oz

En diffcrentiant par rapport à r et par rapport à fr, on trouve toutes les dérivées des fonctions inconnues pour les valeurs initiales

sauf cependant :

fr r^ X = y - z ^- o,

oz

que l'on peut égaler à deux constantes ; nous avons vu que la ])re-

* Traité (rAnalysiî. par Picar<l, t. iir, pngos-r.» et ;J3.

mière constante peut disparaitrè en modifiant la variable auxiliaire; on prendra :

rjir

= — log C

et Ton obtiendra des développements dont les premiers termes sont les valeurs de a?, y, z écrites plus haut. On démontre que ces développements sont convergents, en les comparant à ceux que Ton obtient pour

, dt .

dz

On peut donc démontrer que les fonctions q, ii, 6 peuvent s'exprimer par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

t et t]ogt.

Si t est suffisamment petit, on peut se borner aux premières puissances ; les erreurs relatives seront aussi petites que Ton veut. On obtient alors les équations (57) et (58) du numéro précédent.

138. Généi^atrices d'arrêt, — Soit OA (fig. 88) la caractéristique donnée ; nous la supposerons du premier système et nous donnerons une valeur positive à la constante C de Téquation (57). Si nous faisons croître ti à partir de ^^o. cette équation nous donne une valeur positive de 6 — 60. Nous en concluons que la caractéristique du second système, partant d'un point A de la caractéristique rectiligne , est une courbe AB tournant sa concavité vers le sommet de la solution conique.

Nous avons démontré (136) que les différentielles, au point A, des fonctions jo et u sont les mêmes que dans la solution linéaire ; la courbure, au point A, est égale à zéro. On en déduit facilement que Tangle e formé par le rayon vecteur et la courbe AB, décroit à partir du point A, car on a :

£ -= w -f a — 6, de

Fig. 88.

de

L'angle OBA sera donc plus petit que Tangle 2a, si AB est suffisamment petit ; le rayon OB se trouvera dans l'angle aigu formé par les caractéristiques au point B ; il s'agit donc d'une nappe de première espèce. Elle est, en outre, à faibles pressions, parce que les caractéristiques sont concaves vers le sommet. Si dans l'espoir de prolonger cette nappe de l'autre côté de la caractéristique, nous faisons décroître u à partir de Wq» nous trouvons que l'accroissement de 6 est imaginaire, car il s'exprime par le logarithme d'une quantité négative. Nous voyons donc que la caractéristique est une génératrice d'arrêt. On peut dire aussi, en supposant que l'observateur regarde vers le sommet, que cette caractéristique limite à droite une nappe de première espèce à faibles pressions.

Pour obtenir des valeurs décroissantes de 6, il faut prendre une autre solution et donner une valeur négative à la constante 0. Alors l'accroissement de 6 n'est réel que pour u décroissant. Les accroissements de 9 et de i^ sont toujours de même signe ; la caractéristique de second système tourne encore sa concavité vers le sommet. La dérivée de l'angle e a toujours la même valeur ; mais comme décroit, l'angle e croît. Il résulte de là que le rayon OC, si AC est suffisamment petit, se trouve dans l'angle obtus formé par les caractéristiques au point G. La caractéristique du premier système limite alors, à gauche, une nappe de seconde espèce et à fortes pressions.

Nous pouvons appliquer* le même raisonnement à une caractéristique rectiligne de second système ; Féquation (57) est applicable sans modification. Il faut remarquer que si on se plaçait de l'autre côté du plan, la caractéristique OA serait de second système ; en construisant une figure symétrique de celle que nous avons construite, par rapport à la verticale du sommet, nous obtiendrons la représentation d'une caractéristique rectiligne du second système et des nappes qu'elle limite. Les nappes à gauche deviennent les nappes à droite et réciproquement.

En résumé, les nappes à caractéristiques convexes vers le sommet n'ont pas de caractéristique rectiligne. Les caractéristiques rectilignes sont des génératrices d'arrêt. Les nappes de première espèce à faibles pressions peuvent être limitées à droite par une caractéristique rectiligne du premier système, à gauche par une caractéristique rectiligne du second système. Les nappes de seconde espèce à fortes pressions peuvent être limitées à gauche par une caractéristique rectiligne de premier système et à droite par une caractéristique rectiligne de second système.

139. Ca7^actéristigues voisines, — On peut établir approximativement les équations des caractéristiques dans les environs d'une carac-

téristique rectiligne. Prenons (flg. 88) la caractéristique OA comme axe des œ et un axe des y mené par perpendiculairement à OA ; soient fa?, y) les coordonnées d'un point B d'une caractéristique de même système que OA ; on peut écrire approximativement :

, dy

L'équation (57) devient :

- = y log ^'

Cette équation est homogène ; on peut l'intégrer par la méthode connue. On peut aussi la ramener à une équation de Clairaut en prenant log x pour variable indépendante ; posons donc :

dy ,

log

- if

*AJ -

on

obtient

log

et

en différentiant

dv

flot

En égalant le premier facteur à zéro, on trouve

ce qui donne l'intégrale générale

xj ^G log —^

En égalant le second facteur à zéro, on trouve

ce qui donne l'intégrale singulière

Si dans l'intégrale générale, on fait croître x indéfiniment, on obtient :

y =» 00 , lim — == 0.

Les caractéristiques du premier système forment une famille de courbes homothétiques qui ont une branche infinie sans asymptote, et pour laquelle la tangente à l'infini est parallèle à la caractéristique rectiligne.

La solution singulière représente une droite tangente aux caractéristiques du premier système ; c'est un contour apparent. Mais les résultats de cette analyse ne peuvent être acceptés comme approximatifs que si cette droite fait un angle très petit avec la caractéristique rectiligne. On retrouve aussi ce contour apparent en discutant l'équation (57) ; on trouve facilement que — % passe i)ar un maximum pour

ce qui donne

On trouve aussi

9 — ôo = 0, pour II — Wo ~ C.

On trouve le minimum de l'angle

B = a + u — 9, en prenant

Il — Uo = • — i"

ce qui donne

La caractéristique du second système ABDE présente un rebroussement sur le contour apparent. On peut aussi établir Téquation approximative de cette caractéristique. Prenons le point A comme origine, et la tangente en A comme axe des x ; on peut écrire approximativement, dans le triangle OAB,